把握學(xué)科本質(zhì) 積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)

陳鳳偉

【摘?要】進(jìn)行“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，一以貫之的核心概念是位值、十進(jìn)位值制，培養(yǎng)的關(guān)鍵能力是數(shù)感、符號(hào)意識(shí)?！扒У恼J(rèn)識(shí)”一課，圍繞“1000究竟什么樣”展開(kāi)了對(duì)“千”的數(shù)學(xué)化的認(rèn)識(shí)。從1000豐富的現(xiàn)實(shí)原型再現(xiàn)，到去掉具體的量抽象出數(shù)，認(rèn)識(shí)千的單位、位值，千以?xún)?nèi)數(shù)的復(fù)合表示和關(guān)系，再返回生活中發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)數(shù)學(xué)化的1000。學(xué)生經(jīng)歷了從感性具體到理性具體，從認(rèn)識(shí)數(shù)量、數(shù)量之間的關(guān)系，到理解抽象出的數(shù)、數(shù)之間的關(guān)系，返回現(xiàn)實(shí)加以運(yùn)用，這是一個(gè)完整的數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展需要這樣的過(guò)程積淀。

【關(guān)鍵詞】數(shù)的認(rèn)識(shí) 符號(hào)意識(shí) 位值 數(shù)感

小學(xué)階段學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷兩次重要的突破。第一次是從感性具體到理性具體，也就是從具體的情境、數(shù)量中抽象出數(shù)，用符號(hào)進(jìn)行表示，在認(rèn)識(shí)數(shù)量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，理解抽象出來(lái)的數(shù)之間的關(guān)系，其核心是十進(jìn)位值制。第二次是從理性具體到理性抽象，也就是用字母表示數(shù)，這是在數(shù)的抽象性基礎(chǔ)上進(jìn)行概括性的認(rèn)識(shí)，是代數(shù)思維的起始。

“千的認(rèn)識(shí)”一課正好具有承上啟下的重要作用。它是大數(shù)理性具體認(rèn)識(shí)的開(kāi)始，教材中出現(xiàn)了十進(jìn)位制的數(shù)位順序表，是對(duì)數(shù)的抽象、數(shù)位、十進(jìn)位值制的理解與升華，為后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的再認(rèn)識(shí)和數(shù)域的擴(kuò)展奠定基礎(chǔ)。

基于此，教師可以在教學(xué)中沿著“十進(jìn)位值制”本質(zhì)概念的認(rèn)知進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生從再現(xiàn)1000豐富的現(xiàn)實(shí)原型，到去掉量的具體情境抽象出數(shù)，認(rèn)識(shí)千的單位、位值、千以?xún)?nèi)數(shù)的復(fù)合表示和關(guān)系，再返回生活中發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)數(shù)學(xué)化的1000，并加以運(yùn)用。

一、認(rèn)識(shí)“1000”的影子

上課了，教師先點(diǎn)明本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)：“這節(jié)課我們繼續(xù)認(rèn)識(shí)數(shù)，認(rèn)識(shí)1000。”然后問(wèn)學(xué)生是否認(rèn)識(shí)1000，學(xué)生們異口同聲地回答：“認(rèn)識(shí)！”

接著，教師讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)他們認(rèn)識(shí)的1000是什么樣的，學(xué)生們有點(diǎn)懵，有的說(shuō)1000克，有的說(shuō)1000斤。

教師追問(wèn)：“1000克是什么？”

學(xué)生遲疑了一下，補(bǔ)充說(shuō)：“2袋鹽吧？”

“那1000斤呢？”

“就是好多好多東西唄！”

教師問(wèn)：“1000大不大？”

學(xué)生肯定地回答：“大！”

“那2袋鹽多不多？”

學(xué)生猶豫了。

這時(shí)，教師說(shuō)：“1000究竟什么樣，我們還需要認(rèn)識(shí)嗎？”

學(xué)生們紛紛點(diǎn)頭。

教師說(shuō)：“那我們就一起來(lái)看看1000究竟什么樣，和你先前認(rèn)識(shí)的1000有什么不同?！?/p>

有效的教學(xué)建立在對(duì)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)充分了解的基礎(chǔ)之上。從上述對(duì)話(huà)可以看出，學(xué)生脫口而出的“千”是聞其名勝于知其義。學(xué)生在“百”的認(rèn)知基礎(chǔ)上，對(duì)“千”有模糊的經(jīng)驗(yàn)，直覺(jué)感知“千”是一個(gè)挺大的數(shù)。也有學(xué)生知道“千與百”的十進(jìn)關(guān)系。學(xué)生對(duì)“千”的數(shù)學(xué)化認(rèn)知，需要從模糊經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)為清晰的數(shù)學(xué)化理解，需要從帶有情境的量轉(zhuǎn)為抽象數(shù)的關(guān)系的理解，需要建立十進(jìn)位值制的概念。

二、經(jīng)歷“數(shù)”源于數(shù)的活動(dòng)

怎樣開(kāi)始認(rèn)識(shí)數(shù)呢？學(xué)生有元認(rèn)知，“數(shù)”從數(shù)開(kāi)始。

教師拿出一把小棒，問(wèn)：“有多少？”

學(xué)生很自然地脫口而出：“10！”

“眼見(jiàn)才能為實(shí)，一起數(shù)一數(shù)?！彪S著教師手中小棒一根根地亮相，學(xué)生順暢地?cái)?shù)起來(lái)，到第9根的時(shí)候，“10”的讀音已經(jīng)從學(xué)生口中呼之欲出，眼見(jiàn)沒(méi)有第10根，學(xué)生急剎車(chē)般停了下來(lái)。

這時(shí)，教師亮出第10根小棒，問(wèn)：“是不是還想再添1根？”

學(xué)生迅速回應(yīng)：“是！”

教師接著問(wèn)：“給9添1就是10，這個(gè)過(guò)程你能表示出來(lái)嗎？”

接著，教師借助計(jì)數(shù)器讓學(xué)生演示“給9添1”“滿(mǎn)十進(jìn)一”的動(dòng)態(tài)過(guò)程，并刻意把9顆珠再添1顆，個(gè)位上滿(mǎn)了要向“十位進(jìn)一”的撥珠動(dòng)作分解開(kāi)，讓學(xué)生經(jīng)歷清晰地?cái)?shù)數(shù)、進(jìn)位、位置、位值的過(guò)程。

再數(shù)，改變單位，十個(gè)十個(gè)數(shù)到90，再添一個(gè)10會(huì)怎樣？

帶領(lǐng)學(xué)生重溫“滿(mǎn)十進(jìn)一”。

繼續(xù)數(shù)，教師提出：“能‘一百一百地?cái)?shù)嗎？在百位上數(shù)到最大的數(shù)。”

學(xué)生在計(jì)數(shù)器上撥出了900。

接下來(lái)怎么數(shù)呢？

教師把9、90、900合在一起，在計(jì)數(shù)器上表示出999，問(wèn)：“此時(shí)添上1是多少？”

學(xué)生幾乎是搶著說(shuō)：“1000！”

教師：“怎么做的？把過(guò)程在計(jì)數(shù)器上表示出來(lái)，看看你撥出的1000什么樣。”

學(xué)生在計(jì)數(shù)器上做了三次“滿(mǎn)十進(jìn)一”后出現(xiàn)了“1000”。

學(xué)生真的會(huì)數(shù)數(shù)嗎？“歌謠式”的數(shù)數(shù)學(xué)生上學(xué)之前就會(huì)，但是數(shù)學(xué)課上要經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的數(shù)數(shù)，這是建立數(shù)概念的基礎(chǔ)。四次數(shù)數(shù)的核心是“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想、位置原則、十進(jìn)制的關(guān)系。學(xué)生在看似簡(jiǎn)單、實(shí)則形象的計(jì)數(shù)器操作活動(dòng)中，建立起十進(jìn)位值制的直觀模型?！皾M(mǎn)十進(jìn)一”的關(guān)系、數(shù)位概念，“以一當(dāng)千”的位值概念、符號(hào)化意識(shí)，都在學(xué)生手指撥動(dòng)的小珠子中跳躍呈現(xiàn)。

三、1000究竟什么樣

當(dāng)計(jì)數(shù)器上出現(xiàn)了千位上的1顆珠子，出現(xiàn)了符號(hào)化的“1000”，學(xué)生就接受這個(gè)“1000”了嗎？不是的。史寧中教授在《基本概念與運(yùn)算法則》中表明，建立數(shù)概念，要從現(xiàn)實(shí)中抽象出數(shù)，將數(shù)與現(xiàn)實(shí)建立聯(lián)系，再在背景中運(yùn)用數(shù)，感受數(shù)量的大小。

“1000究竟什么樣？想看看嗎？”教師問(wèn)。

“當(dāng)然想！”

學(xué)生帶著上課前對(duì)千的感知經(jīng)驗(yàn)，又經(jīng)歷了計(jì)數(shù)器上數(shù)出1000的過(guò)程，“1000究竟什么樣？”他們真的想把之前的、當(dāng)下的，還有想知道的聯(lián)系起來(lái)。

接下來(lái)，教師給學(xué)生呈現(xiàn)了什么樣的“1000”呢？1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元、1000個(gè)小方塊組成的大正方體。

這些有具體背景數(shù)量的“1000”，帶給學(xué)生的感覺(jué)和所起的作用不盡相同。

小棒是學(xué)生最熟悉、最常用的數(shù)數(shù)、計(jì)數(shù)、計(jì)算學(xué)具，所以教師有意地呈現(xiàn)出1根、10根、100根，10個(gè)100根組成了1000根。

1000人的效果是怎樣的呢？操場(chǎng)上1000名同學(xué)的場(chǎng)景和1000根小棒帶給學(xué)生的視覺(jué)沖擊完全不同，和他們先前對(duì)“千很大、很多”的經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)是吻合的。

1000字呢？由20個(gè)字的古詩(shī)疊加呈現(xiàn)，在學(xué)生有興趣的誦讀中，又刺激了一下他們寫(xiě)小作文的切身體驗(yàn)，100字一篇要寫(xiě)10篇，200字一篇呢？5篇。1000字是多還是不多呢？肯定摻雜了復(fù)雜的情感。這可能有利于學(xué)生學(xué)會(huì)在具體的場(chǎng)景下用數(shù)進(jìn)行表達(dá)和交流吧！

以100張紙為標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生帶著視覺(jué)記憶觀察500張紙、1000張紙。這是單位的一種形象化，是在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光，在建立標(biāo)準(zhǔn)的意識(shí)。

“1000元和1000張紙交換一下可以嗎？”教師幽默地詢(xún)問(wèn)。

學(xué)生趕忙說(shuō)：“不換！”“不劃算！”“1000元可以買(mǎi)很多這樣的紙！”

教師再次發(fā)問(wèn)：“1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元都不一樣，但是有什么是相同的？”

“數(shù)相同！”學(xué)生齊聲回應(yīng)。

數(shù)的抽象教學(xué)水到渠成。

人類(lèi)發(fā)明“十進(jìn)位”經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的抽象過(guò)程，學(xué)生不可能在時(shí)間有限的課堂上完全經(jīng)歷數(shù)的抽象過(guò)程，教師必須借助一些具體的、生動(dòng)的情景，讓學(xué)生切實(shí)地、全方位地感悟，不僅要讓學(xué)生感悟數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感悟抽象出來(lái)的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的。同樣是1000，1000字和1000人是不同的，而1000元和1000張紙也是“不能換”的。但是這些不一樣的背后，卻有著本質(zhì)的相同，這就是數(shù)。

數(shù)量還不能作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象應(yīng)當(dāng)是比數(shù)量更為一般的，這就是數(shù)量的關(guān)系，即多與少。由數(shù)量關(guān)系再抽象出拋開(kāi)情境的數(shù)，數(shù)的關(guān)系是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象，抽象的結(jié)果就是自然數(shù)。

正如皮亞杰所說(shuō)：數(shù)（自然數(shù)）不是某個(gè)東西的名稱(chēng)，它是事物與事物之間的相互關(guān)系，表明的是一個(gè)物體在一個(gè)序列中的位置，以及這一組物體中包含了多少個(gè)物體，這種關(guān)系不是直接用語(yǔ)言來(lái)教的，而是兒童通過(guò)感知、操作活動(dòng)在動(dòng)作中體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的。

四、建立模型中培養(yǎng)數(shù)感

完整的數(shù)的認(rèn)識(shí)需要兩個(gè)過(guò)程，由數(shù)量→數(shù)（抽象），由數(shù)→數(shù)量（數(shù)感）。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的是一般的規(guī)律性，從數(shù)量到數(shù)之后，再反過(guò)來(lái)把一般性的規(guī)律性結(jié)果應(yīng)用到具體的事物中。

接下來(lái)出場(chǎng)的是蒂娜絲方塊、點(diǎn)子圖、數(shù)尺。教師借助這些抽象的數(shù)學(xué)化模型，繼續(xù)深化學(xué)生對(duì)1000以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

教師：“搭一個(gè)這樣的大立方體需要多少個(gè)小立方塊兒？”

問(wèn)題一提出，學(xué)生就想到：“可能是1000吧？”

教師：“怎么知道是不是1000呢？”

數(shù)一數(shù)。

正在學(xué)生定睛數(shù)的時(shí)候，大立方體打散啦?。▓D1）

“現(xiàn)在怎么數(shù)呢？”教師問(wèn)。

“按標(biāo)準(zhǔn)數(shù)！”學(xué)生建議。

于是教師擺出以10個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)圖。還是看不清！學(xué)生建議“一百一百地?cái)[”。

看，先前的經(jīng)驗(yàn)，在這里得到運(yùn)用了。

看到1000個(gè)小方塊搭成了大正方體后，計(jì)數(shù)器上的1000再次出現(xiàn)（圖2），教師問(wèn)：“1000個(gè)小方塊，在計(jì)數(shù)器上就用這一顆珠子表示，你們服氣嗎？”學(xué)生們說(shuō)：“服氣！”到這還沒(méi)有結(jié)束，教師繼續(xù)在計(jì)數(shù)器上拔出1111，并問(wèn)道：“同樣的珠子，其他三顆能表示1000嗎？”學(xué)生回答：“不能，因?yàn)橹挥性谇簧喜拍艽?000?！苯處煾胶偷溃骸芭叮恢煤苤匾?！”

至此，學(xué)生形成了1000的符號(hào)化意識(shí)，明確了位值、數(shù)位間的十進(jìn)關(guān)系。

當(dāng)密集的點(diǎn)子圖出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生立刻建議圈圈按標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。

數(shù)尺的出現(xiàn)，教師做了一個(gè)小鋪墊：“個(gè)、十、百、千是計(jì)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，把這些標(biāo)準(zhǔn)用一把尺子呈現(xiàn)可以嗎？”（圖3）

在這把神奇的尺子上，不僅可以找到個(gè)、十、百、千，還可找到1000以?xún)?nèi)的任意數(shù)。數(shù)的關(guān)系由眼前的尺子，投入學(xué)生的頭腦中，形成對(duì)數(shù)的感覺(jué)。

教師給學(xué)生布置作業(yè)，到生活中看看哪里可以找到和1000很接近的數(shù)，電視臺(tái)的電視塔有多高，天安門(mén)廣場(chǎng)有多寬，故宮里究竟有多少間房子，1000粒大米做飯夠吃嗎，等等。

帶著對(duì)1000的感覺(jué)，對(duì)數(shù)有分析的意識(shí)、判斷的能力，用數(shù)學(xué)的眼光看，用數(shù)學(xué)的頭腦思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)與交流。這就是落在學(xué)生身上的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)不僅包括數(shù)的概念的建立和理解，還包括思想方法的把握，以及數(shù)學(xué)學(xué)科特有的學(xué)科思維、學(xué)科品格。所以，教師要把基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)作為發(fā)展與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的著力點(diǎn)。

有什么樣的思維就有什么樣的行為，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，教師要具有發(fā)展性的思維，然后有先提升自己學(xué)科素養(yǎng)、專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的意識(shí)，將以學(xué)科育全人的理念落實(shí)到教學(xué)的行為中。有什么樣的行為就有什么樣的狀態(tài)，教師有什么樣的狀態(tài)就會(huì)帶給學(xué)生什么樣的感受，學(xué)生有什么樣的感受就有什么樣的未來(lái)。

（作者系北京市朝陽(yáng)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)潤(rùn)澤分校校長(zhǎng)、正高級(jí)教師、特級(jí)教師）

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