基于核密度估計(jì)和Copula函數(shù)的風(fēng)、光出力場景生成

宋 宇 李 涵

基于核密度估計(jì)和Copula函數(shù)的風(fēng)、光出力場景生成

宋 宇 李 涵

（國網(wǎng)江蘇省電力有限公司檢修分公司，南京 211102）

新能源的隨機(jī)性、波動性及間歇性為電力系統(tǒng)規(guī)劃帶來困擾，對風(fēng)、光出力的變化規(guī)律進(jìn)行合理刻畫，生成典型出力場景是新能源規(guī)劃的常用方法。針對具有相關(guān)性的風(fēng)、光出力典型場景難以生成的問題，本文首先應(yīng)用非參數(shù)核密度估計(jì)法對大量樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并進(jìn)行擬合優(yōu)度及精度檢驗(yàn)，得到風(fēng)、光的核密度估計(jì)表達(dá)式，然后建立多種基于Copula函數(shù)的風(fēng)、光電場出力聯(lián)合分布模型，判斷各個(gè)模型的擬合優(yōu)度，結(jié)合各個(gè)模型的Kendall與Spearman相關(guān)系數(shù)，選取最優(yōu)Copula函數(shù)作為風(fēng)電、光伏聯(lián)合概率分布，最后采用最優(yōu)Copula聯(lián)合概率分布生成風(fēng)、光年出力場景。算例分析表明，所得的風(fēng)、光年出力場景符合其相關(guān)性，在反映某地區(qū)風(fēng)光實(shí)際出力時(shí)有更高的準(zhǔn)確性，可為電力系統(tǒng)可靠性分析和電網(wǎng)規(guī)劃提供參考。

核密度估計(jì)；Copula函數(shù)；場景生成；互補(bǔ)特性；差異系數(shù)

0 引言

以風(fēng)電、光伏為代表的新能源發(fā)電存在顯著差異性，如果不采取措施就直接接入電網(wǎng)，會對電網(wǎng)的可靠性和穩(wěn)定運(yùn)行造成很大影響。風(fēng)電、光伏等間歇性能源的建模成為新能源消納問題的基礎(chǔ)研究課題。同一地區(qū)的風(fēng)電場和光伏電站具有較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律及相關(guān)性，而電力系統(tǒng)的中、長期規(guī)劃均需基于風(fēng)、光自身的出力特性，以大量場景基礎(chǔ)進(jìn)行分析計(jì)算，來評估規(guī)劃方案的可行性和合理性。因此，考慮其相關(guān)特性，建立合適的風(fēng)、光聯(lián)合出力模型，生成典型場景，對電力系統(tǒng)規(guī)劃有重要 意義。

當(dāng)下很多研究人員嘗試使用Copula理論研究風(fēng)、光出力相關(guān)性的問題[1-3]。文獻(xiàn)[4]首先提出一種基于Copula的計(jì)算風(fēng)光出力聯(lián)合概率分布的方法，然后利用聚類算法進(jìn)行模型誤差分析，該模型考慮了不同環(huán)境下二者的影響與變化關(guān)系，使風(fēng)、光出力的預(yù)測準(zhǔn)確性大大提高。文獻(xiàn)[5]分析了傳統(tǒng)Copula方法的不足之處，提出一種新的動態(tài)式的Copula函數(shù)模型，該模型計(jì)算了8組不同實(shí)例的動態(tài)相關(guān)性，驗(yàn)證了所提模型的準(zhǔn)確性與合理性。文獻(xiàn)[6]用阿基米德族Copula函數(shù)對多風(fēng)電場聯(lián)合出力進(jìn)行建模，并用正態(tài)Copula函數(shù)進(jìn)行比較，證明了阿基米德族Copula函數(shù)解決此類問題的優(yōu)越性。

然而，現(xiàn)有僅建立單個(gè)Copula模型的方法無法可靠地驗(yàn)證所選取的Copula函數(shù)是否為模型中的最優(yōu)函數(shù)，造成生成的典型出力場景與實(shí)際情況出入較大。因此，仍需對Copula函數(shù)進(jìn)行研究與改進(jìn)，選取最優(yōu)Copula函數(shù)。

本文采用非參數(shù)核密度估計(jì)法對實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，經(jīng)擬合優(yōu)度及精度檢驗(yàn)后，得到風(fēng)、光出力的核密度表達(dá)式。然后建立多種基于Copula函數(shù)的風(fēng)、光電場出力聯(lián)合分布模型，結(jié)合各模型的Kendall與Spearman相關(guān)系數(shù)，將各Copula分布函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)比較，并判斷與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的歐氏距離，選取最優(yōu)Copula函數(shù)作為風(fēng)電、光伏聯(lián)合概率分布，從而生成風(fēng)、光出力典型場景。算例分析表明，本文所提方法生成的風(fēng)、光年出力場景符合其相關(guān)性，在反映地區(qū)風(fēng)光實(shí)際出力時(shí)有較高的準(zhǔn)確性。

1 核密度估計(jì)及模型檢驗(yàn)方法

研究風(fēng)速大小與光照強(qiáng)度概率分布模型時(shí)，通常采用兩種方法，即理論分布模型與核密度估計(jì)法，前者基于參數(shù)，而后者基于非參數(shù)?；趨?shù)估計(jì)的方法需要事先規(guī)定其符合的特定分布，一定程度上忽略了風(fēng)速曲線與光照強(qiáng)度曲線本身具有的特征，導(dǎo)致參數(shù)分布模型擬合得到的結(jié)果很大程度地偏離數(shù)據(jù)實(shí)際分布[7]。非參數(shù)方法不需要提前知曉樣本的模型，以已有樣本為基礎(chǔ)即可挖掘出數(shù)據(jù)的分布特征[8]。

1.1 核密度估計(jì)法

式中：為樣本數(shù)量；為窗寬；(·)為核函數(shù)。

核密度估計(jì)法不需要事先假設(shè)樣本數(shù)據(jù)所符合的分布，可以直接對風(fēng)電功率與光伏功率的數(shù)據(jù)進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)，從而得到各自的概率密度函數(shù)。

除了核函數(shù)會影響核密度估計(jì)的結(jié)果，窗寬也是一個(gè)需要優(yōu)化的參數(shù)。其估計(jì)值與實(shí)際值的積分方均誤差為

式中，為權(quán)值矩陣。將式（2）最小化得出的o代入式（1）取出可得到總體的核估計(jì)值。

1.2 模型檢驗(yàn)方法

1）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

在完成概率密度的擬合之后，需要對擬合的效果進(jìn)行檢驗(yàn)。通過對擬合效果的檢驗(yàn)，可以衡量出各個(gè)擬合方法對原始數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)劣程度，從而選取出最佳擬合函數(shù)。常用的檢驗(yàn)方法有兩種[9]，分別為Pearson2與K-S（Kolmogorov-Smirnov）。

（1）Pearson2

式中：v為第個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)量；p為其落在第個(gè)區(qū)間內(nèi)的理論值。

式中，(·)表示事件發(fā)生的概率。

（2）Kolmogorov-Smirnov

Pearson2需要將樣本空間劃分成個(gè)子空間，導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果隨區(qū)間選取的變化而變化，而Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)具有良好的適用性。

基于原始樣本，求得經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)F()為

基于理論累積分布0()和經(jīng)驗(yàn)累積分布F()之間的最大垂直差距定義為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D，有

式中，為第個(gè)抽樣區(qū)間。

理論分布模型的參數(shù)可由實(shí)際歷史數(shù)據(jù)得到，在此情況下，當(dāng)一個(gè)理論分布在檢驗(yàn)中被拒絕時(shí)，則K-S檢驗(yàn)產(chǎn)生的誤差相對較小。

2）擬合精度檢驗(yàn)

擬合精度檢驗(yàn)是從定量的角度去衡量風(fēng)光出力概率模型與實(shí)際出力的頻度分布曲線之間的不同。采用平均百分比誤差（mean absolute percentage error, MAPE）與方均根誤差（root mean square error, RMSE）兩個(gè)指標(biāo)衡量模型的擬合精度。

式中：為區(qū)間個(gè)數(shù)；oi、gi分別為風(fēng)電和光伏標(biāo)準(zhǔn)化輸出功率正交級數(shù)密度分布和直方圖在第個(gè)區(qū)間的概率。

2 基于Copula理論的風(fēng)光出力相關(guān)性建模及出力場景生成

2.1 Copula相關(guān)理論

1）Copula函數(shù)與相關(guān)系數(shù)

Copula的表達(dá)式為

常見的Copula有兩個(gè)族，分別為阿基米德Copula與橢圓Copula。阿基米德Copula函數(shù)最常見的三種為Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula，橢圓Copula函數(shù)主要包括正態(tài)Copula和t-Copula兩種。

相關(guān)系數(shù)用以反映變量之間的線性相關(guān)程度。常用的相關(guān)系數(shù)包括Kendall與Spearman秩相關(guān)系數(shù)[9]。

2）Copula函數(shù)的最優(yōu)選擇

由于Copula函數(shù)的類型眾多，無法直接選取最優(yōu)Copula，因此需對其進(jìn)行擬合優(yōu)度判別，從而選取最優(yōu)函數(shù)。常用的方法包括函數(shù)圖像判別法、相關(guān)系數(shù)判別法及歐氏距離判別法。

（1）函數(shù)圖像判別法是將各Copula函數(shù)概率密度函數(shù)圖像與樣本數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)進(jìn)行比較，圖像最為接近的即為最優(yōu)Copula函數(shù)。

（2）相關(guān)系數(shù)判別法是通過Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman秩相關(guān)系數(shù)判別其擬合優(yōu)度。將各類Copula函數(shù)的秩相關(guān)系數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的秩相關(guān)系數(shù)相比較，數(shù)據(jù)越接近，其擬合優(yōu)度越好，相應(yīng)的Copula函數(shù)即為最優(yōu)。

設(shè)具有相關(guān)性的風(fēng)電場和光伏電站的出力分別為和。（1,1）和（2,2）是其出力（,）的任意兩個(gè)出力樣本觀測值，兩個(gè)值相互獨(dú)立。如果(1,1)·(2,2)＞0，則稱（1,1）和（2,2）具有一致性；如果(1,1)·(2,2)＜0，則稱（1,1）和（2,2）具有不一致性。

（3）歐式距離判別法是用各Copula函數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的歐式距離比較，歐式距離越小，則Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度越好。

利用平方歐式距離選取最優(yōu)Copula函數(shù)。平方歐式距離的定義為

2.2 風(fēng)光場景生成與互補(bǔ)特性

1）基于蒙特卡洛的風(fēng)光出力靜態(tài)場景生成

選取了最佳Copula函數(shù)之后，應(yīng)對Copula函數(shù)進(jìn)行采樣，從而生成大量樣本，其主要步驟如 下[11-14]：

（1）在[0, 1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生數(shù)字1,2,…,a。

（2）令第一個(gè)隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)值1=1，根據(jù)2.1節(jié)中選定好的Copula函數(shù)來求得第二個(gè)隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)值2，即求式（14）的解。

（3）對于第個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)值u，即求式（15）的解。

（4）重復(fù)上述步驟（1）、（2）、（3）次，則可以得到組個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)值。

在對風(fēng)電與光伏出力進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，在步驟（5）的反函數(shù)運(yùn)算中，首先基于Copula聯(lián)合概率密度分別求出二者的邊緣分布函數(shù)，然后再分別進(jìn)行反函數(shù)的運(yùn)算。通過這種計(jì)算方式，使所生成的場景充分考慮了風(fēng)光出力的相關(guān)性。場景生成步驟如圖1所示。

圖1 風(fēng)電出力與光伏出力的場景生成步驟

利用場景生成得到的數(shù)據(jù)量龐大，且各個(gè)場景之間相似度高。為實(shí)現(xiàn)相近場景的有效合并，采用后向縮減法[15]（backward reduction, BR）進(jìn)行場景縮減?；诤笙蚩s減法的場景縮減流程如圖2所示。

圖2 基于后向縮減法的場景縮減流程

2）風(fēng)光互補(bǔ)特性指標(biāo)

采用差異系數(shù)（coefficient of variation, CV）來表征風(fēng)光出力的互補(bǔ)特性，CV的定義為[16]

從式（16）可以看出，CV越小，風(fēng)電與光伏所共同輸出的功率越平穩(wěn)，風(fēng)光互補(bǔ)特性就越好。

3 算例分析

以某地區(qū)2020年全年的風(fēng)速、光強(qiáng)為例，風(fēng)速與光強(qiáng)的數(shù)據(jù)采樣間隔為1h。采用正態(tài)分布、威布爾分布及核密度估計(jì)分別對風(fēng)速數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，正態(tài)分布、威布爾分布的參數(shù)采用極大似然估計(jì)來確定，風(fēng)速參數(shù)擬合結(jié)果見表1，擬合效果如圖3所示。

表1 風(fēng)速參數(shù)擬合結(jié)果

這三種方法的擬合優(yōu)度及擬合精度的檢驗(yàn)結(jié)果見表2。

表2 不同擬合方法的擬合優(yōu)度與擬合精度檢驗(yàn)結(jié)果

其中，Pearson2的臨界值為21.598，K-S的臨界值為0.006 5。

威布爾分布與正態(tài)分布擬合相當(dāng)，MAPE與RMSE的值接近，且均能通過Pearson2的檢驗(yàn)，相對來說，正態(tài)分布的效果更優(yōu)一些，但均未能通過K-S檢驗(yàn)。而非參數(shù)核密度估計(jì)各項(xiàng)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的值均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于參數(shù)估計(jì)的值，其擬合的效果更優(yōu)。

對光照數(shù)據(jù)采用同樣的方法進(jìn)行處理，對比Beta分布與非參數(shù)核密度分布的擬合情況，參數(shù)擬合結(jié)果見表3，擬合效果如圖4所示。由于Beta分布是定義在[0, 1]區(qū)間內(nèi)的連續(xù)概率分布，因此此處將光照強(qiáng)度進(jìn)行歸一化處理。

表3 光照強(qiáng)度參數(shù)擬合結(jié)果

從圖4中可以看出，核密度估計(jì)的擬合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于Beta分布的擬合效果。

綜上所述，核密度估計(jì)在擬合風(fēng)光數(shù)據(jù)方面具有較好的適用性，對該地風(fēng)電出力、光伏出力直接進(jìn)行擬合，可避免擬合后數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換造成的誤差。該地光伏電站的額定功率為100MW，風(fēng)電機(jī)組的額定功率為80MW。計(jì)算窗寬：風(fēng)電數(shù)據(jù)總數(shù)1=8 760，標(biāo)準(zhǔn)差1=0.176，窗寬1=0.030 3；光伏數(shù)據(jù)總數(shù)2= 8 760，標(biāo)準(zhǔn)差2=0.291，窗寬2=0.050 2。

然后進(jìn)行非參數(shù)核密度估計(jì)，并對擬合結(jié)果進(jìn)行擬合優(yōu)度與精度檢驗(yàn)，結(jié)果見表4。其中，Pearson2的臨界值為18.694，K-S的臨界值為0.036 5。從表4可以看出，在對風(fēng)電出力與光伏出力的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，利用核密度估計(jì)法進(jìn)行概率密度擬合，可滿足擬合優(yōu)度檢驗(yàn)及擬合精度檢驗(yàn)，風(fēng)光的核密度估計(jì)具體表達(dá)式為

表4 基于核密度估計(jì)的風(fēng)光出力擬合檢驗(yàn)結(jié)果

式中，X為風(fēng)光實(shí)際樣本值。

基于五種Copula函數(shù)，分別建立風(fēng)電場與光伏電站有功功率出力的預(yù)測誤差聯(lián)合分布函數(shù)，如圖5、圖6所示。

圖5 橢圓族Copula的密度函數(shù)與分布函數(shù)

計(jì)算經(jīng)驗(yàn)Copula累積分布函數(shù)，如圖7所示。

圖7 經(jīng)驗(yàn)Copula分布函數(shù)

從圖5～圖7可以看出，F(xiàn)rank-Copula的分布函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula的分布函數(shù)最為接近。

然后，依次計(jì)算各個(gè)Copula函數(shù)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman秩相關(guān)系數(shù)及每一種Copula與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的平方歐式距離，結(jié)果見表5。

表5 各Copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)與平方歐氏距離

從表5可以看出，使用Frank-Copula法計(jì)算得到的各相關(guān)系數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)較為接近，而且Frank-Copula與經(jīng)驗(yàn)Copula的歐式距離在所有結(jié)果中是最小的。除此以外，F(xiàn)rank-Copula函數(shù)可以同時(shí)考慮變量的非負(fù)與負(fù)相關(guān)的關(guān)系，恰好風(fēng)電出力與光伏出力互補(bǔ)、具有負(fù)相關(guān)的關(guān)系。雖然表5中t-Copula的相關(guān)系數(shù)也比較良好，但由于其與經(jīng)驗(yàn)Copula的歐式距離過大，說明該類型Copula函數(shù)擬合效果不佳，因此不太適合將t-Copula作為最優(yōu)擬合函數(shù)。綜上所述，本文選取Frank- Copula進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，從而保證了擬合的精度。

采用Frank-Copula函數(shù)進(jìn)行擬合，利用極大似然估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，得=0.285。聯(lián)合分布函數(shù)的表達(dá)式為

對24個(gè)時(shí)段風(fēng)電出力數(shù)據(jù)與光伏出力數(shù)據(jù)分別進(jìn)行Frank-Copula函數(shù)擬合，然后利用蒙特卡洛采樣生成場景。

基于2.2節(jié)的場景生成方法，生成500個(gè)風(fēng)光互補(bǔ)場景，然后利用后向縮減法分別對生成的大量風(fēng)電與光伏場景進(jìn)行縮減，并求出每個(gè)場景的概率，如圖8、圖9所示，圖中的出力均為標(biāo)幺值?？s減后各個(gè)場景的概率見表6。

圖8 風(fēng)電出力縮減場景

圖9 光伏出力縮減場景

采用差異系數(shù)CV衡量所生成風(fēng)電出力與光伏出力的互補(bǔ)特性，按照上述計(jì)算過程進(jìn)行年度場景生成5次，得到5組年度數(shù)據(jù)，差異系數(shù)比較見表7。

表6 縮減后各場景的概率

表7 差異系數(shù)比較

4 結(jié)論

本文基于非參數(shù)核密度估計(jì)法，利用多種Copula函數(shù)建立風(fēng)光聯(lián)合時(shí)序出力模型，通過比較各秩相關(guān)系數(shù)與平方歐氏距離，選取最優(yōu)Copula函數(shù)對各個(gè)時(shí)刻的風(fēng)電出力數(shù)據(jù)與光伏出力數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到每個(gè)時(shí)刻的考慮風(fēng)光出力相關(guān)性的概率密度函數(shù)，利用Copula函數(shù)的蒙特卡洛采樣方法生成年度場景。以江蘇某地區(qū)年度風(fēng)光實(shí)際出力數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證所提方法及模型，分析結(jié)果表明：

1）非參數(shù)核密度估計(jì)法較參數(shù)估計(jì)法能更好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù)，所得模型更接近真實(shí)值。

2）所提基于最優(yōu)Copula函數(shù)的蒙特卡洛采樣方法能夠生成具備互補(bǔ)特性的風(fēng)、光年出力場景，可應(yīng)用在電力系統(tǒng)規(guī)劃模型中，能夠?yàn)殡娏ο到y(tǒng)可靠性分析提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

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Typical scene generation of wind and photovoltaic power output based on kernel density estimation and Copula function

SONG Yu LI Han

(State Grid Jiangsu Electric Power Co., Ltd Maintenance Branch Company, Nanjing 211102)

The randomness, volatility and intermittent nature of new energy resources bring troubles to power system planning. A reasonable description of how wind power and photovoltaic output behave and generating typical output scene is a common method for new energy planning. A method for generating typical scene of relevant wind power and photovoltaic output is proposed. This paper firstly fits a large number of sample data based on kernel density estimation, and performs fitting and pre-test to obtain a kernel density estimation expression of wind and photovoltaic power output. This paper builds a variety of combined distribution models of wind and photovoltaic power based on Copula functions, and then judges the fitness of each model. The Kendall and Spearman correlation coefficients of each model are considered to select the optimal Copula function as wind power, photovoltaic joint probability distribution. Finally, the annual power output of wind and photovoltaic power is generated based on the optimal Copula joint probability distribution. Case analysis shows that the simulation results of annual output of wind and photovoltaic power meets their relevance, and has higher accuracy in wind and photovoltaic power output in the reaction. There must be a certain reference value for the reliability analysis of power system and grid planning.

kernel density estimation; Copula function; scene generation; complementary characteri- stics; difference coefficient

2021-08-30

2021-10-08

宋 宇（1989—），男，江蘇省南通市人，碩士，工程師，主要從事繼電保護(hù)及自動化相關(guān)工作。