改進(jìn)的指數(shù)函數(shù)方法求時(shí)空分?jǐn)?shù)階混合(1+1)維KdV方程的新精確解

陳兆蕙，陽(yáng)平華*

(廣州城市理工學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，廣東 廣州 510800)

受“孤立波”現(xiàn)象的啟發(fā)，荷蘭數(shù)學(xué)家Korteweg和deVries在研究關(guān)于淺水問(wèn)題中的小振幅長(zhǎng)波運(yùn)動(dòng)時(shí)合作發(fā)現(xiàn)了KdV方程。這是一種典型的非線性色散波動(dòng)方程，物理學(xué)中的很多現(xiàn)象如：固態(tài)物理、冷等離子的磁流波、聲波的傳播、量子場(chǎng)、離子-聲子波、非諧振晶格振動(dòng)等都可以用這種方程來(lái)解釋[1]。研究這類方程的精確解能給物理學(xué)提供可靠依據(jù)，也能加強(qiáng)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科之間的緊密聯(lián)系，所以研究它的精確解很重要。由于對(duì)分?jǐn)?shù)階偏微分的研究比整數(shù)解偏微分方程應(yīng)用范圍更為廣泛、也更能準(zhǔn)確表述物理和其他學(xué)科的特性，因此目前有(G'/G)-展開法和一般的tanh方法[2-6]、首次積分法[7-8]、改進(jìn)的Riccati方法[9]、擬設(shè)法[10]、改進(jìn)的Kudryashov方法[11-12]、Hirota方法[13-14]等研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程，并且得到了多種不同類型的解。

本文在其他作者研究工作[1-17]的基礎(chǔ)上，探討一類時(shí)空分?jǐn)?shù)階混合(1+1)維KdV方程

(1)

其中a0,a1,a2是非線性系數(shù)，β是色散系數(shù)，這些系數(shù)都不為零且α滿0<α≤1.當(dāng)a0=a2=0，方程(1)變成了時(shí)空分?jǐn)?shù)階KdV方程[15]，張志惠[15]使用指數(shù)展開法求解出了該方程的精確解；當(dāng)a0=0，方程(1)變成了時(shí)空分?jǐn)?shù)階KdV-mKdV方程[16]，賴曉霞[16]采用改進(jìn)后的指數(shù)展開法研究了該方程的精確解，并采用符號(hào)計(jì)算軟件給出了解的三維立體圖形。本論文同文獻(xiàn)[15-16]相比，方程項(xiàng)數(shù)增加，難度增大；同文獻(xiàn)[17]相比，雖然研究的是同一個(gè)方程，但是文獻(xiàn)[17]采用的是首次積分法，本文采用改進(jìn)的指數(shù)函數(shù)方法[15-16]。研究方法不同，本論文拓展了方程(1)的新精確解，且新精確解更加豐富。

Jumarie的修正Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[15-16]按照如下定義：

定義1

定理1[15]

Jumarie的修正Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有以下性質(zhì)：

1 時(shí)空-分?jǐn)?shù)階混合(1+1)維KDV方程

首先對(duì)方程(1)作分?jǐn)?shù)階變換，令

(2)

這里的w是待定常數(shù)。將(2)式代入(1)式，有-wu′+a0u′+a1uu′+a2u2u′+βu?=0，對(duì)上式積分一次，并且令積分常數(shù)為零，得到

(3)

綜合考慮式(3)中u″和u3最高階次數(shù)須達(dá)到平衡，即3n=n+2，得出n=1，從而

(4)

且φ(ξ)滿足下列常微分方程

φ′(ξ)=pe-φ(ξ)+μeφ(ξ)+λ

(5)

其中p,μ,λ為待定常數(shù)。

將式(4)和式(5)代入式(3)，有

合并(e-φ)i(i=0,1,2,3)的相同冪次項(xiàng)，有

令(e-φ)i(i=0,1,2,3)的各個(gè)系數(shù)等于零，得到一個(gè)關(guān)于b0,b1,w的代數(shù)方程組：

由上述方程組，得到b0,b1和w滿足如下方程

由于約束條件不一樣，得到的解也不相同。下面分情況討論方程的新精確解。

2 時(shí)空-分?jǐn)?shù)階混合(1+1)維KdV方程的新精確解

第一種情形：

p=1,λ2-4μ>0,λ≠0,μ≠0,得到參數(shù)值如下：

此時(shí)

φ1(ξ)=

有新精確解

(6)

第二種情形：

p=1,λ2-4μ<0,λ≠0,μ≠0,得到

參數(shù)值如下：

此時(shí)

φ2(ξ)=

得新精確解

(7)

第三種情形：

p=1,λ2-4μ>0,λ≠0,μ=0,得到參數(shù)值如下：

(8)

第四種情形：

p=1,λ2-4μ=0,μ≠0,λ≠0，得到參數(shù)值如下：

(9)

第五種情形：

λ=0,p>0,μ>0,得到參數(shù)值如下：

此時(shí)

或

得新精確解

(10-1)

或

u5-2(ξ)=b0+b1e-φ5-2(ξ)

(10-2)

第六種情形：

λ=0,p>0,μ<0,得到參數(shù)值如下：

此時(shí)

φ6-1(ξ)=

或

φ6-2(ξ)=

得新精確解

或

(11-2)

第七種情形：

λ=0,p<0,μ>0,得到參數(shù)值如下：

此時(shí)

φ7-1(ξ)=

或

φ7-2(ξ)=

得新精確解

(12-1)

或

(12-2)

第八種情形：

p=1,μ=0,λ=0,λ2-4μ=0，得到參數(shù)值如下：

此時(shí)

φ8(ξ)=ln(ξ+ξ0)

得新精確解

(13)

3 圖形繪制

為了更直觀表示圖形，這里對(duì)具有代表性的第一種情形下的精確解進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真.取

限制0≤t≤6,0≤x≤8,得到圖形如下：

圖1 α=0.3時(shí)第一種情形下的精確解圖形Figure 1 The exact solution of the graph in the first case with α=0.3

圖2 α=0.9時(shí)第一種情形下的精確解圖形Figure 2 The exact solution of the graph in the first case with α=0.9

4 結(jié)論

本文使用改進(jìn)的指數(shù)函數(shù)展開法擴(kuò)充了時(shí)空分?jǐn)?shù)階混合(1+1)維KdV方程的新精確解。說(shuō)明改進(jìn)的指數(shù)函數(shù)方法對(duì)于求解分?jǐn)?shù)階方程有實(shí)用性和優(yōu)越性。但是文中這類時(shí)間分?jǐn)?shù)階方程可否使用其他方法如：不變子空間方法、動(dòng)力系統(tǒng)分支法等方法來(lái)研究它的新的精確解呢？這是后續(xù)研究的方向。