張國凡，艾 森，聶小華

(中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，陜西 西安 710065)

1 引 言

隨著航空技術(shù)的不斷發(fā)展，飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計與驗(yàn)證階段對結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度分析模型的精度要求越來越高。薄壁結(jié)構(gòu)作為最典型的結(jié)構(gòu)形式和輕量化結(jié)構(gòu)形式，在現(xiàn)代飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計方案中大量采用，準(zhǔn)確的內(nèi)力計算模型和精確的破壞預(yù)估模型仍是飛機(jī)設(shè)計人員關(guān)注的重點(diǎn)。為了評估分析模型的精度，模型的校核與驗(yàn)證(Verification and Validation，V&V)的思路與相關(guān)方成為研究的熱點(diǎn)，國內(nèi)外學(xué)者對模型的校核與驗(yàn)證的策略與基本方法開展了大量的探索性研究。

1967年，美國蘭德公司的Fishman和Kivtat將模型有效性分析劃分為模型校核與模型驗(yàn)證兩類問題，進(jìn)而闡述了相關(guān)的概念，拉開了校核與驗(yàn)證技術(shù)研究的序幕。2006年和2012年，美國機(jī)械工程師協(xié)會(ASME)先后發(fā)布了計算固體力學(xué)校核與驗(yàn)證指南和計算固體力學(xué)中校核與驗(yàn)證概念的說明，推動了分析模型V&V的規(guī)范化[1,2]。Oberkampf等[3]針對數(shù)字仿真模型中的校核與驗(yàn)證問題，從不確定性劃分入手，總接了3類不確定性的分類及主要來源。Arthasartsri等[4]針對空中客車公司在A380飛機(jī)研制中的發(fā)動機(jī)強(qiáng)度分析模型所采用的校核與驗(yàn)證流程進(jìn)行了綜合，并對相關(guān)方法進(jìn)行了說明。Carl等[5]研究了鋪層方向的不確定性等制造分散性對復(fù)合材料平板機(jī)翼氣動彈性設(shè)計的影響規(guī)律。

陳學(xué)前等[6,7]針對組合梁和根部柔性梁等存在的裝配不確定性問題，對影響模型精度的不確定性參數(shù)進(jìn)行了識別、量化、驗(yàn)證等方面的研究。邱杰[8]對系統(tǒng)仿真模型的可信性問題、穩(wěn)定性和狀態(tài)不連貫進(jìn)行了研究，保證了二階連續(xù)系統(tǒng)的高精度離散。魏揚(yáng)等[9]提出了一種基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真模型相結(jié)合的飛行模擬器氣動模型校核方法，形成了氣動參數(shù)修正模型，提高了模擬的逼真度和置信度。

從上述分析可以看出，這些研究主要集中在系統(tǒng)仿真模型的校核方法與要素確認(rèn)等方面，針對工程結(jié)構(gòu)特別是航空結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度分析模型校核方法的研究并不多見。本文針對航空薄壁結(jié)構(gòu)靜力與屈曲分析模型的精度問題，開展了靜強(qiáng)度分析模型的校核方法研究，建立了相關(guān)流程，確定了平板、加筋板條和加筋壁板結(jié)構(gòu)在不同分析任務(wù)條件下的模型考核指標(biāo)，并利用工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行了方法的應(yīng)用與驗(yàn)證。

2 靜強(qiáng)度分析模型的校核方法

分析模型校核就是檢查校核計算模型能否準(zhǔn)確代表所要求解的數(shù)學(xué)問題(數(shù)學(xué)模型)的過程，一般分兩步。第一步是代碼校核，確保無程序錯誤，離散的數(shù)值算法能得到相對于控制方程真解的精確解，包括軟件質(zhì)量工程檢查；第二步是計算校核，是確認(rèn)求解精度的過程，預(yù)估離散誤差。針對靜強(qiáng)度分析模型，由于現(xiàn)階段所采用的分析工具都是經(jīng)質(zhì)量體系認(rèn)證且嚴(yán)格考核過的商業(yè)軟件，因此，本文中的分析模型校核工作，歸納起來，在規(guī)避概念誤差的前提下，從元素選擇、連接模擬及邊界條件等方面進(jìn)行模型檢查及修正，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行考慮網(wǎng)格尺寸分析的后驗(yàn)誤差估計的分析，以獲得滿足分析任務(wù)精度目標(biāo)的模型。

2.1 靜強(qiáng)度分析模型檢查

2.1.1 元素選取

在元素選取方面，傳統(tǒng)的板桿建模方法已不能滿足現(xiàn)代飛機(jī)精細(xì)化設(shè)計的需求，有限元模型離散向精細(xì)化方向發(fā)展。具體策略如下：機(jī)體蒙皮采用殼元模擬；隸屬于長桁的腹板與緣條結(jié)構(gòu)采用殼元模擬，凸緣類結(jié)構(gòu)一般采用帶剖面特性梁元模擬；隸屬于機(jī)翼和機(jī)身的梁、肋、框的腹板與緣條結(jié)構(gòu)采用殼元模擬，加筋一般采用殼元模擬，但對于剛度較弱的筋條，可采用梁元模擬。

2.1.2 單元網(wǎng)格劃分

薄壁結(jié)構(gòu)如機(jī)身、機(jī)翼、平尾和垂尾在有限元網(wǎng)格劃分時，由于分析目的不同，單元網(wǎng)格的劃分方法也不同。對于總體應(yīng)力分析，一般以各部件的理論圖為基礎(chǔ)按自然網(wǎng)格進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。對于細(xì)節(jié)應(yīng)力分析，要在總體應(yīng)力分析網(wǎng)格的基礎(chǔ)上加密，所以細(xì)節(jié)應(yīng)力分析的單元網(wǎng)格要細(xì)密得多。對于起落架結(jié)構(gòu)及幾何形狀復(fù)雜的整體結(jié)構(gòu)件的細(xì)節(jié)應(yīng)力分析，要根據(jù)其幾何外形和尺寸來進(jìn)行網(wǎng)格劃分。實(shí)體結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格要比薄壁結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格細(xì)密得多。

網(wǎng)格劃分還應(yīng)力求規(guī)則化，單元形狀的畸變和網(wǎng)格大小過渡的不合理都會影響計算結(jié)果。模型簡化時，將結(jié)構(gòu)的所有零件都考慮到(如密封角盒、連接角片、局部加強(qiáng)墊板等)，看起來似乎尊重原結(jié)構(gòu)，但這樣處理會使計算模型網(wǎng)格劃分很不規(guī)則，傳力路線變得復(fù)雜，計算結(jié)果的精度降低，所以，適當(dāng)合并結(jié)構(gòu)元件和舍去某些次要結(jié)構(gòu)元件是非常必要的。

在網(wǎng)格密度方面，基于研究不同網(wǎng)格尺度對分析結(jié)果的精度和計算效率的影響，推薦給出滿足不同分析任務(wù)精度要求的最優(yōu)網(wǎng)格密度。

2.1.3 連接件的建模

在連接件的建模策略方面，分為接頭、鉚釘/螺栓連接和膠接3個方面。在全尺寸飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析中，由于計算規(guī)模非常大，可以不考慮局部的連接方式；對于大部分整體結(jié)構(gòu)分析任務(wù)和部件結(jié)構(gòu)的漸進(jìn)破壞分析來說，不需要精確地確定鉚釘與孔之間的局部應(yīng)力，在進(jìn)行有限元建模時，可以直接取兩被連接板中性面上對應(yīng)的孔心節(jié)點(diǎn)，使用彈簧元、梁元以及FASTENER單元模擬；對于局部結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)破壞分析，要把鉚釘連接方式、接觸關(guān)系在模型中完整體現(xiàn)出來，需使用3D模型或2.5D模型等進(jìn)行非線性分析。

2.1.4 邊界條件等效

在邊界條件等效方面，基于整體-局部模型技術(shù)，將關(guān)注部位在整體分析模型中計算得到的節(jié)點(diǎn)位移結(jié)果作為局部細(xì)節(jié)模型邊界節(jié)點(diǎn)的輸入條件，施加強(qiáng)制位移邊界條件及局部細(xì)節(jié)模型內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的集中力作為邊界及載荷進(jìn)行后續(xù)的局部細(xì)節(jié)模型求解。

2.2 靜強(qiáng)度模型校核

2.2.1 基于后驗(yàn)誤差估計的靜強(qiáng)度模型校核方法

離散誤差包括幾何離散誤差和物理離散誤差兩類，可通過縮小單元尺寸或提高單元階次而減小。目前，在工程實(shí)際應(yīng)用過程中，真實(shí)結(jié)構(gòu)有限元模型離散誤差的評估主要依賴于網(wǎng)格收斂性分析，通過進(jìn)行收斂分析評估有限元網(wǎng)格的有效性，從而確保離散誤差滿足計算要求。在大多數(shù)情況下，需要使用具有多個網(wǎng)格的計算模型來估計該誤差。

本文研究了基于Richardson外推法和多網(wǎng)格組合方案來進(jìn)行后驗(yàn)誤差估計的校核技術(shù)[2]。基于Richardson理論，數(shù)值算法精度階在h型元素下，可定義為冪級數(shù)展開中的指數(shù)p：

wexact=wh+Ahp+H.O.T.ash→0

(1)

式中，wexact為精確解；wh為網(wǎng)格尺寸h的數(shù)值解；A為常數(shù)；h為網(wǎng)格大?。恢笖?shù)p為算法精度階數(shù)；H.O.T.為高階項(xiàng)，當(dāng)網(wǎng)格尺寸h趨于0時，其趨向于0的速度快于最低階誤差項(xiàng)，故網(wǎng)格較細(xì)時忽略高階項(xiàng)。

在不知精確解的情況下，假設(shè)忽略高階項(xiàng)，使用3對(wh，h)基于不同網(wǎng)格分辨率的3個數(shù)值解，可以求解3個未知量wexact、A和p。

若網(wǎng)格細(xì)化比率恒定，即h2/h1=h3/h2=r：

(2)

(3)

該wexact值是基于3個網(wǎng)格的Richardson外推。Roache[10]定義了一個網(wǎng)格收斂因子(GCI)：

(4)

GCI是網(wǎng)格收斂誤差相對于最優(yōu)區(qū)域解的無量綱指標(biāo)，其給出了以試算解w1為中心的誤差帶的寬度w1(1±GCI)?；贕CI的區(qū)間稱為帶而不是界，并乘以安全系數(shù)(一般取1.25)，是因?yàn)楦唠A項(xiàng)忽略后，數(shù)值解必須處于漸近收斂狀態(tài)，否則不能保證收斂的數(shù)值解會落在帶內(nèi)。

2.2.2 不同分析任務(wù)的模型考核指標(biāo)

對于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)，分區(qū)分類給出GCI。按照精度控制要求，確定合適的網(wǎng)格劃分，形成建模規(guī)則。針對航空結(jié)構(gòu)設(shè)計中常見的平板結(jié)構(gòu)和加筋壁板結(jié)構(gòu)，研究確定了不同分析任務(wù)的考核指標(biāo)，靜強(qiáng)度分析模型校核指標(biāo)如表1所示。

表1 靜強(qiáng)度分析模型校核指標(biāo)

3 模型校核方法的工程應(yīng)用

3.1 金屬平板結(jié)構(gòu)

用于校核的金屬平板結(jié)構(gòu)長為300mm、寬為300mm、厚1.5mm，材料為2024鋁合金。邊界條件為夾持邊固支，非加載邊簡支，在夾持邊的對邊施加面內(nèi)壓縮位移載荷10mm。取平板初始屈曲載荷作為考核變量，形成的分析模型和典型分析結(jié)果如圖1所示。

圖1 金屬平板結(jié)構(gòu)分析模型與分析結(jié)果

為了保證數(shù)字求解過程中r值不變，即網(wǎng)格細(xì)化比率恒定，結(jié)合工程建模需求，選取單元尺寸分別為15mm、30mm和60mm構(gòu)建1、2、3號模型。初始屈曲的數(shù)值求解結(jié)果如表2所示。

表2 初始屈曲的數(shù)值求解結(jié)果

依據(jù)前述p值表達(dá)式，計算得到p=2.200404，網(wǎng)格收斂因子GCI=0.01123485，由該GCI定義的關(guān)于精細(xì)分區(qū)解w的誤差帶為(0.05102，0.05218)mm。當(dāng)單元尺寸為30mm時，誤差為4.2%，滿足工程精度要求，分析模型將用于驗(yàn)證預(yù)測；當(dāng)單元尺寸為60mm時，誤差為19.2%，不滿足工程精度要求，分析模型應(yīng)調(diào)整網(wǎng)格，重新進(jìn)行校核。

3.2 金屬單加筋板條結(jié)構(gòu)

用于校核的金屬加筋板條結(jié)構(gòu)，其蒙皮長為950mm、寬為150mm、厚1.5mm；筋條剖面為工形，其上緣條、腹板和下緣條寬度分別為20mm、38mm和55mm，材料均為2024鋁合金。邊界條件為加載邊固支，非加載邊自由，在離兩側(cè)端頭160mm處施加Y向約束以模擬試驗(yàn)中刀口對板條的支持。取結(jié)構(gòu)初始屈曲載荷作為考核變量，形成的分析模型和典型分析結(jié)果如圖2所示。

圖2 加筋板條結(jié)構(gòu)分析模型與分析結(jié)果

結(jié)合工程建模需求，選取單元尺寸分別為10mm、20mm、40mm構(gòu)建1、2、3號模型。初始屈曲的數(shù)值求解結(jié)果如表3所示。

表3 初始屈曲的數(shù)值求解結(jié)果

依據(jù)前述p值表達(dá)式，計算得到p=2.008882，網(wǎng)格收斂因子GCI=0.0096186，由該GCI定義的關(guān)于精細(xì)分區(qū)解w的誤差帶為(0.534023,0.544396)mm。當(dāng)單元尺寸為20mm時，誤差為3.1%，滿足工程精度要求，分析模型將用于驗(yàn)證預(yù)測；當(dāng)單元尺寸為40mm時，誤差為12.6%，不滿足工程精度要求，分析模型應(yīng)調(diào)整網(wǎng)格，重新進(jìn)行校核。

3.3 復(fù)合材料加筋板結(jié)構(gòu)

用于校核的四筋條復(fù)合材料加筋板結(jié)構(gòu)，其蒙皮長為950mm、寬為534mm、厚4.8mm；筋條剖面為工形，其上緣條、腹板和下緣條的寬度分別為20mm、38mm和55mm，材料均為CCF300/BA9916。邊界條件為加載邊固支，非加載邊自由，在離兩側(cè)端頭160mm處施加Y向約束以模擬試驗(yàn)中刀口對板條的支持。取屈曲載荷作為考核變量，形成的分析模型和典型分析結(jié)果如圖3所示。

圖3 復(fù)合材料加筋板結(jié)構(gòu)分析模型與分析結(jié)果

選取單元尺寸分別為5mm、10mm、20mm構(gòu)建1、2、3號模型。初始屈曲的數(shù)值求解結(jié)果如表4所示。

表4 初始屈曲的數(shù)值求解結(jié)果

依據(jù)前述p值表達(dá)式，計算得到p=2.3088，進(jìn)而得到wexact=6.9767mm，網(wǎng)格收斂因子GCI=0.0063689093，由該GCI定義的關(guān)于精細(xì)分區(qū)解w的誤差帶為(6.9678，7.0571)mm。當(dāng)單元尺寸為10mm時，誤差為2.5%，滿足工程精度要求，分析模型將用于驗(yàn)證預(yù)測；當(dāng)單元尺寸為20mm時，誤差為12.6%，不滿足工程精度要求，分析模型應(yīng)調(diào)整網(wǎng)格，重新進(jìn)行校核。

4 結(jié) 論

本文針對航空薄壁結(jié)構(gòu)靜力與屈曲分析模型的精度問題，開展了靜強(qiáng)度分析模型的校核方法研究，形成結(jié)論如下：

(1)針對航空薄壁結(jié)構(gòu)，構(gòu)建了從元素選擇、連接模擬、邊界等效等方面進(jìn)行模型檢查及基于后驗(yàn)誤差估計的模型校核方法，以獲得滿足任務(wù)目標(biāo)的分析模型；

(2)提出了一種基于有限元的Richardson外推法和多網(wǎng)格組合方案來進(jìn)行后驗(yàn)誤差估計的方法，并針對典型薄壁結(jié)構(gòu)形成了不同分析任務(wù)的考核指標(biāo)；

(3)針對形成的靜強(qiáng)度分析模型校核方法，利用平板、加筋板條和加筋板等工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行了方法的應(yīng)用與驗(yàn)證，證明了本方法的可行性。