考慮部件不確定性的發(fā)動(dòng)機(jī)性能裕度設(shè)計(jì)方法

計(jì)自飛，韓文俊，李瑞軍，閻巍

（中國(guó)航發(fā)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)研究所，沈陽(yáng) 110015）

0 引言

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的加工、裝配、使用過(guò)程中均會(huì)產(chǎn)生部件和系統(tǒng)性能的不確定性，各部件性能不確定性累積疊加會(huì)導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能的非確定性。尤其是在極端和惡劣工作條件下，很小的部件性能偏差都將對(duì)整機(jī)性能產(chǎn)生極大影響[1]。在發(fā)動(dòng)機(jī)研制初期就應(yīng)充分考慮不確定性問(wèn)題。為了保證性能達(dá)標(biāo)，以往的做法是在發(fā)動(dòng)機(jī)總體指標(biāo)上直接留出一定裕度，該裕度的取值往往依賴于工程經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于新研發(fā)動(dòng)機(jī)，由于新技術(shù)的應(yīng)用，尚無(wú)足夠的經(jīng)驗(yàn)，裕度選取過(guò)大，將會(huì)導(dǎo)致過(guò)大的冗余設(shè)計(jì)，進(jìn)而造成其他性能損失；裕度選取過(guò)小，則發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能仍存在較高的不達(dá)標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)。

部件參數(shù)不確定性對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能的影響的量化分析，可以通過(guò)蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation，MCS）方法實(shí)現(xiàn)。Kurzke[2]利用蒙特卡羅方法模擬了燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)的性能表征；Mavris等[3-5]利用概率方法研究了部件性能對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)循環(huán)參數(shù)選取的影響，為發(fā)動(dòng)機(jī)循環(huán)參數(shù)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)提供了參考；Kestner等[6-7]建立了響應(yīng)面模型、貝葉斯網(wǎng)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等來(lái)發(fā)展穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法；陳敏等[8]利用蒙特卡羅模擬開展了部件性能不確定性在渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)性能分析中的量化研究；唐海龍等[9]基于渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)部件不確定性的量化分析模型，研究了控制規(guī)律變化和性能蛻化對(duì)渦軸發(fā)動(dòng)機(jī)性能達(dá)標(biāo)概率的影響；趙運(yùn)生[10]以大涵道比渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，基于蒙特卡羅模擬研究了部件性能不確定性對(duì)整機(jī)性能達(dá)標(biāo)概率的影響。以上研究主要基于發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型開展，加上蒙特卡羅模擬需要足夠大的樣本數(shù)量才能獲得有意義的結(jié)果[11]，但過(guò)大的計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間在工程上難以接受。

本文以混合排氣渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，建立了航空燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)裕度需求的確定方法。

1 數(shù)學(xué)物理模型

1.1 基本思路

部件和系統(tǒng)的不確定性可以通過(guò)部件參數(shù)表征，例如，效率、面積等。概率密度函數(shù)用于模擬各部件和系統(tǒng)性能的不確定性，使其能夠在確定性的總體性能分析模型中傳播。部件參數(shù)不確定性對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)的影響分析原理如圖1所示。

圖1 部件參數(shù)不確定性對(duì)整機(jī)性能的影響分析原理

從圖中可見，性能參數(shù)的不確定性客觀存在。總體性能穩(wěn)健設(shè)計(jì)的目的就是提高性能參數(shù)達(dá)標(biāo)的置信度。考慮部件不確定性的發(fā)動(dòng)機(jī)性能裕度設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)途徑如圖2所示。從圖中可見，單純減小性能參數(shù)的不確定性，不能提高參數(shù)置信度；而通過(guò)在性能參數(shù)上留出合理的裕度，可以實(shí)現(xiàn)性能參數(shù)置信度的提高?？梢?，根據(jù)置信度需求確定合理的參數(shù)裕度需求是穩(wěn)健設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

圖2 考慮部件不確定性的發(fā)動(dòng)機(jī)性能裕度設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)途徑

1.2 計(jì)算模型

根據(jù)分析，開展考慮部件不確定性的發(fā)動(dòng)機(jī)性能裕度設(shè)計(jì)的基本步驟包括：不確定性定義→不確定性傳播→不確定性量化→總體參數(shù)裕度確定，如圖3所示。

圖3 考慮部件不確定性的發(fā)動(dòng)機(jī)性能裕度設(shè)計(jì)方法

（1）不確定性定義。

不確定性定義就是確定各部件參數(shù)的概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)用于模擬各部件和系統(tǒng)性能的不確定性，使其能夠在確定性的總體性能分析模型中傳播。假定標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的概率密度函數(shù)可表示為

假定各部件和系統(tǒng)參數(shù)不確定性分布符合正態(tài)分布，則其性能參數(shù)偏差量的樣本N為

式中：μ為樣本的均值；σ為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。

（2）不確定性傳播。

部件和系統(tǒng)參數(shù)不確定性的傳播通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)物理模型實(shí)現(xiàn)。本文以小涵道比混合排氣渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象。根據(jù)部件共同工作原理[12-13]，發(fā)動(dòng)機(jī)在非設(shè)計(jì)點(diǎn)工作時(shí)必須滿足6個(gè)平衡方程，即低壓軸功率、高壓軸功率、混合室內(nèi)外涵靜壓、燃燒室與高壓渦輪流量、高壓渦輪與低壓渦輪流量、低壓渦輪與尾噴管流量平衡方程。以上6個(gè)平衡方程構(gòu)成發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，寫成參數(shù)形式為

式（3）可通過(guò)Newton-Raphson方法迭代求解。寫成微分形式為

用差商代替微商，則式（4）變?yōu)?/p>

式中：M為6階系數(shù)矩陣。

由式（5）得到ΔX后，k+1次迭代的變量值修正為

如此反復(fù)，不斷修正獨(dú)立變量的值，直至平衡方程誤差滿足設(shè)定精度要求。

下面通過(guò)與GasTurb 13軟件計(jì)算結(jié)果的比較，驗(yàn)證根據(jù)上述方法建立的發(fā)動(dòng)機(jī)模型的精度和可靠性。對(duì)于總壓比為32、涵道比為0.4、渦輪前溫度為1800 K的混合排氣渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)，在地面起飛狀態(tài)下，保持推力恒定，開環(huán)調(diào)整中間狀態(tài)噴管喉部面積，則不同面積對(duì)應(yīng)的涵道比計(jì)算結(jié)果見表1。通過(guò)對(duì)比可見，本文模型計(jì)算結(jié)果與GasTurb計(jì)算結(jié)果的誤差均在1%以內(nèi)，說(shuō)明本文所建模型合理、可行，且具有較高精度，可完成部件和系統(tǒng)參數(shù)不確定性的傳播和量化。

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型驗(yàn)證

（3）不確定性量化。

蒙特卡羅模擬是研究不確定性量化的經(jīng)典方法。采用蒙特卡羅方法量化模型不確定性時(shí)，樣本數(shù)量要足夠大，才能得到可靠的結(jié)果[11]。因此，采用傳統(tǒng)的航空燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)的總體性能分析模型作為目標(biāo)函數(shù)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量極大。由文獻(xiàn)[14]可知，生產(chǎn)、裝配等因素導(dǎo)致的部件效率等參數(shù)的偏差量均在±1%以內(nèi)。部件和系統(tǒng)偏差在±1%以內(nèi)時(shí)，基于建立的發(fā)動(dòng)機(jī)非線性性能仿真模型獲得的發(fā)動(dòng)機(jī)地面起飛狀態(tài)性能參數(shù)對(duì)部件參數(shù)的敏感性分析結(jié)果如圖4所示。從圖中可見，在小偏差范圍內(nèi)，整機(jī)性能隨各部件和系統(tǒng)參數(shù)偏差量的變化基本呈線性變化，曲線的斜率越大，說(shuō)明性能參數(shù)對(duì)該部件參數(shù)偏差量越敏感。這一點(diǎn)可以通過(guò)將發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)關(guān)于部件和系統(tǒng)參數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行Taylor展開，并略去高階項(xiàng)的方法驗(yàn)證。因此，可以利用總體性能參數(shù)對(duì)部件參數(shù)的敏感性系數(shù)矩陣（見表2）替代航空發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型，開展部件參數(shù)不確定性的量化分析，從而在保證精度的同時(shí)，大大減小計(jì)算量。該方法稱為敏感性系數(shù)矩陣方法（Sensitivity Coefficient Matrix Method，SMM）。

圖4 發(fā)動(dòng)機(jī)總體參數(shù)對(duì)部件參數(shù)的敏感性

各部件和系統(tǒng)參數(shù)的綜合影響用和方根（Root Sum Square，RSS）方法求解（表2）。表中部件參數(shù)偏差量一欄換成不同置信度下各部件參數(shù)相比于均值的最大變化量的絕對(duì)值，即可得到不同置信度對(duì)應(yīng)的發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)的最大偏差量。根據(jù)和方根方法的理論可知，各部件參數(shù)偏差量的置信度直接影響發(fā)動(dòng)機(jī)總體參數(shù)偏差量的置信度。為了評(píng)估表2中敏感性系數(shù)矩陣的可靠性，利用成熟軟件GasTurb 13計(jì)算了相同輸入條件下的計(jì)算結(jié)果，見表3。表2、3對(duì)應(yīng)單項(xiàng)與和方根結(jié)果的偏差均在0.03%以內(nèi)，從而證實(shí)了表1中的敏感性系數(shù)矩陣的可靠性。

表2 總體性能參數(shù)對(duì)部件參數(shù)的敏感性系數(shù)矩陣（本文方法）

表3 總體性能參數(shù)對(duì)部件參數(shù)的敏感性系數(shù)矩陣（GasTurb 13）

1.3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述方法的合理性，對(duì)采用蒙特卡羅法獲得的發(fā)動(dòng)機(jī)推力和耗油率概率分布與采用敏感性系數(shù)矩陣方法獲得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，2種方法獲得的發(fā)動(dòng)機(jī)總體參數(shù)概率分布如圖5所示，其中蒙特卡羅法的樣本容量選取為20000。從圖中可見，2種方法獲得的發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)概率分布吻合良好，從而證明了敏感性系數(shù)矩陣方法的合理性，可用于不確定性的量化和總體性能參數(shù)裕度需求的確定。

圖5 2種方法獲得的發(fā)動(dòng)機(jī)總體參數(shù)概率分布

2 結(jié)果與討論

與試驗(yàn)測(cè)試不同，無(wú)論如何精確和復(fù)雜的性能分析模型都無(wú)法自動(dòng)考慮不確定性的影響。為此，將不確定分析融入發(fā)動(dòng)機(jī)性能分析模型，可為發(fā)動(dòng)機(jī)性能不確定性分析以及性能裕度設(shè)計(jì)提供依據(jù)[15]。按照確定性模型開展方案設(shè)計(jì)，只能保證發(fā)動(dòng)機(jī)平均性能達(dá)標(biāo)，即發(fā)動(dòng)機(jī)性能達(dá)標(biāo)的置信度只有50%，這顯然不滿足項(xiàng)目要求。為此，在設(shè)計(jì)中必須留出一定的性能裕度，使得發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)的置信度達(dá)到更高值。以給出的小涵道比渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，選取地面起飛狀態(tài)為設(shè)計(jì)點(diǎn)，部件和系統(tǒng)參數(shù)的偏差量按照文獻(xiàn)[14]中的方法考慮，進(jìn)一步研究發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)裕度需求的確定及其影響因素。

2.1 總體性能達(dá)標(biāo)置信度對(duì)裕度需求的影響

根據(jù)部件和系統(tǒng)參數(shù)的不確定性分布，采用敏感性系數(shù)矩陣方法得到發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)的不確定性分布，為簡(jiǎn)化分析，本文使用參數(shù)的相對(duì)偏差量代替參數(shù)的絕對(duì)量進(jìn)行分析，如圖6、7所示。對(duì)于推力而言，達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)是樣本值大于目標(biāo)值；而對(duì)于耗油率而言，達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)是樣本值小于目標(biāo)值。因此二者的累積概率曲線的形狀不同。

從圖中可見，性能參數(shù)達(dá)到某一置信度對(duì)應(yīng)的數(shù)值相比于均值（即性能指標(biāo)）的偏差即可作為該性能參數(shù)的設(shè)計(jì)裕度。采用SMM和MCS方法計(jì)算得到的不同置信度對(duì)應(yīng)的地面起飛狀態(tài)總體參數(shù)裕度需求見表4、5。從表中可見，采用2種方法得到的計(jì)算結(jié)果吻合良好，進(jìn)一步證實(shí)了本文建立的敏感性系數(shù)矩陣方法的有效性。總體性能參數(shù)滿足設(shè)計(jì)要求的置信度越高，其需要留出的裕度越大。這一點(diǎn)可以由圖6（b）和圖7（b）直觀解釋，圖中不同顏色的曲線分別代表不同置信度下的推力不確定性分布。與基準(zhǔn)發(fā)動(dòng)機(jī)（參數(shù)裕度為0，性能達(dá)標(biāo)置信度50%）的偏差越大，意味著裕度需求越大，則樣本在性能達(dá)標(biāo)區(qū)的占比越大，即性能達(dá)標(biāo)的置信度越高。

表4 不同性能置信度對(duì)應(yīng)總體參數(shù)裕度需求（SMM）

圖6 性能達(dá)標(biāo)置信度對(duì)推力裕度需求的影響

圖7 性能達(dá)標(biāo)置信度對(duì)耗油率裕度需求的影響

表5 不同性能置信度對(duì)應(yīng)總體參數(shù)的裕度需求（MCS）

在地面起飛狀態(tài)下，當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)性能指標(biāo)的置信度設(shè)置為60%時(shí)，推力和耗油率裕度需求分別為0.88%和-1.00%；當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)性能指標(biāo)的置信度設(shè)置為80%時(shí)，推力和耗油率裕度需求分別為2.82%和-3.33%；當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)性能指標(biāo)的置信度設(shè)置為95%時(shí)，推力和耗油率裕度需求分別為5.45%和-6.65%。需要注意的是，以上定量結(jié)論是基于本文設(shè)定的發(fā)動(dòng)機(jī)循環(huán)參數(shù)計(jì)算得出的，該方法可推廣應(yīng)用于不同發(fā)動(dòng)機(jī)，具體量化結(jié)果需要根據(jù)相應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)的循環(huán)參數(shù)進(jìn)行評(píng)估。

2.2 部件參數(shù)達(dá)標(biāo)置信度對(duì)裕度需求的影響

壓氣機(jī)效率不確定性分布的標(biāo)準(zhǔn)差與置信度的關(guān)系如圖8所示。在某一特定區(qū)間內(nèi)，部件參數(shù)不確定分布的標(biāo)準(zhǔn)差越小，則參數(shù)落入該區(qū)間的置信度越高。因此，可用部件參數(shù)不確定性分布的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表征部件參數(shù)的置信度。以前文所用各部件參數(shù)不確定性分布的標(biāo)準(zhǔn)差為基準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上乘以不同系數(shù)，構(gòu)成3種不同的部件參數(shù)置信度?？紤]將發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)的置信度目標(biāo)設(shè)定為80%，則按照前文確定性能參數(shù)裕度的方法，利用2種方法計(jì)算的不同部件參數(shù)置信度對(duì)應(yīng)的發(fā)動(dòng)機(jī)地面起飛狀態(tài)性能參數(shù)裕度設(shè)計(jì)結(jié)果見表6、7。

圖8 壓氣機(jī)效率不確定性分布的標(biāo)準(zhǔn)差與置信度的關(guān)系

表6 不同部件參數(shù)置信度對(duì)應(yīng)總體參數(shù)裕度需求（SMM）

表7 不同部件參數(shù)置信度對(duì)應(yīng)總體參數(shù)裕度需求（MCS）

從表中可見，2種方法的計(jì)算結(jié)果吻合良好，進(jìn)一步證實(shí)了本文建立的敏感性系數(shù)矩陣方法的有效性。部件參數(shù)置信度對(duì)推力和耗油率裕度需求的影響如圖9、10所示。根據(jù)定量結(jié)果，部件參數(shù)滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)的置信度越高，總體性能參數(shù)需要留出的裕度越小。這一點(diǎn)的物理含義可以通過(guò)圖9（b）和圖10（b）進(jìn)行解釋。當(dāng)總體性能參數(shù)達(dá)標(biāo)的置信度相同時(shí)，總體性能參數(shù)的概率密度曲線越“瘦高”，則該分布的均值與性能指標(biāo)的差值越小，意味著性能參數(shù)的裕度需求越小。就正態(tài)分布而言，概率密度曲線越“瘦高”，則要求各部件和系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，意味著部件和系統(tǒng)參數(shù)達(dá)標(biāo)的置信度越高（圖8）。

圖9 部件參數(shù)置信度對(duì)推力裕度需求的影響

圖10 部件參數(shù)置信度對(duì)耗油率裕度需求的影響

在地面起飛狀態(tài)下，將各部件參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差增大1倍，則推力裕度需求增加86%，耗油率裕度需求增加98%；將各部件參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差減小50%，則推力裕度需求減小49%，耗油率裕度需求減小52%。該定量結(jié)論是基于本文設(shè)定的發(fā)動(dòng)機(jī)循環(huán)參數(shù)計(jì)算得出的，該方法可推廣應(yīng)用于不同的發(fā)動(dòng)機(jī)，具體量化結(jié)果需要根據(jù)相應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)的循環(huán)參數(shù)進(jìn)行評(píng)估。

上述部件參數(shù)不確定性對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)影響分析的結(jié)果，為發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)裕度設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。性能參數(shù)裕度需求的確定，需要考慮各方面的因素來(lái)綜合確定。在方案設(shè)計(jì)初期，總體性能參數(shù)裕度的設(shè)計(jì)需要考慮發(fā)展?jié)摿Α⑿阅芩ネ?、安裝損失、部件參數(shù)不確定性等多方面[16-18]，本文主要關(guān)注考慮部件參數(shù)不確定性的發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)裕度設(shè)計(jì)。對(duì)于輸出功率的地面燃機(jī)，可以通過(guò)放大尺寸來(lái)留出足夠的功率裕度；而提供推力的航空發(fā)動(dòng)機(jī)，其推力裕度需求會(huì)受到質(zhì)量和迎風(fēng)面積的嚴(yán)格限制，考慮到競(jìng)爭(zhēng)性采購(gòu)等因素，耗油率指標(biāo)的裕度也不宜過(guò)大。

3 結(jié)論

（1）在加工、裝配等環(huán)節(jié)導(dǎo)致的部件和系統(tǒng)參數(shù)偏差范圍內(nèi)，航空發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能偏差量隨各部件和系統(tǒng)參數(shù)偏差量的變化基本呈線性變化，曲線的斜率越大，說(shuō)明性能參數(shù)對(duì)該部件偏差量越敏感。耗油率對(duì)于部件效率和引氣比例的偏差更加敏感，而推力對(duì)于尾噴管喉部面積的偏差更加敏感。

（2）對(duì)于各部件參數(shù)的不確定性滿足正態(tài)分布，且各參數(shù)之間不相關(guān)的情形，部件參數(shù)不確定性對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)的影響量化分析可通過(guò)敏感性系數(shù)矩陣方法實(shí)現(xiàn)。由于部件參數(shù)不確定性導(dǎo)致的總體性能參數(shù)偏差分布同樣滿足正態(tài)分布，并且部件參數(shù)的置信度決定了發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能參數(shù)的置信度。

（3）部件參數(shù)不確定分析結(jié)果為總體性能參數(shù)裕度設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。部件參數(shù)滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)的置信度越高，總體性能參數(shù)需要留出的裕度越小。部件參數(shù)置信度可由不確定性分布的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表征，對(duì)于本文的算例發(fā)動(dòng)機(jī)，在地面起飛條件下，若部件參數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差增大1倍，則推力裕度需求增加86%，耗油率裕度需求增加98%；若部件參數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差減小50%，則推力裕度需求減小49%，耗油率裕度需求減小52%。

（4）總體性能參數(shù)滿足設(shè)計(jì)要求的置信度越高，其需要留出的裕度越大。在地面起飛條件下，推力指標(biāo)置信度分別達(dá)到60%、80%和95%對(duì)應(yīng)的裕度需求分別是0.88%、2.82%和5.45%；耗油率指標(biāo)置信度分別達(dá)到60%、80%和95%對(duì)應(yīng)的裕度需求分別是-1.00%，-3.33%和-6.65%。

利用本文所建立的方法，可以在計(jì)算量較小的前提下獲得考慮部件參數(shù)不確定性的發(fā)動(dòng)機(jī)總體性能裕度選取值。但本方法僅適用于部件和系統(tǒng)參數(shù)的不確定滿足正態(tài)分布，且各部件參數(shù)不相關(guān)的情況。若存在某一部件參數(shù)的不確定性為非對(duì)稱分布，則本方法不再適用，需要借助蒙特卡羅模擬來(lái)開展相關(guān)研究。同時(shí)，本文重點(diǎn)討論原理和方法，定量結(jié)果主要基于算例發(fā)動(dòng)機(jī)工作參數(shù)得出，若要推廣用于其它發(fā)動(dòng)機(jī)，則需更新算例發(fā)動(dòng)機(jī)工作參數(shù)。