蔣麗忠，余 建，周旺保，馮玉林，彭 康，左永健

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075；2.中南大學(xué)高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410075；3.華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，南昌 330013)

鋼軌不平順是指鋼軌的幾何形狀、尺寸和空間位置發(fā)生相對(duì)于正常情況的偏差。受到施工誤差、構(gòu)件變形以及自然環(huán)境作用等多方面因素影響，鋼軌不平順是普遍存在的。鋼軌不平順是引起高速列車振動(dòng)的主要激擾源之一[1-3]，為了保證列車運(yùn)行的安全性和舒適性，有必要對(duì)鋼軌不平順的特征、分布規(guī)律及影響展開研究。

近年來，學(xué)者們針對(duì)溫度變化[4-6]、基礎(chǔ)不均勻沉降[7-10]、混凝土徐變[11-14]、鋼軌焊縫[15-19]、構(gòu)件剛度退化[20-23]等多種因素引起的鋼軌不平順均展開了研究。但目前關(guān)于研究地震導(dǎo)致的鋼軌不平順的文獻(xiàn)仍很少。中國(guó)的高速鐵路建設(shè)逐漸向山區(qū)地震斷裂帶和沿海地震高烈度區(qū)延伸[24-28]，高速鐵路橋梁遭遇地震的幾率大大提升。鐵路運(yùn)輸作為抗震救災(zāi)的重要生命線，在抗震救災(zāi)期和災(zāi)后重建期承擔(dān)了極其重要的運(yùn)輸任務(wù)，研究震致鋼軌不平順是保證震后行車安全的基礎(chǔ)。

因此，本文建立了帶CRTS Ⅱ型軌道系統(tǒng)的高速鐵路簡(jiǎn)支梁有限元模型并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，研究了橫向地震作用后鋼軌殘余不平順的分布規(guī)律，對(duì)震后鋼軌殘余不平順的平穩(wěn)性進(jìn)行了驗(yàn)證，基于隨機(jī)振動(dòng)理論和假設(shè)檢驗(yàn)原理分別提出了平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順功率譜密度曲線、非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順功率譜密度曲面的確定方法，構(gòu)造了震致鋼軌幾何不平順樣本，為震后行車速度閾值的確定提供不平順輸入。

1 高速鐵路系統(tǒng)有限元模型及其驗(yàn)證

1.1 高速鐵路系統(tǒng)有限元模型

以8 度地震區(qū)內(nèi)一座采用CRTS Ⅱ型板式無砟軌道的多跨簡(jiǎn)支梁作為研究對(duì)象(圖1)。主梁采用長(zhǎng)度32.5 m 的標(biāo)準(zhǔn)預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁，橋墩采用圓端形實(shí)體墩，支座采用豎向承載力為5000 kN的盆式橡膠支座，防落梁裝置間隙設(shè)為20 cm。底座板為寬2.55 m、高0.19 m 縱向通長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，底座板與主梁之間鋪設(shè)6 mm 厚的滑動(dòng)層。軌道板結(jié)構(gòu)是用張拉鎖件連接相鄰底座板上的縱向鋼筋形成的縱向連續(xù)結(jié)構(gòu)，截面尺寸為2.55 m × 0.2 m，軌道板與底座板之間填充厚度3 cm 的CA 砂漿層。鋼軌采用CHN60 型軌，扣件類型為WJ-8C 型。剪力齒槽設(shè)置在固定支座上方的梁體表面。剪切鋼筋設(shè)置在梁縫兩側(cè)的軌道板和底座板之間。側(cè)向擋塊設(shè)置在橋面上，相鄰擋塊縱向相距6.5 m。采用ANSYS 建立有限元模型，箱梁、底座板、軌道板、鋼軌模擬為彈性梁?jiǎn)卧?，單元長(zhǎng)度設(shè)置為0.65 m。橋墩模擬為考慮彎矩-曲率曲線的廣義梁?jiǎn)卧＿B接構(gòu)件采用非線性彈簧進(jìn)行模擬，本構(gòu)關(guān)系如表1 和圖2 所示[24-26]。

圖1 高速鐵路軌道-橋梁系統(tǒng)示意圖Fig.1 Structural diagram of high-speed railway track-bridge system

表1 非線性彈簧單元的本構(gòu)曲線Table 1 The force-displacement curves of the spring elements

圖2 非線性彈簧單元的本構(gòu)曲線Fig.2 The force-displacement curves of the spring elements

1.2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證有限元模型的正確性，對(duì)一座11 跨高速鐵路簡(jiǎn)支梁橋縮尺模型開展了振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)[24,26](圖3)，試驗(yàn)的相似系數(shù)見表2。振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)系統(tǒng)由4 個(gè)邊長(zhǎng)為4 m 的6 自由度振動(dòng)臺(tái)組成，試驗(yàn)區(qū)域的最大長(zhǎng)度為55 m，適用于大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的抗震試驗(yàn)。縮尺模型的試件制作遵循以下原則：1)為了便于制作和安裝，試件整體采用鋼材進(jìn)行加工制作；2)主梁、橋墩、底座板、軌道板和鋼軌在地震中一般不發(fā)生明顯損傷，因此，在試件的設(shè)計(jì)中不考慮它們的非線性，根據(jù)等效剛度原理，試件的彎曲剛度設(shè)計(jì)為原型剛度與剛度相似系數(shù)SS的乘積；3)滑動(dòng)層、砂漿層和扣件在結(jié)構(gòu)內(nèi)力的傳遞中發(fā)揮著重要作用，因此，根據(jù)等效力和等效位移原理對(duì)試件進(jìn)行設(shè)計(jì)，對(duì)不同尺寸的試件進(jìn)行屈服力和屈服位移測(cè)試，選擇屈服力和屈服位移與原型相似程度最高(SF和SL)的尺寸作為試件尺寸；4)剪力齒槽、剪切鋼筋和側(cè)向擋塊在地震中通常沒有明顯變形，因此，它們的試件設(shè)計(jì)得足夠堅(jiān)固。通過振動(dòng)臺(tái)對(duì)模型施加地震激勵(lì)，記錄下結(jié)構(gòu)響應(yīng)并與有限元模型進(jìn)行比較。通過振動(dòng)臺(tái)對(duì)模型施加地震激勵(lì)，記錄下結(jié)構(gòu)響應(yīng)并與有限元模型進(jìn)行比較(圖4)?？梢钥吹?，有限元模型地震響應(yīng)的形狀和幅值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基本一致，表明有限元模型能夠比較準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

表2 振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)相似系數(shù)Table 2 similarity coefficient of shaking table test

圖3 振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)Fig.3 The shaking table test

圖4 結(jié)構(gòu)橫向地震響應(yīng)Fig.4 Lateral response of structure under the action of earthquakes

2 橫向地震作用后鋼軌殘余不平順的分布規(guī)律

橋址位于8 度區(qū)，對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)地震峰值加速度為0.2g，場(chǎng)地的特征周期分區(qū)為一區(qū)，場(chǎng)地類別為Ⅰ類，場(chǎng)地的反應(yīng)譜特征周期為0.25 s。結(jié)合上述信息生成場(chǎng)地的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜，導(dǎo)入PEER 強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫并從中篩選出40 條和設(shè)計(jì)反應(yīng)譜匹配程度最高的地震動(dòng)作為有限元模型的橫向地震輸入。

將有限元模型的簡(jiǎn)支梁跨數(shù)取為30，墩高取為14 m。為了模擬路基段對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的約束效應(yīng)，分別對(duì)第1 跨簡(jiǎn)支梁固定端和第30 跨簡(jiǎn)支梁滑動(dòng)端的底座板、軌道板、鋼軌施加固定約束。將40 條加速度輸入的峰值分別調(diào)整為0.2g和0.38g(8 度區(qū)設(shè)計(jì)和罕遇地震峰值加速度)，在每一條地震輸入的尾端增加一段10 s 的零值段以模擬地震停止后結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)(圖5)，對(duì)有限元模型開展非線性時(shí)程分析。從有限元模型中提取震后鋼軌殘余位移，將左右鋼軌的橫向、豎向位移分別記為yl、yr、zl、zr；將鋼軌的軌距、高低、軌向、水平不平順分別記為Ig、Iv、Ia、Ic。它們滿足下列關(guān)系：

圖5 地震動(dòng)輸入(1971，San Fernando 地震，地震臺(tái)：Pacoima Dam)Fig.5 Ground motion input (1971,Earthquake:San Fernando,Seismic Station:Pacoima dam)

結(jié)合式(1)～式(4)生成震后鋼軌殘余不平順(圖6)。可以看到，鋼軌的軌距、高低和水平不平順的幅值較小，軌向不平順的幅值較大，這是由于橋墩的橫向屈服力大于支座，在橫向地震作用后橋墩整體保持彈性狀態(tài)，而支座的橫向殘余變形較大。軌向不平順的幅值隨PGA 的提高大幅增長(zhǎng)，表明支座的損傷和殘余位移隨著地震強(qiáng)度的提升顯著增加。因此，震后鋼軌殘余軌向不平順有可能成為列車震后行車速度的主要控制因素，本文將以其作為主要的研究對(duì)象。

圖6 40 組震后鋼軌殘余不平順Fig.6 Residual rail irregularity after 40 earthquakes

殘余軌向不平順主要集中在0 m～200 m 和800 m～1000 m 范圍內(nèi)，在200 m～800 m 范圍內(nèi)鋼軌相較于初始位置發(fā)生了整體偏移，這是由于橋梁兩端的鋼軌將受到路基段約束效應(yīng)的影響，而約束效應(yīng)的影響范圍大約在200 m。這個(gè)結(jié)論表明對(duì)于采用CRTS Ⅱ型板式無砟軌道的高速鐵路多跨簡(jiǎn)支梁，靠近路基約200 m 范圍內(nèi)的震后鋼軌殘余軌向不平順需要特殊考慮；其余空間范圍內(nèi)的不平順特征相對(duì)穩(wěn)定，其不平順特征可以通過一個(gè)較小的空間樣本展開預(yù)測(cè)。高速鐵路簡(jiǎn)支梁橋的跨數(shù)往往可以達(dá)到幾十甚至上百，過多的簡(jiǎn)支梁數(shù)量將引起有限元分析工作量的顯著增加，這個(gè)結(jié)論對(duì)于有限元模型的簡(jiǎn)化具有重要意義。

3 震后鋼軌殘余不平順的平穩(wěn)性驗(yàn)證

3.1 平穩(wěn)性驗(yàn)證方法

若將震后鋼軌殘余不平順視為一組空間序列，那么其平穩(wěn)性是指該序列在任意空間范圍內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性(均值、方差、協(xié)方差等)保持不變。對(duì)震后鋼軌殘余不平順平穩(wěn)性的檢驗(yàn)具有重要意義，主要體現(xiàn)在：1)若震后鋼軌殘余不平順在空間上具有平穩(wěn)性，那么就可以通過截取一個(gè)較小的空間樣本來對(duì)任意空間范圍內(nèi)的鋼軌不平順特征展開計(jì)算；2)殘余不平順是否具有平穩(wěn)性對(duì)于其分析方法具有決定性影響，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)適合采用傅里葉變換進(jìn)行分析，而非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的分析則應(yīng)該基于短時(shí)傅里葉變換、小波分析等時(shí)頻分析方法。因此，本節(jié)將結(jié)合隨機(jī)振動(dòng)理論和假設(shè)檢驗(yàn)原理，對(duì)震后鋼軌殘余不平順的平穩(wěn)性展開檢驗(yàn)。首先，將不平順樣本(y1,y2,···,yN)記為YN，構(gòu)造集合A(y1,y2,···,yN-1)和集合B(y2,提出零假設(shè)H0：YN是非平穩(wěn)隨機(jī)過程；對(duì)應(yīng)的備擇假設(shè)H1為：YN是平穩(wěn)隨機(jī)過程。構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量t：

lAA、lAB、sn可分別表示為：

式中：t為分布臨界值；α為顯著水平(α=0.05)。當(dāng)不平順樣本的h2=0 時(shí)，則應(yīng)考慮該不平順樣本為非平穩(wěn)序列；當(dāng)不平順樣本的h2=1 時(shí)，可認(rèn)為該不平順樣本是平穩(wěn)序列。

3.2 實(shí)例分析

將圖6 中的軌向不平順分別劃分為0 m～200 m的L1段，200 m～800 m 的L2段，以及800 m～1000 m的L3段。對(duì)40 組鋼軌殘余軌向不平順的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，如圖7 所示?？梢钥吹剑瑢?duì)于所有地震動(dòng)，L1段和L3段的h2均等于0，表明L1段和L3段不平順為非平穩(wěn)序列；對(duì)于絕大部分地震動(dòng)，L2段的h2均等于1，表明L2段不平順可近似按照平穩(wěn)序列進(jìn)行處理。

圖7 震后鋼軌殘余軌向不平順的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Smoothness test results of rail residual track irregularity after earthquakes

4 平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順的構(gòu)造

4.1 構(gòu)造方法

信號(hào)同時(shí)具備時(shí)間特征和頻率特征。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，信號(hào)特征往往體現(xiàn)在頻譜特性上，而傅里葉變換是分析信號(hào)頻譜特性的常用工具。因此，本節(jié)將結(jié)合傅里葉變換和假設(shè)檢驗(yàn)原理，構(gòu)造一種具有保證率的平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順。將震后鋼軌殘余不平順的樣本及其離散傅里葉變換記為η(n)和F(f)，它們滿足：

式中，n、N、f分別為不平順數(shù)據(jù)點(diǎn)的序號(hào)、總量以及頻率點(diǎn)。不平順樣本的功率譜密度曲線記為G(f)，存在：

將i條地震波(i=1,2,···,I)對(duì)應(yīng)的G(f)曲線記為Gi(f)，將各個(gè)頻率上對(duì)應(yīng)的i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)記為gi，gi的常用對(duì)數(shù)集合記為Xi。采用假設(shè)檢驗(yàn)原理中的k-s法來檢驗(yàn)Xi的正態(tài)性，定義函數(shù)F(k)：

記Φ、μ、σ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、樣本Xk的均值和方差，定義函數(shù)F0(k)：

式中，zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的分位點(diǎn)。連接各個(gè)頻率的上界Xu，得到震后鋼軌殘余不平順功率譜密度上界曲線Xr(f)。在隨機(jī)地震作用下Xi是不確定的，但由Xi的特征參數(shù)生成的Xu是唯一的，因此Xr(f)可以用于預(yù)測(cè)震致鋼軌幾何不平順。采用多項(xiàng)式S(f)對(duì)Xr(f)進(jìn)行擬合，震致鋼軌幾何不平順的時(shí)域樣本 ηT可以表示為：

式中：m、M為頻率點(diǎn)的編號(hào)和總量；φ(m)為(0,2π)上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量；Δf為頻率點(diǎn)間隔。將采樣速度記為V，震致鋼軌幾何不平順的空間樣本 ηS可以表示為：

4.2 實(shí)例分析

基于第3 節(jié)和第4 節(jié)的結(jié)論，選取L2不平順段開展平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順的構(gòu)造，步驟如下所示：

1)根據(jù)式(9)～式(10)，生成40 條震后鋼軌殘余軌向不平順的功率譜密度曲線G(f)(圖8)。

圖8 功率譜密度曲線G(f)Fig.8 Power spectral density curve G(f)

2)根據(jù)式(11)～式(15)，將每一頻率上40 個(gè)功率譜密度曲線點(diǎn)集合記為g40，g40的常用對(duì)數(shù)集合記為X40，對(duì)X40的正態(tài)性進(jìn)行驗(yàn)證(圖9)。不同頻率上X40的J2計(jì)算值均為0，表明X40內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)滿足正態(tài)分布。

圖9 系數(shù)J2Fig.9 Coefficient J2

3)根據(jù)式(16)～式(17)，計(jì)算并連接各個(gè)頻率的上界Xu得到震后鋼軌殘余軌向不平順的功率譜密度上界曲線Xr(f)(圖10)。

圖10 功率譜密度上界曲線Xr(f)Fig.10 Upper bound curve of power spectral density Xr(f)

4)根據(jù)Xr(f)的形狀特征，以lg(f)=-0.7為界限，左側(cè)和右側(cè)分別采用三次多項(xiàng)式和線性方程進(jìn)行擬合，得到表達(dá)式S(f)(圖11)。

圖11 功率譜密度上界曲線表達(dá)式S(f)Fig.11 Expression of upper bound curve of power spectral density S(f)

5)根據(jù)式(18)～式(19)，計(jì)算震致鋼軌幾何不平順樣本 ηS(圖12)。

圖12 震致鋼軌幾何不平順Fig.12 Rail geometric irregularity caused by earthquakes

6)根據(jù)式(10)計(jì)算 ηS的功率譜密度曲線并與S(f)比較(圖13)，可以看到兩者的位置基本貼合，表明生成平順樣本 ηS的正確性。

圖13 震致鋼軌幾何不平順的功率譜密度曲線Fig.13 Power spectral density curve of rail geometric irregularity caused by earthquakes

5 非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順的構(gòu)造

5.1 構(gòu)造方法

對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，信號(hào)往往需要從頻率特征和時(shí)間特征兩方面展開分析，但傅里葉變換不具備分析信號(hào)時(shí)間特征的能力。因此，本文引入短時(shí)傅里葉變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻特性展開研究，并結(jié)合假設(shè)檢驗(yàn)原理，構(gòu)造一種非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順。

短時(shí)傅里葉變換的原理是將信號(hào)分幀加窗，對(duì)每個(gè)窗口內(nèi)的信號(hào)開展傅里葉變換，計(jì)算并拼接不同時(shí)間窗口上的頻率特征從而得到整個(gè)信號(hào)的時(shí)頻信息。對(duì)于震后鋼軌殘余不平順的樣本η(n)，其離散短時(shí)傅里葉變換為：

式中：DTFT為離散時(shí)間傅里葉變換；w為窗函數(shù)；t為窗函數(shù)的偏移時(shí)間；f為頻率。窗函數(shù)的種類較多，本文采用hamming 窗，即：

式中，L為hamming 窗的長(zhǎng)度。樣本的功率譜密度曲面為：

式中，F(xiàn)s為采樣頻率。將i條地震波對(duì)應(yīng)的功率譜密度曲面Gη(t,f)記為Gi(t,f)，將坐標(biāo)(t,f)上對(duì)應(yīng)的i個(gè)曲面點(diǎn)記為gi(t,f)，gi的常用對(duì)數(shù)集合記為Xi(t,f)。

采用式(11)～式(15)檢驗(yàn)Xi的正態(tài)性。若對(duì)于所有(t,f)，Xi均能滿足正態(tài)性檢驗(yàn)，則采用式(16)～式(17)計(jì)算所有(t,f)上的上界Xu。連接各Xu得到樣本的功率譜密度曲面上界Xu(t,f)。此時(shí)，對(duì)于任意一條地震波的功率譜密度曲面Gi(t,f)，存在：

因此，非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順η(n)可以表示為：

式中，DTFT-1為離散時(shí)間傅里葉逆變換。

5.2 實(shí)例分析

選取L1段開展非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順的構(gòu)造，步驟如下所示：

1)以0.1 m 為空間間隔對(duì)L1段不平順插值取點(diǎn)，時(shí)間采樣頻率設(shè)為1024，根據(jù)式(20)～式(23)，生成包含40 個(gè)震后鋼軌殘余軌向不平順功率譜密度曲面的集合G(圖14 展示了San Fernando 地震作用后的鋼軌殘余軌向不平順功率譜密度曲面)。

圖14 震后鋼軌殘余軌向不平順的功率譜密度曲面(San Fernando 地震)Fig.14 Power spectral density surface of rail residual track irregularity after earthquake (Earthquake:San Fernando)

2)根據(jù)式(11)～式(15)，將各個(gè)(t,f)上的40 個(gè)功率譜密度曲面點(diǎn)集合記為g40，g40的常用對(duì)數(shù)集合記為X40，對(duì)X40的正態(tài)性進(jìn)行驗(yàn)證(圖15)?？梢钥吹剑?t,f)上的J2都等于0，表明各個(gè)(t,f)上的功率譜密度曲面點(diǎn)滿足正態(tài)分布。

圖15 系數(shù)J2Fig.15 Coefficient J2

3)根據(jù)式(16)～式(17)計(jì)算所有(t,f)上的上界Xu。連接各Xu得到樣本的功率譜密度曲面上界Xr(t,f)(圖16)。

圖16 功率譜密度曲面上界曲面Fig.16 Upper bound of power spectral density surface

4)根據(jù)式(23)～式(27)，計(jì)算非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順η(n)(圖17)。

圖17 非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順Fig.17 Nonstationary rail geometric irregularity caused by earthquakes

5)根據(jù)式(22)，生成非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順的功率譜密度(圖18)。可以看到，其自然對(duì)數(shù)的曲面形狀與Xr(t,f)(圖16)基本一致，證明了上述方法的正確性。

圖18 非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順的功率譜密度曲面Fig.18 Power spectral density surface of nonstationary rail geometric irregularity caused by earthquakes

6 結(jié)論

本文研究了橫向地震作用后鋼軌殘余不平順的分布規(guī)律，對(duì)震后鋼軌殘余不平順的平穩(wěn)性進(jìn)行了驗(yàn)證，基于隨機(jī)振動(dòng)理論和假設(shè)檢驗(yàn)原理分別提出了平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順功率譜密度曲線、非平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順功率譜密度曲面的確定方法，構(gòu)造了震致鋼軌幾何不平順樣本，獲得如下主要結(jié)論：

(1)震后鋼軌殘余軌距、高低和水平不平順的幅值較小，軌向不平順的幅值較大，這是由于橋墩的橫向屈服力大于支座，在橫向地震作用后橋墩整體保持彈性狀態(tài)，而支座的橫向殘余變形較大。

(2)對(duì)于采用CRTS Ⅱ型板式無砟軌道的高速鐵路多跨簡(jiǎn)支梁，震后鋼軌殘余軌向變形主要集中在靠近路基約200 m 的范圍內(nèi)；其余空間范圍內(nèi)的軌向不平順特征相對(duì)穩(wěn)定，其不平順特征可以通過一個(gè)較小的空間樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)。

(3)靠近路基約200 m 的范圍內(nèi)的震后鋼軌殘余不平順應(yīng)按照非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行處理，其余空間范圍內(nèi)的軌向不平順可近似按照平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行處理。

(4)在隨機(jī)地震作用下，平穩(wěn)鋼軌殘余不平順在各個(gè)頻率的功率譜密度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，非平穩(wěn)段不平順在各個(gè)時(shí)間-頻率節(jié)點(diǎn)上的功率譜密度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。震后鋼軌殘余不平順震致鋼軌幾何不平順可通過震后鋼軌殘余不平順譜集合的均值和方差簡(jiǎn)單表示。

(5)平穩(wěn)震致鋼軌幾何不平順的功率譜密度可采用多段多項(xiàng)式函數(shù)擬合，計(jì)算形式簡(jiǎn)單，便于手算，為基于行車安全性能的高速鐵路橋梁抗震設(shè)計(jì)方法提供了重要的理論基礎(chǔ)。