郭 旭，周建星，孫占飛

(新疆大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的飛速發(fā)展，多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶等領(lǐng)域，其嚙合性能對(duì)于整個(gè)傳動(dòng)有著重要的影響.同時(shí)系統(tǒng)中的齒輪和軸系運(yùn)行過(guò)程中傳遞的振動(dòng)也是產(chǎn)生噪聲的主要原因.齒側(cè)間隙及齒輪的幾何偏心會(huì)影響多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合特性，因此分析齒側(cè)間隙及幾何偏心對(duì)多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合性能的影響具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

目前，學(xué)者們的研究主要集中在多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的建模及分析齒輪嚙合過(guò)程產(chǎn)生振動(dòng)與噪聲的影響因素上[1?5]；朱麗莎等[6]為探究多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中多對(duì)齒輪的耦合狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響，利用有限元法，建立了彎-扭-軸-擺斜的齒輪轉(zhuǎn)子耦合通用模型，并對(duì)系統(tǒng)的固有特性及不平衡響應(yīng)進(jìn)行了分析；任朝暉等[7]利用集中參數(shù)法建立了22自由度的彎扭軸耦合通用模型，并研究轉(zhuǎn)速、齒輪偏心距和軸向游隙等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響；馬輝等[8]將齒輪有限單元法與轉(zhuǎn)子有限單元法相結(jié)合，建立了多平行軸通用齒輪轉(zhuǎn)子有限元模型，并分別研究了齒輪幾何偏心及轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響；李創(chuàng)等[9]等利用Adams建立了含齒側(cè)間隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的集中質(zhì)量模型，研究分析了側(cè)隙和齒輪偏心量對(duì)嚙合力的影響作用；杜坤等[10]利用ANSYS/LS-DYNA有限元軟件對(duì)考慮齒側(cè)間隙的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行嚙合分析，研究了不同側(cè)隙對(duì)齒輪嚙合沖擊力的影響；常樂(lè)浩等[11]利用有限元方法建立了計(jì)入箱體柔性的齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合模型，并通過(guò)單級(jí)的斜齒輪傳動(dòng)算例，與前人文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了模型的有效性；周建星等[12]通過(guò)研究單級(jí)齒輪減速器，以軸承載荷作為激勵(lì)源，構(gòu)建了減速器齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)有限元模型，并利用FEM/BEM法對(duì)減速器進(jìn)行噪聲輻射分析；Chen等[13]以行星齒輪為研究對(duì)象，考慮了齒輪時(shí)變嚙合剛度等因素，構(gòu)建了行星傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，深入研究了軸向的偏載對(duì)齒面接觸特性的影響以及對(duì)整個(gè)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響；喬自珍等[14]考慮傳動(dòng)軸的柔性，并計(jì)入兩級(jí)齒輪相位角等因素.利用有限元法建立了多源激勵(lì)下的兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證，證明了該模型的有效性；趙昕等[15]采用集中質(zhì)量法建立了計(jì)入彎扭耦合的16自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，模型中考慮了幾何偏心及齒輪的時(shí)變嚙合剛度等非線性因素，以龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行求解，深入分析了齒輪的幾何偏心對(duì)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)的影響；馬登秋等[16]利用Adams建立了包含幾何偏心激勵(lì)的圓弧齒線圓柱齒輪的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)偏心情況下不同的三種工況進(jìn)行深入討論，研究了偏心激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)嚙合力的影響；林梅彬[17]利用集中質(zhì)量法建立了計(jì)入齒面摩擦和齒側(cè)間隙的單自由度齒輪系統(tǒng)，用龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行求解，并分析了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的分岔特性和系統(tǒng)在參數(shù)平面的動(dòng)態(tài)特性；Fabio等[18]提出了一種考慮葉片數(shù)和轉(zhuǎn)子-定子間隙變化對(duì)碰摩力影響改進(jìn)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片-機(jī)匣碰摩模型，并將Newmark-β法與改進(jìn)的Newmark-β法結(jié)合，得到了碰摩故障下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，通過(guò)試驗(yàn)和仿真結(jié)果對(duì)比，結(jié)果吻合較好；王勝男等[19]利用集中質(zhì)量法，建立了二級(jí)平行軸齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)的平移-扭振模型，用FEM/BEM法對(duì)箱體的輻射噪聲進(jìn)行了分析和預(yù)測(cè)，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了該噪聲預(yù)測(cè)方法的有效性.

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文以兩級(jí)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于系統(tǒng)質(zhì)量不平衡建立轉(zhuǎn)子有限元模型、與包含不同承載形式的滾動(dòng)軸承模型及考慮幾何偏心的齒輪有限元模型相結(jié)合，同時(shí)考慮齒側(cè)間隙和兩級(jí)裝配位置關(guān)系，建立了含齒側(cè)間隙及幾何偏心的兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的固有特性，并進(jìn)一步探究了齒側(cè)間隙和齒輪幾何偏心對(duì)系統(tǒng)嚙合特性的影響.

1 兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型

兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，系統(tǒng)的有限元模型由軸承單元、嚙合單元、軸段單元所組成.為計(jì)入裝配和位置關(guān)系等影響因素，同時(shí)考慮軸的幾何形狀和尺寸.為避免出現(xiàn)局部振型，設(shè)定有限元節(jié)點(diǎn)的選取規(guī)則如下：對(duì)于軸節(jié)點(diǎn)一般選為軸的端點(diǎn)、傳動(dòng)軸截面突變處或是齒寬兩側(cè)的端點(diǎn)；齒輪節(jié)點(diǎn)一般選在齒寬中點(diǎn)處；軸承節(jié)點(diǎn)一般選為在滾動(dòng)軸承寬度方向的中點(diǎn)處，最后根據(jù)實(shí)際物理關(guān)系連接起來(lái).系統(tǒng)有限元模型如圖2所示，齒輪箱中各軸、齒輪、滾動(dòng)軸承的具體參數(shù)與文獻(xiàn)[14]保持一致.

圖1 傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖2 兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的有限元模型

1.1 考慮質(zhì)量不平衡的軸段單元

本文選用Timoshenko梁模型作為軸段單元的有限元模型，如圖3所示，每個(gè)軸段單元有六個(gè)自由度：

圖3 Timoshenko梁模型

假設(shè)系統(tǒng)初始處于完全平衡狀態(tài)，隨著轉(zhuǎn)速的提高，在系統(tǒng)質(zhì)量不平衡力作用下，傳動(dòng)軸會(huì)偏離連接兩端軸承中心的連線，根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論[18]可得：

其中：mu為軸段單元質(zhì)量；ω為傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速；r為傳動(dòng)軸中心至兩端軸承中心連線的距離；Fu為軸段單元上的質(zhì)量不平衡力.

1.2 齒側(cè)間隙

一般以齒側(cè)間隙[9,15]分段函數(shù)f()來(lái)表征齒側(cè)間隙與齒輪副沿著嚙合線方向上的相對(duì)位移之間的關(guān)系：

其中：b為齒側(cè)間隙；ˉxpg為齒輪副沿著嚙合線方向上的相對(duì)位移.當(dāng)>b時(shí)，齒輪副處于正常嚙合狀態(tài)；|ˉxpg?b|≤0時(shí)，齒輪副處于脫齒狀態(tài)；

1.3 考慮兩種承載形式的軸承單元

深溝球軸承的各個(gè)鋼球在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，會(huì)依次通過(guò)承載區(qū)域，鋼球從開始承載發(fā)生形變到產(chǎn)生最大徑向變形，再到恢復(fù)原狀的過(guò)程中，會(huì)呈現(xiàn)奇壓、偶?jí)簝煞N不同的承載形式，軸承單元的時(shí)變剛度推導(dǎo)過(guò)程詳見文獻(xiàn)[14].

1.4 考慮齒輪副偏心的嚙合單元

考慮齒輪副的幾何偏心，建立齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖4所示，C1、C2分別表示主、從動(dòng)輪的幾何中心；θ1、θ2分別為主、從動(dòng)輪的初始偏心相位角；O1、O2和e1、e2分別表示主、從動(dòng)輪的質(zhì)心和偏心距；xp,yp,θp,xg,yg,θp則分別表示主、從動(dòng)輪的平動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)自由度.

圖4 齒輪嚙合單元?jiǎng)恿W(xué)模型及時(shí)變剛度曲線

時(shí)變嚙合剛度具體計(jì)算流程見文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[19].由于齒輪存在幾何偏心，故將齒輪副的廣義位移向嚙合線所在方向上投影：

其中：rp為主動(dòng)輪的基圓半徑，rg為從動(dòng)輪的基圓半徑.偏心嚙合單元在嚙合線上的彈性嚙合力為：

其中：Km(t) 為第一級(jí)嚙合單元的時(shí)變剛度陣，其具體形式見式（6）.

em12(t) 為嚙合單元沿嚙合線方向的綜合誤差，其具體形式如下：

其中：e0為齒輪綜合誤差的常值；empq為齒輪綜合誤差的幅值；fmpq為對(duì)應(yīng)第n+1級(jí)嚙合頻率.

1.5 裝配相位關(guān)系

為完善系統(tǒng)的整體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，需要確定兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的裝配相位關(guān)系，建立坐標(biāo)系如圖5所示，傳動(dòng)系統(tǒng)第二級(jí)的彈性嚙合力具體形式見文獻(xiàn)[14].

圖5 兩級(jí)嚙合相位關(guān)系示意圖

1.6 單元組裝

在建立各單元模型和載荷矢量后，即可進(jìn)行矩陣的組裝.按照每個(gè)單元的局部節(jié)點(diǎn)編號(hào)，將子矩陣組裝到整體矩陣中的相應(yīng)位置.在同一自由度上，具有相同編號(hào)的不同單元矩陣子塊需進(jìn)行耦合與疊加，裝配時(shí)不必進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，單元組裝形式見文獻(xiàn)[11].

系統(tǒng)整體的動(dòng)力學(xué)微分方程為：

其中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；C為系統(tǒng)的阻尼矩陣；

K(t)為系統(tǒng)的剛度矩陣；T為系統(tǒng)的外部扭轉(zhuǎn)激勵(lì)；Fu為系統(tǒng)的質(zhì)量不平衡激勵(lì).

采用Rayleigh阻尼計(jì)算系統(tǒng)單元組裝時(shí)的粘性阻尼，其具體形式如下：

其中：α0、β0分別為Rayleigh阻尼的比例系數(shù).

2 固有特性分析

兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的軸、齒輪、軸承的結(jié)構(gòu)及詳細(xì)參數(shù)的選取與上一節(jié)相同.由式（8）可得系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程為：

由于阻尼項(xiàng)對(duì)固有頻率的影響較小，當(dāng)轉(zhuǎn)速為0 r/min時(shí)，則由式(10)可得系統(tǒng)的無(wú)阻尼振動(dòng)微分方程為：

式(11)滿足：

其中：ξi為第i階模態(tài)的特征向量；ni為第i階固有頻率；t為時(shí)間.

在轉(zhuǎn)速為0 r/min時(shí)，求解系統(tǒng)的前十階固有頻率見表1，系統(tǒng)典型振型圖如圖6所示.

表1 系統(tǒng)前十階固有頻率

圖6 典型振型圖

由圖(6)可知，系統(tǒng)耦合形式分為扭轉(zhuǎn)與扭轉(zhuǎn)耦合、彎曲與扭轉(zhuǎn)耦合和兩級(jí)彎扭的復(fù)雜耦合形式在每種振型下，耦合振動(dòng)形式、振動(dòng)方向和主振型各不相同.

對(duì)于兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)而言，耦合的形式除了單級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)中的彎扭、扭扭等形式，還有不同級(jí)傳動(dòng)之間的互相耦合，因此對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有特性進(jìn)行具體分析顯得尤為重要.

3 嚙合特性分析

3.1 齒側(cè)間隙的影響

由于齒輪正常工作的需要，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)一般必須留有齒側(cè)間隙，本節(jié)研究齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)嚙合特性的影響.仿真參數(shù)設(shè)置第一根軸轉(zhuǎn)速500 r/min，系統(tǒng)的輸出扭矩為100 N·m；為單獨(dú)研究齒側(cè)間隙的影響，各齒輪幾何偏心量選取為0 μm，齒輪初始偏心相位角為0°，選擇三種不同的齒側(cè)間隙情況進(jìn)行分析，第一級(jí)嚙合力的時(shí)域圖和頻譜圖如圖7、圖8所示.

圖7 不同齒側(cè)間隙下第一級(jí)嚙合力時(shí)域圖

圖8 不同齒側(cè)間隙下第一級(jí)嚙合力頻譜圖

隨著齒側(cè)間隙的增加，傳動(dòng)系統(tǒng)第一級(jí)嚙合力在逐漸減小；頻譜中引起峰值的各倍頻成分對(duì)側(cè)隙的增加敏感程度不同，其中第一級(jí)嚙合頻率的五倍頻隨著側(cè)隙的增加，峰值也在隨之緩慢增加，而第一級(jí)嚙合頻率的四倍頻隨著側(cè)隙的增加，峰值卻在逐漸降低.

含齒側(cè)間隙的齒輪在工作時(shí)，會(huì)發(fā)生脫齒，整個(gè)嚙合過(guò)程變成接觸、分離再接觸的一個(gè)反復(fù)過(guò)程.模型中計(jì)算的嚙合力是由沿著嚙合線投影的位移矢量推導(dǎo)而來(lái)，并未計(jì)入振蕩產(chǎn)生的沖擊.

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)不僅和齒側(cè)間隙有關(guān)，也與系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速密切相關(guān)，計(jì)算并比較不同齒側(cè)間隙下第一級(jí)嚙合力波動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線如圖9所示.可以看到，隨著齒側(cè)間隙的增加，系統(tǒng)第一級(jí)嚙合力波動(dòng)幅值在降低；轉(zhuǎn)速越高，不同齒側(cè)間隙的嚙合力波動(dòng)幅值差異越大.

圖9 第一級(jí)嚙合力波動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速的變化

側(cè)隙的增加，導(dǎo)致系統(tǒng)脫齒的時(shí)間變長(zhǎng)，進(jìn)而在齒輪的嚙合過(guò)程中產(chǎn)生了更多的振蕩和沖擊，由于在轉(zhuǎn)速1 kr/min、2 kr/min、3 kr/min、4 kr/min附近產(chǎn)生較高的振動(dòng)峰值，分別計(jì)算在不同齒側(cè)間隙、在上述轉(zhuǎn)速下的脫齒時(shí)間占整個(gè)嚙合過(guò)程的時(shí)間百分比見表2.

表2 不同轉(zhuǎn)速時(shí)不同側(cè)隙下的脫齒時(shí)間百分比

可以發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)速相同時(shí)，齒側(cè)間隙越大，嚙合過(guò)程中脫齒時(shí)間的占比越高，這是由于側(cè)隙的增加會(huì)導(dǎo)致嚙合過(guò)程中的振蕩沖擊變大，從而脫齒的時(shí)間也會(huì)增加；在側(cè)隙相同時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速的增加，脫齒時(shí)間呈先升高后降低的趨勢(shì).這說(shuō)明由于存在齒側(cè)間隙，轉(zhuǎn)速較低時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行并不平穩(wěn)，隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)運(yùn)行逐漸平穩(wěn)，脫齒時(shí)間也相應(yīng)減少；而在到達(dá)較高轉(zhuǎn)速之后，側(cè)隙的增加使得系統(tǒng)嚙合過(guò)程的穩(wěn)定性超出了系統(tǒng)對(duì)外界波動(dòng)的動(dòng)態(tài)適應(yīng)能力，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的平穩(wěn)性產(chǎn)生巨大的影響.

3.2 偏心量的影響

設(shè)置第一根傳動(dòng)軸恒定轉(zhuǎn)速500 r/min，系統(tǒng)輸出扭矩為100 N·m；各齒輪選取相同的幾何偏心量，齒輪初始偏心相位角為0°，齒側(cè)間隙設(shè)置為0 μm，分別研究不同的齒輪偏心量時(shí)，系統(tǒng)在平穩(wěn)工況下，不同的齒輪偏心量對(duì)系統(tǒng)兩級(jí)嚙合力的影響如圖10所示.

圖10 不同的齒輪偏心量對(duì)系統(tǒng)兩級(jí)嚙合力的影響

系統(tǒng)的兩級(jí)主動(dòng)輪、從動(dòng)輪均偏心時(shí)，由于第二級(jí)嚙合中傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速比第一級(jí)嚙合中的轉(zhuǎn)速要小得多，因而第一級(jí)嚙合力對(duì)偏心量的改變更為敏感.系統(tǒng)各級(jí)傳動(dòng)的最大嚙合力、平均嚙合力及嚙合力RMS值亦隨齒輪偏心量增長(zhǎng)而增加，說(shuō)明齒輪偏心量的增加，使得系統(tǒng)各級(jí)傳動(dòng)嚙合過(guò)程中的平穩(wěn)程度降低，此規(guī)律同文獻(xiàn)[16]基本一致.

為深入討論不同偏心量對(duì)系統(tǒng)各級(jí)嚙合力的影響，系統(tǒng)工況及參數(shù)不變的情況下，設(shè)置偏心量10 μm到50 μm，繪制系統(tǒng)兩級(jí)嚙合力的三維頻譜如圖11所示.

圖11 不同偏心量下系統(tǒng)兩級(jí)嚙合力三維頻譜圖

可以看到，隨著各齒輪偏心量的增加，在第一、二級(jí)動(dòng)態(tài)嚙合力的三維頻譜圖中，計(jì)入時(shí)變剛度軸承的通過(guò)頻率fb引起的振動(dòng)峰隨齒輪偏心量的增加而增長(zhǎng)，其他頻率成分為嚙合頻率fm1、fm2及其倍頻成分，則幾乎不受齒輪偏心量增加的影響.此外，隨著偏心量的增加，第一、二級(jí)嚙合力頻譜中以齒輪轉(zhuǎn)頻成分為主的附加脈沖幅值增大，產(chǎn)生較為顯著的調(diào)幅振動(dòng).

以上結(jié)果表明，隨著系統(tǒng)各級(jí)齒輪偏心量的增加，齒輪幾何偏心量越大，系統(tǒng)的兩級(jí)嚙合力呈現(xiàn)出的波動(dòng)越劇烈，轉(zhuǎn)頻成分振動(dòng)幅值也隨之增大并逐漸在振動(dòng)成分中占主導(dǎo)地位，邊頻調(diào)制現(xiàn)象也越來(lái)越明顯，在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及加工階段，需對(duì)此加以注意.

4 結(jié) 論

本文以兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，采用有限單元離散化的建模方法，建立了考慮齒側(cè)間隙及齒輪幾何偏心的兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并分析了系統(tǒng)的固有特性，討論了齒側(cè)間隙和齒輪的幾何偏心對(duì)系統(tǒng)嚙合特性的影響，得到如下結(jié)論：

（1）齒側(cè)間隙對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合過(guò)程具有明顯的影響，選擇合適的齒側(cè)間隙，可以減少嚙合沖擊，提高系統(tǒng)運(yùn)行的平穩(wěn)性.

（2）減小齒輪的幾何偏心可以有效抑制嚙合力的波動(dòng)，在齒輪的設(shè)計(jì)加工階段應(yīng)盡可能的避免幾何偏心的出現(xiàn).