何苗壯，趙浩林，肖 強(qiáng)，羅琳琳，付欣悅，肖 嘯*

（樂山師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川 樂山 614000）

引言

霓虹是自然界中的典型光學(xué)色散現(xiàn)象，常見于雨后的晴朗天空中。雖然在生活中我們經(jīng)常將“霓”和“虹”二字組合為“霓虹”一詞使用，但實(shí)際上霓和虹是兩種不同的色散現(xiàn)象，二者無論在形成原理和呈現(xiàn)特點(diǎn)上都存在著較為明顯的差異[1-6]。例如，當(dāng)霓和虹同時(shí)出現(xiàn)在天空時(shí)，二者都呈現(xiàn)為半空中的彩色拱形，但虹位于霓的下方，其色彩順序由拱形的從內(nèi)到外依次為紫、靛、藍(lán)、綠、黃、橙、紅，而霓處于虹上方，其色彩順序剛好與虹相反。與虹相比，形成霓的光反射次數(shù)較多，因而光能量較弱，只有當(dāng)陽光強(qiáng)烈時(shí)霓現(xiàn)象才會明顯，即產(chǎn)生霓的條件比虹更為苛刻，這就是虹易見而霓不常見的原因。此外，如果觀察者所處的位置較高時(shí)，比如摩天大樓的高層、高山頂部、空中的飛機(jī)上等，觀察到的虹和霓可能呈現(xiàn)為彩色圓環(huán)帶狀，而處于地面觀察者所看到的拱形狀虹和霓實(shí)際上是彩色圓環(huán)帶的上半部分，圓環(huán)帶下半部分在地面以下無法觀察到而已。本文在分析了虹和霓的基本成因基礎(chǔ)之上，闡明了二者的差異與特點(diǎn)，并利用簡單的幾何光學(xué)定律計(jì)算了虹和霓的角半徑，希望本文的分析能夠?yàn)樽x者更好的理解虹和霓的特點(diǎn)、差異和觀察條件提供幫助。

1 虹與霓形成原因的定性分析

虹和霓常見于雨后的晴朗天空中。雨后的天空濕度較大，空氣中存在大量小水滴，當(dāng)太陽光照射到水滴上時(shí)，入射光會折射進(jìn)入水滴內(nèi)部，進(jìn)而在水滴內(nèi)部再次發(fā)生反射或者折射而出。由于介質(zhì)對不同顏色光的折射率不同，太陽光在第一次折射進(jìn)入水滴時(shí)就會出現(xiàn)光的色散現(xiàn)象，白光被色散為彩色光帶，從上往下的順序由紅到紫，散開的各顏色光在水滴內(nèi)表面發(fā)生反射，光線透射出水滴前，若發(fā)生的反射次數(shù)為奇數(shù)，則透射出的色光從上往下的顏色排列順序?yàn)橛勺系郊t，反射次數(shù)為偶數(shù)則由水滴透射出的光的顏色為由紅到紫，與奇數(shù)次反射恰好相反。入射陽光在水滴內(nèi)部只發(fā)生一次反射就透射出水滴而呈現(xiàn)的色散現(xiàn)象稱為“虹”，如圖1 左所示，發(fā)生兩次反射后透射出水滴的色散現(xiàn)象稱為“霓”，也稱副虹[1-4]，如圖1 右所示。反射次數(shù)的增多會使透射出水滴的光強(qiáng)逐漸減弱，因而產(chǎn)生霓現(xiàn)象的條件比虹現(xiàn)象更為苛刻。以位于地面的觀察者為例，虹或霓在天空中出現(xiàn)位置與人眼位置連線后與人眼平視軸線的夾角為觀察角，虹的觀察角度約為42°，霓的觀察角度約為52°[4]。

圖1 虹（左圖）和霓（右圖）的形成示意圖

2 虹與霓的偏轉(zhuǎn)角度計(jì)算

2.1 虹的偏轉(zhuǎn)角度

如圖2 所示，設(shè)水滴折射率為n，當(dāng)光線水平射到球形水滴表面A 點(diǎn)時(shí)會發(fā)生反射與折射現(xiàn)象，發(fā)生折射現(xiàn)象的光線會進(jìn)入水滴內(nèi)部，光線的入射角為θ1，折射角為θ2，存在幾何關(guān)系∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=θ2，由折射定律可得：

圖2 虹的偏轉(zhuǎn)角度

由上式可知，光線的偏轉(zhuǎn)角θ4會隨入射角θ1的變化而變化，同一球型水滴對于不同色光的折射率n 不同，折射率也會影響光線偏轉(zhuǎn)角θ4的大小。取單色光的折射率n=1.33,定義θ1為橫坐標(biāo)，θ4為縱坐標(biāo)，由數(shù)學(xué)軟件得到函數(shù)關(guān)系式（2）的圖像（圖3）[7]。由圖3 可得，光線的偏轉(zhuǎn)角θ4存在極小值，由 θ3= p -θ4得，光線觀察角θ4存在極大值。

圖3 偏轉(zhuǎn)角θ4 與入射角θ1 函數(shù)關(guān)系圖像

表1 各色光形成虹的觀察角

2.2 霓的偏轉(zhuǎn)角度

如圖4 所示，為單色光水平射向球型水滴表面上A點(diǎn)發(fā)生折射進(jìn)入水滴，在水滴內(nèi)表面B 點(diǎn)與C 點(diǎn)發(fā)生兩次反射現(xiàn)象后，從D 點(diǎn)折射出球型水滴的情況圖，形成霓現(xiàn)象。入射光線從球型水滴表面A 點(diǎn)折射進(jìn)入水滴，入射角為θ1，折射角為θ2。圖中存在幾何關(guān)系，∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=θ，在五邊形ABCDE 中, θ = π + 2θ -6θ，則

圖4 霓的偏轉(zhuǎn)角度

由于水對不同色光的折射率不同，則各色光的角半徑不同，在空中就會形成色帶。表2 為不同色光所形成霓的角半徑，即觀察角。

表2 各色光形成霓的觀察角

經(jīng)過上述分析，當(dāng)一束自然光投射到水滴表面后折射進(jìn)入水滴，由于同一水滴介質(zhì)對于不同色光的折射率n 大小不同，在水滴內(nèi)部發(fā)生色散現(xiàn)象。虹現(xiàn)象與霓現(xiàn)象對應(yīng)著光線不同的傳播方式。虹現(xiàn)象，光線在水滴表面和內(nèi)部依次發(fā)生“折射—反射—折射”；霓現(xiàn)象，光線在水滴表面和內(nèi)部依次發(fā)生“折射—反射—反射—折射”。最終，不同顏色的單色光將集中在球型水滴表面上不同位置以不同的最大偏轉(zhuǎn)角或最小偏轉(zhuǎn)角射出，當(dāng)從特定的角度進(jìn)行觀察時(shí)，即可觀察到霓虹現(xiàn)象。

3 結(jié)論

本研究利用簡單的幾何光學(xué)定律分析了虹和霓的形成原因、特點(diǎn)和角半徑，采用幾何光學(xué)不僅避免了較為復(fù)雜的推導(dǎo)，簡化了分析過程，也能夠清楚地解釋虹和霓在空間的位置分布特點(diǎn)以及二者能量的強(qiáng)弱關(guān)系。本研究的分析不僅能體現(xiàn)物理學(xué)原理在生活中的具體應(yīng)用，也能為制造人工彩虹提供理論支持。此外，本研究的分析僅僅討論了入射光在水滴中的一次和二次反射的低階色散，若入射光能量足夠強(qiáng)，考慮到光在水滴內(nèi)的更多次反射還可以形成更高階的霓虹現(xiàn)象，要全面解釋虹霓現(xiàn)象，還需要考慮光的波動情況[2,3]。