彭 勇，王濤濤，梁慶榮，謝 冬

(西安石油大學(xué) 機械工程學(xué)院，陜西 西安 710065)

引 言

行星傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、質(zhì)量輕、傳動效率高[1]等優(yōu)點。但是，行星傳動與普通的齒輪傳動相比，結(jié)構(gòu)復(fù)雜、安裝精度要求高、載荷分布不均，這些不足使得行星傳動遲遲不能用于大功率的鉆機絞車的傳動。隨著制造工藝的提升、均載方式的改進，制造大功率行星齒輪箱成為了可能。近年，國內(nèi)石油裝備制造企業(yè)已成功研制出1 500HP電驅(qū)動行星傳動絞車[2]，對行星傳動作為鉆機絞車傳動進行了有益的嘗試。行星傳動的傳動比大、重量輕、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)勢得以充分發(fā)揮。基于1 500HP電驅(qū)動行星傳動絞車的基本參數(shù)，應(yīng)用粒子群法和序列二次規(guī)劃法對行星傳動輪系參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，并對比兩種優(yōu)化方法的優(yōu)劣，為粒子群法優(yōu)化鉆機絞車行星輪系時一些重要參數(shù)的選擇給出有益建議。

1 參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

1 500HP電驅(qū)動行星傳動絞車采用NGW型[3]行星傳動，傳動方案如圖1所示。絞車基本參數(shù)及行星傳動基本參數(shù)見表1、表2。

圖1 NGW型行星傳動

表1 JC50基本參數(shù)

表2 NGW型行星傳動基本參數(shù)

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

2.1 目標(biāo)函數(shù)建立及設(shè)計變量確定

2.1.1 體積目標(biāo)函數(shù)

由于行星輪系結(jié)構(gòu)復(fù)雜，受到齒廓影響，想要精準(zhǔn)得到行星輪系的體積并不容易，因此常用齒輪的分度圓直徑和齒寬近似表示一個齒輪體積。整個行星輪系的體積通常用太陽輪體積與所有行星輪體積之和來代表。

整個行星輪系的體積等于太陽輪體積與所有行星輪體積之和，即

(1)

行星傳動配齒計算中的同心條件為

2Zc+Za=Zb，

(2)

(3)

根據(jù)式(1)—(3)，可得行星輪系體積目標(biāo)函數(shù)

(4)

由于行星輪系體積值數(shù)量級較大，且與傳動效率、傳動重合度數(shù)量級相差過大，對行星輪系體積的目標(biāo)函數(shù)作無因次處理，以原參數(shù)行星輪系的體積Vy作為分母。因此，最終行星輪系體積目標(biāo)函數(shù)為

(5)

2.1.2 傳動效率函數(shù)

行星傳動的傳遞效率是衡量其設(shè)計優(yōu)良程度的重要指標(biāo)之一。由于行星傳動不同于簡單的繞軸運動機械，需要采用機械原理中轉(zhuǎn)化機構(gòu)法[4]的基本原理來計算其傳遞效率。常見2K-H型周轉(zhuǎn)輪系效率計算公式見表3。

表3 常見2K-H型周轉(zhuǎn)輪系效率計算公式

根據(jù)表3可得行星傳動效率函數(shù)

(6)

(7)

(8)

(9)

由式(5)—(8)可得行星傳動效率目標(biāo)函數(shù)

(10)

2.1.3 傳動重合度函數(shù)

一對嚙合齒輪傳動重合度的大小直接影響傳動的平穩(wěn)性，重合度越大，傳動越平穩(wěn)。在行星傳動中，影響傳動平穩(wěn)性的主要因素是太陽輪和行星輪之間的重合度。因此，選擇太陽輪與行星輪之間的重合度作為目標(biāo)函數(shù)。

重合度可由[5]

(11)

計算得到。式中：αac為行星輪齒頂圓壓力角，rad；αaa為太陽輪齒頂圓壓力角，rad；α′為節(jié)圓壓力角，rad。齒頂圓壓力角為基圓半徑與齒頂圓半徑比值的反余弦，即

(12)

由式(10)、(11)得行星傳動重合度函數(shù)

(13)

2.1.4 行星傳動總優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

以上分別建立了行星傳動體積、傳動效率和傳動重合度的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。在上述3個目標(biāo)函數(shù)中，太陽輪齒數(shù)Za、模數(shù)m、齒寬b、行星輪個數(shù)C以及行星排特性參數(shù)K可作為行星輪系的獨立設(shè)計變量，即

X=[x1，x2，x3，x4，x5]T=[Za，m，b，C，K]T。

(14)

總優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為3個分目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)和。由于優(yōu)化的目標(biāo)是希望體積最小，傳動效率和傳動重合度大，因此體積目標(biāo)函數(shù)f1(x)取“+”號，傳動效率函數(shù)f2(x)及傳動重合度函數(shù)f3(x)取“-”號。行星傳動總優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可由

F(X)=ω1f1(x)-ω2f2(x)-ω3f3(x)

(15)

表示。式中，ω1、ω2和ω3為權(quán)重因子。

2.2 約束條件的建立

2.2.1 齒面接觸強度約束條件

在該行星傳動輪系中，存在內(nèi)外兩種嚙合齒輪副，在齒輪材料都相同的情況下，內(nèi)嚙合齒輪的強度要比外嚙合齒輪的強度高，因此，在計算該輪系齒面接觸強度時僅僅考慮外嚙合齒輪的齒面接觸強度作為約束條件[6]。

根據(jù)機械設(shè)計手冊得齒輪接觸疲勞強度公式為

(16)

將設(shè)計變量引入式(16)，并代入相關(guān)參數(shù)具體值，得到約束條件為

(17)

2.2.2 齒根彎曲疲勞強度約束條件

在各齒輪材料及熱處理相同的情況下，太陽輪的齒根彎曲強度最低，因此，以太陽輪的齒根彎曲疲勞強度作為約束條件。

齒根彎曲疲勞強度計算公式為

(18)

引入設(shè)計變量，代入相關(guān)參數(shù)所得約束條件為

(19)

2.2.3 行星傳動配齒約束條件

(1)傳動比約束條件

在行星傳動配齒計算時，首先應(yīng)該滿足傳動比條件，由于給定的傳動比不能有太大的誤差，這里以傳動比誤差作為其約束條件，即

(20)

(2)鄰接約束條件[7]

設(shè)計行星傳動時，為了分配功率、提高承載能力，并減小其結(jié)構(gòu)尺寸，常常在太陽輪和內(nèi)齒廓之間均勻布置幾個行星齒輪。為了避免相鄰兩個行星輪相互碰撞，必須保證齒頂之間在其連心線上有一定的間隙，即滿足

(21)

式中：da2為行星輪齒頂圓直徑，mm；a為太陽輪與行星輪中心距，mm。

引入設(shè)計變量并整理得約束條件為

(22)

(3)安裝約束條件

為確保幾個行星輪能夠順利地安裝，并且保證行星輪與中心輪正確嚙合而沒有錯位現(xiàn)象，應(yīng)滿足齒數(shù)關(guān)系，即裝配條件

(23)

(4)同心約束條件

在設(shè)計行星傳動時，為了保證行星輪與兩個中心輪同時正確嚙合，要求外嚙合齒輪的中心距等于內(nèi)嚙合齒輪的中心距。同心條件應(yīng)滿足：

(24)

式中：αac和αbc分別為對應(yīng)齒輪的嚙合角，rad。

2.2.4 其他約束條件

齒寬限制b≥10 mm，則

g7(x)=x3-10≥0。

(25)

模數(shù)限制m≥2 mm，則

g8(x)=x2-2≥0。

(26)

齒寬推薦范圍5m≤b≤17m，則

g9(x)=x3-5x2≥0；

(27)

g10(x)=17x2-x3≥0。

(28)

小齒輪不發(fā)生跟切Za≥17，則

g11(x)=x1-17≥0。

(29)

行星輪個數(shù)約束C≥2，則

g12(x)=x4-2≥0。

(30)

3 優(yōu)化模型求解

3.1 序列二次規(guī)劃法求解

根據(jù)所建模型，目標(biāo)函數(shù)和約束條件都為非線性，MATLAB優(yōu)化工具箱中序列二次規(guī)劃法(SQP)可完成求解。fmincon函數(shù)調(diào)用過程為[8]

X=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)。

其中，fun為目標(biāo)函數(shù)，x0為給定的初始值，Aeq為等式約束條件系數(shù)矩陣，beq為等式約束條件向量，如果不存在不等式約束或等式約束，需要設(shè)置對應(yīng)的矩陣和向量為[]；lb為設(shè)計變量下界；ub為設(shè)計變量上界，當(dāng)設(shè)計變量無界時可設(shè)置lb或ub=[]；nonlcon參數(shù)為非線性不等式或等式，在寫程序過程中，可以將非線性不等式及等式獨立編寫成自定義函數(shù)，并與主程序保存在同一文件夾下，nonlcon則為自定義函數(shù)名。編寫M文件，得到優(yōu)化結(jié)果見表4。

表4 SQP程序運行表

將SQP優(yōu)化參數(shù)圓整后與原設(shè)計參數(shù)對比，結(jié)果見表5。

表5 SQP優(yōu)化前后參數(shù)對比

3.2 粒子群法求解(PSO)

粒子群法是一種基于群體的隨機優(yōu)化方法，它們的初始解均為一組隨機解，通過迭代搜尋最優(yōu)解。在進化過程中，PSO模擬社會，每個可能產(chǎn)生的解為社會群體中的一個微粒，每個微粒都有自己的位置向量和速度向量，以及一個由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)度。所有微粒都具有一定的飛行速度，通過追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來尋找全局最優(yōu)值[9]。

PSO算法步驟如下：

Step1 初始化一個規(guī)模為m的粒子群，設(shè)定初始位置和速度。

①設(shè)定群體規(guī)模m。

②對任意的i、s,在[-xmax,xmax]內(nèi)服從均勻分布產(chǎn)生xis。

③對任意的i、s,在[-vmax,vmax]內(nèi)服從均勻分布產(chǎn)生vis。

④對任意的i,設(shè)yi=xi。

Step2 計算每個粒子適應(yīng)值。

Step3 將每個粒子的適應(yīng)值與其經(jīng)歷過的最好位置pis的適應(yīng)值進行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的最好位置。

Step4 將每個粒子的適應(yīng)值與全局經(jīng)歷過的最好位置pis的適應(yīng)值進行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的全局最好位置。

Step5 分別對粒子的速度及位置進行更新。粒子速度及位置更新[10-11]根據(jù)

(31)

(32)

進行變化。

Step6 如果滿足終止條件，則輸出解；否則返回到Step 2。

基于MATLAB將上述步驟編寫程序，程序運行結(jié)果見表6。由表6得總的優(yōu)化函數(shù)適應(yīng)度曲線，如圖2所示。體積優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線、傳動效率優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線及傳動重合度優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線分別如圖3、圖4、圖5所示。

圖3 體積比優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲

圖4 傳動效率優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線

圖5 重合度優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線

表6 PSO程序運行表

從圖2可以看出，粒子群法在迭代0～26次最優(yōu)值變化劇烈，大約27次開始趨于穩(wěn)定，70次迭代后最優(yōu)值保持不變。因此，100次迭代效果良好，既有足夠的迭代次數(shù)使最優(yōu)值趨于穩(wěn)定，又使迭代次數(shù)對算法響應(yīng)時間影響較小，具有良好的魯棒性和收斂性。PSO優(yōu)化結(jié)果與原設(shè)計結(jié)果參數(shù)對比見表7。

表7 PSO優(yōu)化前后參數(shù)對比

圖2 總優(yōu)化函數(shù)PSO適應(yīng)度曲線

3.3 結(jié)果分析

運用常規(guī)的序列二次規(guī)劃法及智能優(yōu)化算法粒子群法，基于MATLAB編程對鉆機絞車大功率行星傳動進行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果對比見表8。

表8 3種設(shè)計參數(shù)對比

序列二次規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果使得太陽輪齒數(shù)減小，模數(shù)相比常規(guī)設(shè)計略小，齒寬大大減小，行星輪個數(shù)減少，行星排特性參數(shù)減小，行星傳動輪系體積相比常規(guī)設(shè)計減小67.0%，傳動效率由原來的96.0%提高到97.6%，傳動重合度也有所增大，優(yōu)化效果良好。粒子群法優(yōu)化模數(shù)和行星輪個數(shù)與序列二次規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果相同，但是，粒子群法相比序列二次規(guī)劃法優(yōu)化的齒寬和行星排特性參數(shù)減小，而齒輪體積更小。粒子群法相比常規(guī)設(shè)計優(yōu)化后的行星傳動輪系體積減小75.0%，傳動效率提高到97.3%，傳動重合度增大到1.42，優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于序列二次規(guī)劃法。

上述兩種優(yōu)化方法都大幅度減小了行星輪系的體積，傳動效率及傳動重合度雖然有所優(yōu)化，但優(yōu)化效果不顯著，除了常規(guī)設(shè)計的傳動效率及傳動重合度都較高，縮小了優(yōu)化空間，一個重要原因是在構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)時，對各權(quán)重因子分配不一的結(jié)果，上述分析為體積函數(shù)分配了較大的權(quán)重因子，因此出現(xiàn)這種結(jié)果。不同權(quán)重因子的優(yōu)化結(jié)果見表9。

表9 PSO優(yōu)化時不同權(quán)重因子設(shè)計參數(shù)對比

由表9可知，隨著體積優(yōu)化函數(shù)權(quán)重因子的不斷減小，所得到的最優(yōu)體積不斷增大；隨著傳動重合度權(quán)重因子的增大，傳動重合度不斷增大；傳動效率及其權(quán)重因子也呈現(xiàn)此規(guī)律。因此，在設(shè)置多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的權(quán)重因子時，應(yīng)該將比較重要的優(yōu)化目標(biāo)分配較大的權(quán)重因子，相對次要或優(yōu)化空間較小的優(yōu)化目標(biāo)設(shè)置較小的權(quán)重因子。

粒子群法在求解過程中，初始解都是隨機的，所以粒子群法對同一問題的優(yōu)化結(jié)果不盡相同。粒子群算法中的各參數(shù)取值至關(guān)重要，粒子群法優(yōu)化鉆機絞車行星輪系時給出一些重要參數(shù)的取值建議，見表10。

表10 粒子群法優(yōu)化鉆機絞車行星輪系時重要參數(shù)的取值

4 結(jié) 論

(1)鉆機絞車行星傳動輪系粒子群優(yōu)化算法綜合優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于序列二次規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果。兩種方法的優(yōu)化結(jié)果表明，行星傳動輪系的體積明顯減小，其中，粒子群法使行星傳動輪系的體積減小75%，序列二次規(guī)劃法使行星傳動輪系的體積減小59%；粒子群法優(yōu)化使傳動效率提高多少了1.3%，序列二次規(guī)劃優(yōu)化使傳動效率提高1.6%；兩種優(yōu)化算法都使得傳動重合度提高0.02。

(2)粒子群法優(yōu)化算法的成功與否往往取決于學(xué)習(xí)因子c1、c2及慣性權(quán)重ω的取值，學(xué)習(xí)因子取值范圍為0～4，本文取值c1=c2=1.494 45，并設(shè)置ω=0.8。

(3)在進行多目標(biāo)優(yōu)化時，權(quán)重因子的分配影響各分目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，但影響不顯著。權(quán)重因子變化分析表明，行星傳動輪系的體積分別減小了77%、75%、74%、73%、63%、58%；傳動效率提高了1.7%；傳動重合度提高了0.03。