張 軍， 賀方倩

(無(wú)錫太湖學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214064)

浮橋作為一種古老又年輕的水上通道，無(wú)論在國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)還是在軍事交通領(lǐng)域中都發(fā)揮了卓越的作用。浮橋由于其結(jié)構(gòu)形式多樣、支撐模式種類(lèi)繁多以及邊界條件復(fù)雜，一直是國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家和學(xué)者們感興趣的課題。浮橋的結(jié)構(gòu)形式大體上可以分為兩大類(lèi)：橋腳分置式浮橋和帶式浮橋。橋腳分置式浮橋，是由固定橋演化而來(lái)的，將固定橋的橋墩換成橋腳舟，形成分離式橋腳舟浮箱橋腳。而帶式浮橋則是橋腳舟互相舭鄰，舟體既是浮游橋腳，同時(shí)還是承重結(jié)構(gòu)和通載橋面，無(wú)專(zhuān)門(mén)的上部承重結(jié)構(gòu)和通載橋面系統(tǒng)。到目前為止國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究與探索，他們運(yùn)用了理論建模[1-5]、數(shù)值研究[6-10]以及試驗(yàn)分析[11-12]等技術(shù)手段，獲得了非常有意義的研究成果。這些研究成果為浮橋的建設(shè)與發(fā)展做出了非常有益的貢獻(xiàn)。

本文是在上述研究成果的基礎(chǔ)上，主要針對(duì)一種特殊的結(jié)構(gòu)體系浮橋——鉸接梁式浮橋在移動(dòng)車(chē)輛作用下的理論模型進(jìn)行研究，同時(shí)考慮梁式結(jié)構(gòu)的剛體位移和彈性變形，建立了多軸車(chē)輛模型進(jìn)行分析與研究，以求為該類(lèi)浮橋的設(shè)計(jì)、分析與研究提供技術(shù)手段。

1 模型的建立

鉸接梁式浮橋?qū)儆跇蚰_分置式浮橋結(jié)構(gòu)，其橋跨采用鉸接式梁結(jié)構(gòu)，分離式橋腳舟浮箱作為每一跨梁的彈性支撐，整體結(jié)構(gòu)如圖 1所示。這類(lèi)浮橋在進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)，可以假定每一段橋跨為簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，橋跨與橋腳舟浮箱之間看成是鉸連接；橋腳舟浮箱假定為剛性浮體，水體假定為理想流體，因此勢(shì)流理論成立。在線性假定條件下，浮橋的結(jié)構(gòu)響應(yīng)可以分解為靜水狀態(tài)下移動(dòng)荷載對(duì)浮橋的響應(yīng)以及波浪等環(huán)境荷載對(duì)浮橋的響應(yīng)之疊加。本文只涉及靜水條件下浮橋在移動(dòng)汽車(chē)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。由于汽車(chē)通過(guò)車(chē)輪將荷載傳遞給橋梁，因此汽車(chē)荷載的作用可以按固定間隙的多個(gè)移動(dòng)荷載(軸荷)——多軸車(chē)輛模型來(lái)進(jìn)行模擬。

圖1 鉸接梁式浮橋概圖Fig.1 The sketch of a hinged-girder floating bridge

由于橋腳舟浮箱與橋跨梁之間通過(guò)鉸進(jìn)行連接，則橋腳舟浮箱的垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)整體浮橋的運(yùn)動(dòng)影響比較大，故在進(jìn)行計(jì)算與分析時(shí)可以將橋腳舟浮箱的作用看成是一個(gè)具有垂向自由度的質(zhì)量——彈簧系統(tǒng)。

考慮一個(gè)具有N跨的浮橋(具有N-1個(gè)橋腳舟浮箱)，汽車(chē)以恒定的速率在橋上移動(dòng)，如果將汽車(chē)簡(jiǎn)化為多軸移動(dòng)荷組，這一組移動(dòng)荷載之間的間距為定值，則可參照文獻(xiàn)[13-15]來(lái)進(jìn)行研究。設(shè)多軸移動(dòng)荷載組Fs(s=1,2,…,S)以同一速度v由左至右在浮橋上移動(dòng)的計(jì)算模型如圖 2所示。圖2中坐標(biāo)原點(diǎn)位于第一跨左端，橫坐標(biāo)位于空載橋跨梁的中軸線上，縱坐標(biāo)垂直向下。

圖2 計(jì)算模型圖Fig.2 Definition of a hinged-girder floating bridge induced to a moving load

1.1 多軸車(chē)輛——鉸接梁的動(dòng)力學(xué)模型

為了建立鉸接梁的力學(xué)模型，取第i跨鉸接梁(如圖 3所示)作為隔離體獨(dú)立進(jìn)行研究，則每一跨的梁可以看成是兩端支座可垂向運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)支梁，其整體動(dòng)力響應(yīng)可由剛體位移響應(yīng)與彈性位移響應(yīng)線性疊加而成。記第i跨鉸接梁左鉸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xi-1，右鉸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xi。

圖3 第i跨鉸接梁的計(jì)算模型Fig.3 Definition sketch of the i-th hinged-beam

則第i跨鉸接梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)i=Xi-Xi-1，該段梁在S個(gè)移動(dòng)荷載Fr(r=1,2,…,S)作用下的動(dòng)力學(xué)模型可表述成下列偏微分方程模型

i=1,2,…,N

(1)

式中：y(x,t)為第i跨鉸接梁斷面x處在t時(shí)刻的位移；Fr為第r個(gè)移動(dòng)荷載；v為移動(dòng)荷載的速度；EIi為第i跨鉸接梁的抗彎剛度；mi為第i跨鉸接梁的線質(zhì)量；Ci為第i跨鉸接梁的阻尼系數(shù)；dr為第r個(gè)荷載距離第一個(gè)荷載的距離，當(dāng)r=1時(shí)，dr=0；Ti,r為第r個(gè)荷載移動(dòng)到第跨鉸接梁右端的時(shí)刻，對(duì)于第一跨左端時(shí)刻標(biāo)記為T(mén)0,r；δ(·)為Diract函數(shù)，存在下述關(guān)系

(2)

H(·)為Heavistide單位函數(shù)，存在下述定義

(3)

ywi(x,t)為第i跨鉸接梁上斷面x處梁在t時(shí)刻由于橋腳舟浮箱的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的剛體位移，可表述為

(4)

式中：Ui-1(t)為i第跨鉸接梁左端鉸點(diǎn)在t時(shí)刻的垂向位移，當(dāng)i=1時(shí)，Ui-1=0；Ui(t)為第i跨鉸接梁右端鉸點(diǎn)在t時(shí)刻的垂向位移，當(dāng)i=N時(shí)，Ui=0。

1.2 橋腳舟浮箱的動(dòng)力學(xué)模型

由于浮箱與橋跨梁之間通過(guò)鉸進(jìn)行連接，因此只需要考慮浮箱的垂向運(yùn)動(dòng)模態(tài)，則單個(gè)浮箱的動(dòng)力學(xué)方程非常簡(jiǎn)單，為單自由度垂向振動(dòng)方程。對(duì)于第i個(gè)浮箱而言，其動(dòng)力學(xué)方程為[16]

(5)

式中：Ui(t)為第i個(gè)浮箱在t時(shí)刻的垂蕩位移，等于上述對(duì)應(yīng)鉸接梁鉸點(diǎn)處的垂向位移；Mi為第i個(gè)浮箱的質(zhì)量；Ri(t)為第i個(gè)浮箱的延遲函數(shù)，經(jīng)過(guò)傅里葉逆變換，可得該函數(shù)與頻域內(nèi)的阻尼系數(shù)ηi存在下述關(guān)系

(6)

Mwi為第i個(gè)浮箱的時(shí)域附加質(zhì)量，可以利用與延遲函數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算

(7)

式中：μi為第i個(gè)浮箱的在頻域范圍內(nèi)的附加質(zhì)量；Kwi為第i個(gè)浮箱的靜水恢復(fù)力系數(shù)，可近似表述為下述關(guān)系式

Kwi=ρgAwi

(8)

式中，Awi為第i個(gè)浮箱的平均水線面積。

移動(dòng)荷載Fr所引起的第i個(gè)浮箱作用力fr,i(t)可以表示為

(9)

式中，Ts,i為移動(dòng)荷載Fs位于第i個(gè)鉸點(diǎn)的時(shí)刻。

2 總體運(yùn)動(dòng)方程及其求解

2.1 鉸接梁的假設(shè)模態(tài)法

假設(shè)各鉸接梁均為等橫截面梁，則式(1)可以采用假設(shè)模態(tài)法來(lái)進(jìn)行分離變量，最終將鉸接梁的偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程來(lái)進(jìn)行求解計(jì)算。記鉸接梁的彈性位移為

Yi=y-ywi

(10)

將式(10)代入式(1)，則鉸接梁的動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)?/p>

(11)

引入假設(shè)模態(tài)法，則對(duì)于第i跨鉸接梁，其各斷面處的垂向位移為

(12)

式中，ψji(x)為第i跨鉸接梁的假設(shè)模態(tài)函數(shù)，有如下表達(dá)式

(13)

j=1 , 2 , … ,J

(14)

2.2 橋腳舟浮箱動(dòng)力學(xué)方程的離散化

由式(5)可見(jiàn)，橋腳舟浮箱為一個(gè)含有卷積積分的微分方程，直接將其與式(14)聯(lián)立求解非常困難，需要對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化。參考Seif等的研究采用矩形求積的方式來(lái)對(duì)式(5)中的卷積積分進(jìn)行離散化。假設(shè)初始時(shí)刻橋梁及其浮箱均處于靜止?fàn)顟B(tài)。在計(jì)算過(guò)程中，假設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)Δt均相等，則對(duì)于t=hΔt時(shí)刻，橋腳舟浮箱的運(yùn)動(dòng)方程可近似表示為

(15)

2.3 總體矩陣方程的建立與求解

將式(14)與式(15)聯(lián)立，即可得到一個(gè)具有(J·N+N-1)個(gè)未知變量的二階常微分方程組，可以寫(xiě)成如下矩陣形式

式中：E為J階單位矩陣；Zi=col{z1i,z2i,…,zJi}為J階位移列向量；U=col{U1,U2,…,UN-1}為(N-1)階位移列向量；P=col{p1,p2,…,pN-1}為(N-1)階荷載列向量，每一個(gè)元素可表示為

(17)

其余系數(shù)與列向量的表達(dá)式為

(18)

(19)

(20)

(21)

J×(N-1)階矩陣W1和V1，除第1列元素如式(22)和式(23)所示外，其余元素均為0；

(22)

(23)

J×(N-1)階矩陣WN和VN，除第(N-1)列元素如式(24)和式(25)所示外，其余元素均為0；

(24)

(25)

J×(N-1)階矩陣Wi，Vi，(i=2,3,…,N-1)除第(N-1)列、第i列元素如式(26)～式(29)所示外，其余元素均為0；其中第(i-1)列元素為

(26)

(27)

第i列元素為

(28)

(29)

式(16)可以采用Newmark法[17]方法來(lái)求解，計(jì)算過(guò)程中時(shí)間步長(zhǎng)與式(15)的步長(zhǎng)相等，具體算法這里不再贅述。

3 計(jì)算算例

在寬度為200 m的河道上架設(shè)一座浮橋(如圖4所示)總跨度為200 m。假設(shè)浮橋橋跨截面為等截面，其線質(zhì)量為2 400 kg/m，截面抗彎剛度為2.5×109N·m2。每隔20 m布置一個(gè)矩形浮箱，橋上作用移動(dòng)汽車(chē)荷載，速度為18 km/h。所有浮箱均相同，浮箱沿橋軸線方向的寬度b為2.4 m，垂直于橋軸線方向的寬度a為25 m，浮箱處于9 m深的等水深水域中，吃水T為0.6 m。浮箱的質(zhì)量為9 930 kg，浮箱的靜水恢復(fù)力系數(shù)kn為5.88×105N/m。由于本文中浮箱間距非常大，因此本文將不考慮浮箱與浮箱之間的耦合效應(yīng)，認(rèn)為各個(gè)浮箱的附加質(zhì)量可以按照單浮體來(lái)進(jìn)行計(jì)算分析。浮橋橋跨為鋼桁架結(jié)構(gòu)，橋跨沿橋軸線方向的線質(zhì)量m0為2 400 kg/m，抗彎剛度EI為2.5×109N·m2。

圖4 鉸接梁式浮橋的計(jì)算模型Fig.4 Computational model of a hinged-girder floating bridge

考慮了兩種類(lèi)型的車(chē)輛荷載(如圖5所示)，車(chē)輛總荷載等于所有軸壓力之和。在不同的移動(dòng)汽車(chē)荷載下，浮箱和梁跨中的撓度響應(yīng)結(jié)果如圖6～圖9所示。圖中，表示汽車(chē)在行駛過(guò)程中汽車(chē)前軸的位置，縱坐標(biāo)表示個(gè)浮箱或各橋跨主梁的動(dòng)位移時(shí)域響應(yīng)曲線。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于200 kN和300 kN汽車(chē)荷載作用下浮箱的位移的最大值分別為0.166 6 m和0.249 7 m。從野外實(shí)測(cè)結(jié)果來(lái)看，當(dāng)200 kN和300 kN的汽車(chē)在浮橋上行駛時(shí)，中間浮箱的最大垂向位移分別為0.17 m和0.26 m，與本文的計(jì)算結(jié)果基本相符。

圖5 標(biāo)準(zhǔn)車(chē)輛荷載Fig.5 Standard vehicle load

圖6 200 kN汽車(chē)荷載作用下浮箱的動(dòng)位移曲線Fig.6 Deflection at some pontoons under the vehicle load of 200 kN

圖7 200 kN汽車(chē)荷載作用下橋跨跨中動(dòng)撓度曲線Fig.7 Deflection at the middle section of girders under the vehicle load of 200 kN

圖8 300 kN汽車(chē)荷載作用下浮箱的動(dòng)位移曲線Fig.8 Deflection at some pontoons under the vehicle load of 300 kN

圖9 300 kN汽車(chē)荷載作用下橋跨跨中的動(dòng)撓度曲線Fig.9 Deflection at the middle section of some girders under the vehicle load of 300 kN

圖10展示了300 kN汽車(chē)荷載作用下，浮橋在不同時(shí)刻的變形曲線，其中車(chē)輛荷載從左向右移動(dòng)。結(jié)果表明，浮橋的變形曲線主要集中在與移動(dòng)荷載相鄰的若干跨度范圍內(nèi)，其余各跨的變形相對(duì)非常小。

圖10 浮橋在300 kN汽車(chē)荷載作用下的變形曲線Fig.10 Deformation of the bridge subjected by the vehicle load of 300 kN

圖11和圖12列舉了200 kN和300 kN汽車(chē)荷載在相距一定距離S的情況下，通過(guò)橋梁時(shí)，浮箱和橋跨跨中的動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)曲線。圖中橫坐標(biāo)表示第一軸(200 kN汽車(chē)前軸)的位置，縱坐標(biāo)表示浮箱或橋跨跨中的位移。在間距S=25 m時(shí)，各位移曲線只有一峰值，當(dāng)S依次為50 m，75 m以及100 m時(shí)，位移曲線出現(xiàn)了兩個(gè)峰值，且隨著S的增大，位移曲線的兩個(gè)峰的間距也在增大，第二個(gè)峰頂?shù)臄?shù)值逐漸變小最終趨于平穩(wěn)(等于300 kN汽車(chē)荷載單獨(dú)作用時(shí)的峰值)，但第一個(gè)峰的大小(等于200 kN汽車(chē)荷載單獨(dú)作用時(shí)的峰值)和位置則保持不變。多個(gè)車(chē)輛作用的計(jì)算結(jié)果表明，在不同間距S的情況下，各動(dòng)態(tài)位移的變化規(guī)律是：隨著兩車(chē)間距的增大，響應(yīng)最大值的峰值逐漸減小，響應(yīng)逐漸分散，最終離散為單個(gè)移動(dòng)汽車(chē)荷載的作用。

圖11 兩車(chē)不同間距下浮箱的動(dòng)位移曲線Fig.11 Deflection at some pontoons with different interval between two vehicles

圖12 兩車(chē)不同間距下橋跨跨中的動(dòng)撓度曲線Fig.12 Deflection at the middle section of some girders with different interval between two vehicles

4 結(jié) 論

本文利用梁式結(jié)構(gòu)剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形線性疊加的方法建立了鉸接梁式浮橋的動(dòng)力學(xué)模型，引入多軸車(chē)輛模型來(lái)研究移動(dòng)車(chē)輛作用下鉸接梁式浮橋的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)一座10跨浮橋在移動(dòng)車(chē)輛模型作用下計(jì)算分析，結(jié)果表明：

(1)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，說(shuō)明了本文所建立的移動(dòng)車(chē)輛作用下鉸接梁式浮橋動(dòng)力學(xué)模型能有效地分析浮橋在車(chē)輛荷載作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。本文的計(jì)算模型不僅能夠有效模擬單個(gè)汽車(chē)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，而且適用于多個(gè)移動(dòng)汽車(chē)荷載作用問(wèn)題。

(2)鉸接梁式浮橋在單個(gè)移動(dòng)車(chē)輛荷載作用下的局部范圍內(nèi)橋跨和浮箱的變形比較大。計(jì)算結(jié)果表明，橋梁的變形范圍主要局限于與移動(dòng)車(chē)輛荷載所在橋跨相鄰的若干橋跨及其相應(yīng)的浮箱。

(3)本文主要是研究靜水條件下鉸接梁式浮橋在移動(dòng)汽車(chē)荷載作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題。如果不考慮車(chē)輛荷載，僅考慮波和流對(duì)浮橋的影響，可以利用勢(shì)流理論的方法獲得橋腳舟浮箱的位移。然后將兩者進(jìn)行線性疊加，橋跨的最終位移可將本文方法獲得的靜水位移與波流環(huán)境下浮箱的位移所引起的剛體位移進(jìn)行疊加，即可獲得考慮波和流條件下的浮橋動(dòng)態(tài)響應(yīng)。