張滿慧，姚 忠，夏方超，張建斌

(西北機(jī)電工程研究所， 陜西 咸陽 712099)

1 引言

為滿足未來海上高技術(shù)戰(zhàn)爭需求，精確打擊功能要素對于艦炮已經(jīng)越來越重要。艦炮精確打擊的實(shí)現(xiàn)不僅取決于目標(biāo)定位精度，更與射擊諸元精度有關(guān)。通過解彈道方程進(jìn)行艦炮射擊諸元求解時，艦船搖擺運(yùn)動導(dǎo)致目標(biāo)相對艦炮射擊中心的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化，引起的艦炮指向擾動對求解過程產(chǎn)生較大的影響。因此，有必要明確搖擺作用下艦炮指向擾動規(guī)律，并將它作為穩(wěn)定系統(tǒng)的動力學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)償，以獲得正確完整的艦炮射擊諸元。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對艦船搖擺條件下艦炮射擊諸元求解模型進(jìn)行了大量的研究，基于二分法和落點(diǎn)諸元信息的彈道解算方法等研究較為成熟。但是，現(xiàn)有研究大多直接采用艦船搖擺角獲得實(shí)際瞄準(zhǔn)角或搖擺誤差角，卻較少考慮地球慣性系和艦船非慣性系的變換關(guān)系，沒有完全消除艦炮指向運(yùn)動誤差疊加形成的射擊諸元誤差，在搖擺補(bǔ)償時也鮮有計(jì)及彈丸初始擾動的影響。針對該問題，本文面向艦炮多體系統(tǒng)的串聯(lián)運(yùn)動鏈，建立了搖擺作用下的艦炮指向運(yùn)動誤差模型，明確炮口指向在靜水—搖擺條件下的絕對誤差及相對誤差。從串聯(lián)機(jī)構(gòu)角度構(gòu)造了艦炮位姿補(bǔ)償模型，從目標(biāo)方位一致性角度推導(dǎo)了炮口姿態(tài)補(bǔ)償模型，從彈道軌跡預(yù)測角度給出了艦炮射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)的補(bǔ)償解算流程。通過仿真驗(yàn)證獲得了搖擺條件下艦炮指向誤差補(bǔ)償特性，為各類精確打擊狀態(tài)的艦炮射擊諸元解算提供參考。

2 搖擺作用下艦炮指向運(yùn)動誤差模型

基于多體系統(tǒng)方法，首先建立艦船搖擺條件下的艦炮串聯(lián)運(yùn)動鏈如圖1所示。其中，慣性系{}原點(diǎn)設(shè)置在艦船搖心處，并假定隨艦船勻速運(yùn)動。艦體系{}原點(diǎn)初始與搖心重合，指向艦艏方向，沿著甲板法向，按右手法則建立，此處主要計(jì)及對艦炮影響最大的橫搖、縱搖和垂蕩運(yùn)動。艦炮系{}的原點(diǎn)與甲板炮位中心重合，軸向與艦體系的坐標(biāo)軸一致。工具系{}原點(diǎn)位于炮口中心，正向與身管軸向一致，正向位于身管(射擊平面)縱截面且與垂直，按右手法則建立。

式(1)中：，，是在艦體系{}的位置坐標(biāo)；符號縮寫=cos，=sin。

根據(jù)旋量坐標(biāo)不變性，采用指數(shù)積公式給出艦炮工具系{}相對艦炮系{}的位姿變換矩陣模型為：

()=exp()exp()exp()(，，)

(2)

式(2)中：exp(·)是運(yùn)動旋量的指數(shù)積算子；(·)是初始位姿矩陣，、、是工具系原點(diǎn)在艦炮系的位置坐標(biāo)，并且分量通常假定為零值；、是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)變量，是移動關(guān)節(jié)變量，初始都為零值。

圖1 基于多體系統(tǒng)的艦炮串聯(lián)運(yùn)動鏈?zhǔn)疽鈭DFig.1 Serial kinematic chain model of naval gun

根據(jù)坐標(biāo)變換關(guān)系，推導(dǎo)出搖擺作用下，工具系{}相對慣性系{}的位姿模型為：

(3)

式(3)中，各矩陣元素分別為

(4)

為再明確艦船搖擺引起的指向擾動，構(gòu)造出靜水條件下，工具系{}的位姿模型為：

(5)

此時，根據(jù)式(3)和式(5)推導(dǎo)出慣性系中炮口中心擾動Δ、Δ、Δ及指向擾動、、分別為：

(6)

式(6)給出了慣性系中的艦炮指向誤差模型，代入艦炮瞄準(zhǔn)跟蹤或發(fā)射時的艦炮運(yùn)動變量，即可獲得搖擺作用下炮口最大可能擾動域。

為便于誤差合成分析，再采用誤差旋量對慣性系描述的工具系位姿誤差進(jìn)行轉(zhuǎn)換，如圖2所示。

圖2 艦炮指向擾動的誤差旋量模型示意圖

(7)

根據(jù)旋量伴隨變換定義，再將式(7)轉(zhuǎn)換為理想工具系{}中表示的誤差旋量，得出：

(8)

通過改寫式(8)，得出不同于式(6)擾動參數(shù)描述的炮口工具系位姿誤差為：

(9)

式(9)中：、、分別是炮口位置誤差在工具系描述時的軸向分量；是姿態(tài)誤差合成量；是姿態(tài)誤差旋量軸在理想工具系中的方向余弦。

3 搖擺作用下艦炮指向誤差補(bǔ)償模型

3.1 基于艦炮串聯(lián)運(yùn)動鏈的指向誤差補(bǔ)償

在獲得艦炮指向誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)艦炮串聯(lián)運(yùn)動鏈構(gòu)造出瞄準(zhǔn)跟蹤過程的指向補(bǔ)償模型為：

(10)

式(10)給出艦炮指向補(bǔ)償模型的一般表達(dá)式，包含4個約束方程、2個未知變量，誤差補(bǔ)償效果取決于超靜定方程組的逼近精度，解析方程在此省略。

在艦炮瞄準(zhǔn)跟蹤時，若假設(shè)已知某目標(biāo)相對慣性系{}的--歐拉角(，，)，則根據(jù)艦炮指向軸夾角與目標(biāo)方位角的一致性得出：

(11)

(12)

對于艦炮發(fā)射過程，雖然利用式(10)的后坐關(guān)節(jié)變量也可構(gòu)造出相似的指向補(bǔ)償模型，但由于彈丸膛內(nèi)運(yùn)動時間通常小于艦炮方位和高低運(yùn)動響應(yīng)時間，因此很難主動控制，也無法應(yīng)用于指向補(bǔ)償，這里不再贅述。

3.2 基于彈道解算的艦炮指向誤差補(bǔ)償

由于高海況下艦船搖擺運(yùn)動較為嚴(yán)苛，其引起的炮口指向擾動量甚至?xí)脚炁诶硐牍ぷ骺臻g，因此很難對艦炮指向運(yùn)動誤差進(jìn)行“完全”補(bǔ)償。但根據(jù)大口徑艦炮彈道軌跡可以看出，即使對炮口指向進(jìn)行部分補(bǔ)償時，也能夠?qū)崿F(xiàn)精確打擊目標(biāo)，如圖3所示。

為實(shí)現(xiàn)艦炮指向運(yùn)動誤差的局部補(bǔ)償，不妨再設(shè)置補(bǔ)償系{}和彈丸速度系{}。并假設(shè)已知目標(biāo)點(diǎn)在慣性系中的運(yùn)動方程、彈丸在速度系中的質(zhì)點(diǎn)彈道模型，給出射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)的補(bǔ)償解算流程如下。

圖3 艦炮指向運(yùn)動誤差補(bǔ)償模型示意圖

1) 炮口切向運(yùn)動轉(zhuǎn)換。

(13)

若將艦炮后坐運(yùn)動轉(zhuǎn)換為工具系的位矢(沿著艦炮指向軸)，則在彈丸出炮口瞬時，根據(jù)矢量運(yùn)算可推導(dǎo)出炮口中心點(diǎn)在慣性系{}中的切向運(yùn)動為:

(14)

2) 坐標(biāo)系齊次變換。

將待解的艦炮射擊諸元(，，)代入式(3)，得出補(bǔ)償系{}相對慣性系的位姿矩陣；再將彈丸出炮口瞬時的搖蕩參數(shù)、后坐位矢代入式(14)，得出炮口切向速度，，并推導(dǎo)速度系相對慣性系的變換矩陣為：

(15)

式(15)中：是彈丸膛內(nèi)運(yùn)動速度；是根據(jù)彈炮切向速度合成得出的彈丸初速，沿著速度系軸方向。

3) 彈丸質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動轉(zhuǎn)換。

彈丸出炮口瞬時，質(zhì)點(diǎn)位于速度系原點(diǎn)，時刻彈丸在速度系平面的彈道軌跡模型為：

(16)

式(16)中：為重力加速度在速度系中的向分量；為彈丸速度矢量夾角；為彈道系數(shù)；為空氣密度函數(shù)；為阻力函數(shù)。數(shù)學(xué)模型詳見文獻(xiàn)[14-15]。

采用龍格庫塔法求解微分方程，得出彈丸飛行時的落點(diǎn)位置(，0，)。當(dāng)式(16)改寫為彈丸的剛體彈道模型時，也可求解出更精確的落點(diǎn)位置。

4) 彈道命中方程。

將速度系中的彈丸落點(diǎn)位置轉(zhuǎn)換至慣性系，計(jì)算其與目標(biāo)未來點(diǎn)(，，)位置的相對距離，得出艦炮修正射擊諸元下的射擊瞄準(zhǔn)偏差Δ為：

(17)

5) 艦炮修正射擊諸元優(yōu)化計(jì)算。

聯(lián)立式(15)至式(17)，得出彈丸命中期望下的射擊瞄準(zhǔn)變量優(yōu)化模型為：

(18)

采用PLS算法或NSGA算法對式(18)的多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得出的Pareto最優(yōu)解集，即能對艦炮指向誤差進(jìn)行局部補(bǔ)償，從而實(shí)現(xiàn)精確打擊的目標(biāo)。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 艦炮指向運(yùn)動誤差分析

以某艦船裝載的大口徑艦炮為對象，假定高海況下艦船搖擺譜參數(shù)、艦炮零位對準(zhǔn)時的結(jié)構(gòu)矢量、方位角和高低角范圍、后坐運(yùn)動/彈丸膛內(nèi)運(yùn)動參數(shù)等分別為：

對于艦炮瞄準(zhǔn)跟蹤過程，設(shè)置方位驅(qū)動在6 s內(nèi)由零位調(diào)轉(zhuǎn)至120°，高低驅(qū)動在2 s內(nèi)由零位調(diào)轉(zhuǎn)60°，后坐驅(qū)動保持為零值。根據(jù)式(6)得出慣性系中描述的艦炮原點(diǎn)軌跡誤差和指向誤差不再展示，根據(jù)式(9)得出工具系描述的艦炮指向誤差如圖4所示，包絡(luò)最值是各點(diǎn)軌跡(搖擺參數(shù)組合確定)下的最大值和最小值。

圖4 搖擺作用下炮口軌跡誤差和指向誤差曲線

由圖4可以看出：艦船搖擺運(yùn)動作用于艦炮串聯(lián)運(yùn)動鏈的虛擬連桿副，其引起的疊加擾動域?qū)е屡诳诮^對軌跡出現(xiàn)了較大的偏移；所建指向誤差模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測艦炮的最大可能擾動域，明確搖擺作用下艦炮指令信號響應(yīng)。

4.2 艦炮指向誤差補(bǔ)償分析

在明確艦炮指向誤差之后，采用PLS算法對超靜定方程組進(jìn)行數(shù)值逼近，圖5給出了采用全約束解的艦炮指向補(bǔ)償效果。其中理想方位角0°、高低角60°，橫軸是橫縱搖和垂蕩運(yùn)動參數(shù)的獨(dú)立組合。

由圖5可以看出：通過求解超靜定方程組得出艦炮關(guān)節(jié)運(yùn)動變量時，姿態(tài)誤差角零值的前置條件是++=3，即需滿足姿態(tài)誤差矩陣為單位陣的隱含約束；但由于艦炮不具有橫縱搖和垂蕩方向的自由度，因此從串聯(lián)系統(tǒng)的角度搖蕩運(yùn)動引起的艦炮指向誤差無法完全補(bǔ)償；在不同的搖蕩組合參數(shù)下：① 姿態(tài)誤差和向誤差逼近零值，其余兩向位置殘余誤差相比無補(bǔ)償值減小約40，② 若位置誤差都逼近零值時，姿態(tài)殘余誤差減小約67，相對實(shí)際炮口指向，位姿補(bǔ)償效果總體接近34左右。

圖5 基于艦炮串聯(lián)運(yùn)動鏈的指向誤差補(bǔ)償效果曲線

若假定目標(biāo)方位角(-60°，30°，30°)時，根據(jù)指向一致性得出不同搖蕩參數(shù)組合條件下，艦炮方位和高低角如圖6所示。由圖6可以看出：解析模型能夠獲得與搖蕩參數(shù)對應(yīng)的精確值，炮口姿態(tài)補(bǔ)償效果可達(dá)到100%。

圖6 艦炮指向目標(biāo)方位補(bǔ)償曲線

假設(shè)彈丸質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動按照標(biāo)準(zhǔn)氣象彈道條件，根據(jù)艦船搖擺參數(shù)、方位驅(qū)動(-6°，6°)、高低驅(qū)動(25°，55°)以及后坐運(yùn)動30 ms的條件，彈丸初速850 m/s、飛行時間60 s，設(shè)置某目標(biāo)未來點(diǎn)在慣性系中的坐標(biāo)(25，0，0)km、彈著散布半徑為30 m時，根據(jù)射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)的補(bǔ)償解算流程得出彈道軌跡如圖7所示。其中，可行概率表示指定射擊諸元下滿足精度要求的搖擺條件。

圖7 艦炮射擊瞄準(zhǔn)解算的彈道軌跡圖

由圖7可以看出：彈丸飛行時間越長(以落點(diǎn)至水平面為截止時間)，艦船搖擺對彈丸飛行軌跡的影響越大，在搖蕩參數(shù)組合條件下，同組射擊諸元的彈丸落點(diǎn)范圍較大；對于指定目標(biāo)點(diǎn)，雖能夠得出23組修正射擊諸元，但可行搖擺條件概率最大僅為40%，表明該射擊諸元下預(yù)設(shè)的10組搖擺組合參數(shù)中僅有4組能夠滿足彈著點(diǎn)要求；通過與143組彈道軌跡數(shù)目比對，炮口指向局部補(bǔ)償效果約為16%左右，當(dāng)搖擺運(yùn)動較為劇烈時，射擊瞄準(zhǔn)補(bǔ)償?shù)臒o解情形更多。

5 結(jié)論

為保障艦炮射擊諸元求解精度，根據(jù)艦炮多體系統(tǒng)串聯(lián)運(yùn)動鏈建立了搖擺作用下的指向誤差模型，根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動精度及彈道方程分別構(gòu)造了艦炮指向補(bǔ)償模型，并對搖擺補(bǔ)償解算流程進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明：指向誤差模型能夠描述搖擺作用下艦炮瞄準(zhǔn)跟蹤、定點(diǎn)及跟蹤射擊時的炮口最大擾動域；對于搖擺補(bǔ)償，艦炮串聯(lián)系統(tǒng)不具備與搖蕩運(yùn)動關(guān)節(jié)對應(yīng)的“主動”自由度，艦船搖擺引起的指向擾動屬于不可完全補(bǔ)償誤差，位姿補(bǔ)償總體效果約為34%；通過目標(biāo)方位一致性或解彈道方程對指向誤差進(jìn)行局部補(bǔ)償，計(jì)及炮口非慣性系中的彈丸初始擾動和累積效應(yīng)，射擊瞄準(zhǔn)補(bǔ)償效果約為16%，可以獲得滿足落點(diǎn)彈丸偏差裕度要求的艦炮射擊諸元，實(shí)現(xiàn)搖擺條件下的艦炮精確打擊功能。