趙小鵬，戴 磊，曹小紅

(1.渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 渭南 714099；2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 西安 710119)

1909 年,H.Weyl[1]在檢查Hermitian 算子T的譜結(jié)構(gòu)時發(fā)現(xiàn)，T的所有緊擾動譜集的交集在其譜集中的余集恰好等于它的譜集中孤立點(diǎn)的有限重特征值.這一性質(zhì)后來被稱為“Weyl 定理”.之后，許多數(shù)學(xué)工作者將Weyl 定理進(jìn)行了變型和推廣，定義了Browder 定理，a-Browder 定理，a-Weyl 定理，(ω)性質(zhì)等，并進(jìn)行了廣泛的研究[2-6].(R)性質(zhì)是Weyl 型定理一種新的變型，近年來得到了極大的關(guān)注[7-9].在本文中，我們繼 續(xù)討論有界線性算子的(R)性質(zhì)，運(yùn)用新的譜集刻畫算子及算子函數(shù)的(R1)性質(zhì)與(R)性質(zhì).

1 預(yù)備知識

在本文中，H表示無限維可分的復(fù)Hilbert 空間，B(H)表示H上的有界線性算子的全體.算子T∈B(H)稱為是上半Fredholm 算子，若T的值域R(T)閉且其零空間N(T)為有限維的；若值域R(T)有有限的余維數(shù)，則稱T∈B(H)為下半Fredholm 算子.T∈B(H)稱為是Fredholm 算子，若T既為上半Fredholm 算子又為下半Fredholm 算子.對一個半Fredholm 算子T(上半或者下半Fredholm 算子)，令n(T)=dimN(T)，d(T)=dim(H/R(T))=codimR(T).半Fredholm 算子T∈B(H)的指標(biāo)定義為 i nd(T)=n(T)?d(T).算子T∈B(H)稱為是Weyl 算子，若T為指標(biāo)為零的Fredholm 算子.稱T∈B(H)為下有界算子，若T單且R(T)閉.算子T的升標(biāo)和降標(biāo)分別定義為 asc(T)=inf{n∈N:N(Tn)=N(Tn+1)}，desc(T)=inf{n∈N:R(Tn)=R(Tn+1)}(N 表示非負(fù)整數(shù)集)，若這樣的下確界不存在，則記 a sc(T)=+∞(或者 desc(T)=+∞).有有限升降標(biāo)的Fredholm算子稱為是Browder 算子.可以證明，T是Browder 算子當(dāng)且僅當(dāng)T是Weyl 算子且 asc(T)<∞(或desc(T)<∞).同樣也可以證明，T是Browder 算子當(dāng)且僅當(dāng)T為半Fredholm 算子且當(dāng) 0<|λ| 充分小時，T?λI可逆.由定義可以看出Browder 算子一定為Weyl 算子.對T∈B(H)，其譜集 σ(T)，逼近點(diǎn)譜集 σa(T)，本質(zhì)逼近點(diǎn)譜 σea(T),Weyl 譜 σw(T)和Browder 譜 σb(T)分別定義為：σ(T)={λ ∈C:T?λI不為可逆算子}(C 為復(fù)數(shù)域)，σa(T)={λ ∈C:T?λI不是下有界算子}，σea(T)={λ ∈C:T?λI不為上半Fredholm 算子或者ind(T?λI)>0}，σw(T)={λ ∈C:T?λI不是Weyl 算子}，σb(T)={λ ∈C:T?λI不是Browder 算子}.將 σ(T)，σa(T)，σea(T)，σw(T)和 σb(T)的余集分別記作：ρ(T)=Cσ(T)，ρa(bǔ)(T)=Cσa(T)，ρea(T)=Cσea(T)，ρw(T)=C σw(T)，ρb(T)=Cσb(T).

可以看出算子值域的閉性在算子理論中是重要的，記 σc(T)={λ ∈C:R(T?λI)不閉}，令 ρc(T)=Cσc(T).另外，記 σ0(T)為算子T的所有正規(guī)特征值組成的集合，即 σ0(T)=σ(T)σb(T).若集合E為復(fù)數(shù)集 C 的子集，用 i soE和 a ccE分別表示集合E的孤立點(diǎn)的全體和聚點(diǎn)的全體，用 i ntE表示E中內(nèi)點(diǎn)的全體.

令 ρa(bǔ)b(T)={λ ∈C:T?λI為上半Fredholm 算子且 asc(T?λI)<∞}.用 σab(T)=Cρa(bǔ)b(T)表示算子T的Browder 本質(zhì)逼近點(diǎn)譜.顯然 σea(T)?σab(T).容易證明，λ ?σab(T)當(dāng)且僅當(dāng)T?λI為半Fredholm 且λ ∈[isoσa(T)∪ρa(bǔ)(T)].

則稱T滿足(R1)性質(zhì).顯然，(R1)性質(zhì)是(R)性質(zhì)成立的前提.

本文的安排如下：在第2 節(jié)，利用Weyl 譜的一種變型，給出了有界線性算子及其函數(shù)滿足(R1)或者(R)性質(zhì)的充要條件；在第3 節(jié)，再次利用該譜集，研究了a-Weyl 定理和(R)性質(zhì)的關(guān)系.

2 算子及其函數(shù)的(R)性質(zhì)的判定

3 a-Weyl 定理與(R)性質(zhì)的關(guān)系