羅立成，李恒毅，柯滿竹，劉正猷

（武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢430072）

0 引言

物理學(xué)中，渦旋光束及其所攜帶的軌道角動(dòng)量（Orbital Angular Momentum，OAM）是聲光等領(lǐng)域的重要研究課題。1989年，COULLET P 等受到流體動(dòng)力學(xué)渦旋束的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)了麥克斯韋-布洛赫方程的一個(gè)解，并提出了渦旋光束的概念［1］。1992年，ALLEN L 等提出了近軸傳播渦旋光束中的軌道角動(dòng)量概念，揭示了宏觀光學(xué)和微觀量子效應(yīng)之間的關(guān)系［2］。正是OAM 所具有的高保密性、高信息密度的特性，使得其越來(lái)越受到人們的關(guān)注并被研究，例如利用攜帶OAM 的渦旋光束實(shí)現(xiàn)的顯微觀察［3］、超衍射極限成像［4］、信息的編解碼［5-7］以及光通信［8-9］等。在聲學(xué)領(lǐng)域中渦旋束也受到了廣泛關(guān)注［10］，例如進(jìn)行粒子操控［11-12］以及進(jìn)行信息傳遞。盡管現(xiàn)在利用電磁波、光等手段進(jìn)行信息傳輸更為常見(jiàn)，但是在海洋通訊等水下領(lǐng)域，電磁波和光等通訊手段由于傳播過(guò)程中衰減較快，很難進(jìn)行遠(yuǎn)距離的信息傳輸。由于在水中聲波衰減相對(duì)較慢，聲通訊在水下得到了廣泛的應(yīng)用。而聲波作為壓力波，不存在電磁波中的自旋、偏振等物理特性，因而無(wú)法基于這些特性拓展信道容量。角動(dòng)量作為獨(dú)立于時(shí)域和頻域的新自由度，攜帶角動(dòng)量的渦旋束有望在聲通訊中使聲波在同一頻率下傳遞更多信息，提高信息傳遞速率，因此對(duì)角動(dòng)量的調(diào)節(jié)在利用其進(jìn)行信息編解碼的過(guò)程中有應(yīng)用價(jià)值。2017年，張翔教授課題組便演示了使用具有8 個(gè)不同拓?fù)浜傻穆暅u旋場(chǎng)對(duì)英文字符進(jìn)行編碼與解碼的過(guò)程［6］；2018年，程建春教授團(tuán)隊(duì)則進(jìn)一步利用聲波的角動(dòng)量實(shí)現(xiàn)了多路復(fù)用的實(shí)時(shí)信號(hào)傳輸［13］。貝塞爾束具有能量高局域、非衍射的特點(diǎn)，在任意截面上，貝塞爾束可以用Jl(μr)eilθeiκz來(lái)描述，l代表貝塞爾束的階數(shù)，對(duì)于l階貝塞爾束，繞其光軸一周的相位變化為2πl(wèi)，θ為方位角，非零階的貝塞爾束攜帶有OAM。由于加工工藝的限制，單個(gè)點(diǎn)源的尺寸無(wú)法做到太小，因而得到的渦旋束也有最小尺寸限制。第二種產(chǎn)生渦旋束的方法是利用亥姆霍茲共振腔［15］，這種方法的不足在于，共振腔的截面積與長(zhǎng)度都必須達(dá)到半波長(zhǎng)，例如在空氣中使用1 kHz 的聲波來(lái)激發(fā)渦旋束時(shí)，裝置的長(zhǎng)度需達(dá)到17.15 cm。第三種方法是通過(guò)聲人工結(jié)構(gòu)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)波束［16-20］，這種方法便于根據(jù)目標(biāo)調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)，同時(shí)對(duì)激發(fā)源的要求也相對(duì)較低，因而得到了越來(lái)越多的關(guān)注。

本文基于第三種方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)具有鏤空阿基米德螺旋柵的金屬板，理論推導(dǎo)了平面波與非零階貝塞爾束入射到該人工結(jié)構(gòu)板后出射場(chǎng)的聲場(chǎng)分布，以及將入射波頻率提升至人工結(jié)構(gòu)板對(duì)應(yīng)基頻倍數(shù)后的效果。

1 理論模型

1.1 平面波入射理論的推導(dǎo)

當(dāng)平面波入射到鏤空螺旋柵的時(shí)候，螺旋柵上每一點(diǎn)都可以看作是次級(jí)點(diǎn)源，如圖1 中螺旋柵上的一點(diǎn)r(r，φ)。由平面波的表達(dá)式p=p0exp(ikz z)可以得到，點(diǎn)r對(duì)觀測(cè)點(diǎn)R(R，θ)的聲場(chǎng)貢獻(xiàn)為［21］

圖1 阿基米德螺旋柵示意圖Fig.1 Scheme of Archimedean spiral grating

式中，exp(ikz z)是沿z方向的傳播因子，基頻下波長(zhǎng)等于a，同一螺旋線上相鄰兩環(huán)在徑向?qū)?yīng)兩點(diǎn)的距離為la；l是螺旋柵的階數(shù)，基頻下l=1；φ表示方位角，點(diǎn)r處由入射波激發(fā)出沿徑向的一級(jí)衍射波，對(duì)應(yīng)波數(shù)為，r與φ的關(guān)系為，其中，r0為常數(shù)，表示螺旋柵的初始半徑。

根據(jù)惠更斯原理，中心區(qū)域所獲得的聲場(chǎng)，可以看作是所有次級(jí)點(diǎn)源貢獻(xiàn)的疊加。當(dāng)滿足R?r條件時(shí)有|ReR?rer| ≈r，且eR·er=cos(θ?φ)，由此在觀測(cè)點(diǎn)R(R，θ)的聲場(chǎng)分布為

根據(jù)以上推導(dǎo)，用平面波入射，得到的聲場(chǎng)具有l(wèi)階貝塞爾束的形式，因此螺旋柵上相鄰兩環(huán)在徑向?qū)?yīng)兩點(diǎn)間的距離與入射波波長(zhǎng)的比值，即為所得貝塞爾束的階數(shù)。這提供了兩種進(jìn)一步提高出射波階數(shù)的辦法，一種是升高頻率至基頻的倍數(shù)；另一種方法是加大螺旋柵相鄰兩環(huán)間距至原波長(zhǎng)的倍數(shù)，這種方法需要改變?cè)薪Y(jié)構(gòu)。

1.2 貝塞爾束入射

將入射波由平面波改為階數(shù)為n的貝塞爾束，其徑向波數(shù)為μ，z方向波數(shù)為κ，這兩個(gè)方向的波數(shù)滿足k2=μ2+κ2。入射波具有p=p0Jn(μr) exp(inφ)exp(iκz)的形式，且鏤空阿基米德螺旋柵平行于x-y平面。因此，入射波在r點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為p0Jn(μr) exp(inφ)exp(iκz)。點(diǎn)r對(duì)觀測(cè)點(diǎn)R的聲場(chǎng)貢獻(xiàn)為

類似地，在觀測(cè)點(diǎn)R(R，θ)的聲場(chǎng)分布為

由分部積分法和貝塞爾束積分公式

在上述的推導(dǎo)過(guò)程中，使用了兩次近似：第一次是R?r，即觀察的場(chǎng)點(diǎn)的徑向距離遠(yuǎn)小于源點(diǎn)，對(duì)應(yīng)到結(jié)構(gòu)參數(shù)上表現(xiàn)為，在獲得的貝塞爾束階數(shù)足夠高的情況下，r0也要足夠大；另一次是μ?kr，即入射貝塞爾束的徑向波數(shù)要足夠小，才能在表面產(chǎn)生線性疊加。

2 數(shù)值模擬

本文中，利用有限元仿真軟件Comsol Multiphysics 中的壓力聲學(xué)、固體力學(xué)模塊進(jìn)行模擬計(jì)算。模型如圖2所示，上下藍(lán)色部分為水，使用壓力聲學(xué)模型計(jì)算，中間黃色的部分為刻有順時(shí)針阿基米德螺旋柵的金屬板，使用固體力學(xué)中的線彈性材料計(jì)算，水層外側(cè)以輻射邊界包裹，結(jié)構(gòu)板邊緣為低反射邊界，網(wǎng)格最大單元大小為對(duì)應(yīng)頻率下波長(zhǎng)的三分之一。從順時(shí)針螺旋柵一側(cè)入射稱為正向入射。板厚度為0.5 mm，半徑r=12 mm，螺旋柵起始半徑r0=4.5 mm，鏤空部分w=0.5 mm，相鄰格柵間距a=1.5 mm，水的密度ρ=1 000 kg/m3，聲速c=1 500 m/s，當(dāng)入射波的頻率f=1 MHz 時(shí)，波長(zhǎng)λ=a=1.5 mm，此時(shí)在板表面生成1 階貝塞爾束。

圖2 數(shù)值模擬中的模型Fig.2 Scheme of the model in numerical simulation

圖3（a），（d）是工作頻率對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的基頻頻率f=1 MHz 下，平面波從正（順時(shí)針，（a））反（逆時(shí)針，（d））兩向入射到阿基米德螺旋柵的出射波聲壓及相位分布，結(jié)果如預(yù)期一樣，正向入射到螺旋柵后得到了+1 階貝塞爾束，反向入射到螺旋柵后則得到?1 階貝塞爾束。這驗(yàn)證了在1.1 中的理論推導(dǎo)。同時(shí)，利用+1 階貝塞爾束從正反兩向入射（如圖3（b），（e）），分別得到了+2 階（1+1）、0 階貝塞爾束（1?1）；?1 階貝塞爾束入射（如圖3（c），（f）），則分別得到0 階（?1+1）、?2 階貝塞爾束（?1?1）。這驗(yàn)證了1.2 中貝塞爾束入射情況的理論推導(dǎo)：在滿足相應(yīng)的近似條件的情況下，出射波是入射波與板結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的聲場(chǎng)的線性疊加。

圖3 頻率f=1 MHz 下，不同入射波的出射波聲場(chǎng)分布Fig.3 Numerical pressure and phase distribution of output wave for different incident wave at the frequency f=1 MHz

同時(shí)，為了顯示對(duì)高階入射聲束的調(diào)控，數(shù)值模擬了不同階數(shù)貝塞爾束從正（順時(shí)針）向入射至螺旋柵結(jié)構(gòu)板后的出射波聲場(chǎng)分布（上排為聲壓分布，下排為相位分布）。如圖4（a）～（c）是?8、?6、?4 階貝塞爾束入射后被結(jié)構(gòu)板調(diào)控的出射波為?7、?5 和?3 階貝塞爾束；圖4（d）～（f）展示的是+3、+5、+7 階貝塞爾束入射后被調(diào)控的出射波為+4、+6 和+8 階貝塞爾束，這說(shuō)明1.2 中的理論也適用于高階貝塞爾束。另外，從出射聲場(chǎng)的聲壓分布可看出，除了零階貝塞爾束不存在中央場(chǎng)強(qiáng)為零的區(qū)域，貝塞爾束階數(shù)越高，中心區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)為零的區(qū)域?qū)挾仍酱螅贿@為利用聲場(chǎng)進(jìn)一步操控粒子等提供了參考。需要說(shuō)明的是，由于模擬過(guò)程中螺旋柵尺寸有限，不同手性的出射波內(nèi)環(huán)聲壓能量會(huì)聚集在不同位置，提高螺旋柵的環(huán)數(shù)或初始半徑可提高內(nèi)環(huán)聲壓分布的均勻性。

上述提到，改變結(jié)構(gòu)參數(shù)或工作頻率可靈活調(diào)控入射波的階數(shù)，比如兩倍甚至高倍的改變相位。首先改變?nèi)肷洳ǖ墓ぷ黝l率來(lái)展示其調(diào)控效果。如圖5（a）和圖5（d）所示，將入射波頻率提升至基頻的兩倍，即f=2 MHz，此時(shí)用平面波從正（反）向入射到螺旋柵，如期得到了+（?）2 階貝塞爾束，即出射聲束階數(shù)兩倍的增加或降低。圖5（b）和圖5（c）也展示了兩個(gè)非零階貝塞爾束入射后的調(diào)控效果：+1 階貝塞爾束從正向入射到螺旋柵會(huì)得到+3 階貝塞爾束，反向入射會(huì)得到?1 階貝塞爾束；?1 階貝塞爾束從正向入射到螺旋柵會(huì)得到+1 階貝塞爾束，反向入射則會(huì)得到?3 階貝塞爾束。然后，將螺旋柵柵格間距調(diào)整為原來(lái)的兩倍，即a=3 mm，并用平面波從正（反）向入射，如圖6（a）與圖6（b）所示，也同樣得到了+（?）2 階貝塞爾束。上述結(jié)果表明，在不改變?nèi)肷湄惾麪柺A數(shù)的情況下，可以通過(guò)提高入射波頻率至人工結(jié)構(gòu)板基頻的倍數(shù)或?qū)⒏駯砰g距增加至基頻下波長(zhǎng)倍數(shù)來(lái)得到高倍數(shù)的相位階數(shù)調(diào)控效果，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)貝塞爾束階數(shù)更靈活的調(diào)控。

圖5 頻率f=2 MHz 下，不同入射波的出射波聲場(chǎng)分布Fig.5 Numerical pressure and phase distribution of output wave for different incident wave at the frequency f=2 MHz

圖6 頻率f=1 MHz 下，平面波波入射到格柵間距為a=3 mm 的鏤空螺旋柵后的出射波聲場(chǎng)分布Fig.6 Numerical pressure and phase distribution of output wave for incident plane wave which travel through the hollow spiral grating with a=3 mm at the frequency f=1 MHz

3 結(jié)論

基于惠更斯原理推導(dǎo)了平面聲波及聲貝塞爾束入射到具有鏤空阿基米德螺旋柵的金屬板后的聲場(chǎng)分布。結(jié)果表明，從正反兩向入射到具有合適參數(shù)的鏤空螺旋柵，平面波的出射波分別為具有相反拓?fù)潆A數(shù)的貝塞爾束；貝塞爾束入射后調(diào)制的出射波分別為升階或降階的貝塞爾束。進(jìn)一步，通過(guò)提高入射波頻率至基頻的倍數(shù)或?qū)⒏駯砰g距增高至基頻波長(zhǎng)的倍數(shù)，可獲得對(duì)入射波更高倍數(shù)相位的調(diào)控能力。這些結(jié)果通過(guò)數(shù)值模擬得到了驗(yàn)證。鏤空螺旋柵結(jié)構(gòu)板所具有的這些特性使得它可以調(diào)節(jié)聲波的拓?fù)潆A數(shù)，在利用角動(dòng)量進(jìn)行信息傳輸以及編解碼上具有應(yīng)用前景。