基于有限單元和模型降階的儲能飛輪轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模及分析

周傳迪， 柳亦兵， 朱萬程， 張昊隨

(1．華北電力大學(xué) 電站能量傳遞轉(zhuǎn)化與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206；2．華北電力大學(xué) 先進(jìn)飛輪儲能技術(shù)研究中心，北京 102206)

飛輪儲能系統(tǒng)(FESS)具有功率密度大、無污染和充放電速度快等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域。飛輪儲能系統(tǒng)的充放電過程通過飛輪轉(zhuǎn)子的升降速實(shí)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速寬，但工作轉(zhuǎn)速范圍可能包括臨界轉(zhuǎn)速，導(dǎo)致振動問題突出[1]，因此有必要對飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行動力學(xué)建模和分析。

目前，飛輪轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模方法主要包括有限元法、傳遞矩陣法及集中質(zhì)量法。在有限元建模方面，唐長亮等[2-3]建立了飛輪轉(zhuǎn)子的有限元模型，對轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)進(jìn)行了分析，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。在集中質(zhì)量建模方面，蔣書運(yùn)等[4]建立了飛輪轉(zhuǎn)子的集中質(zhì)量模型，采用拉格朗日法得到了轉(zhuǎn)子的運(yùn)動微分方程并進(jìn)行了動力學(xué)數(shù)值仿真。戴興建等[5]建立了飛輪轉(zhuǎn)子的集中質(zhì)量模型，分析了飛輪轉(zhuǎn)子的動特性。Wang等[6]建立了四自由度飛輪-阻尼器的集中質(zhì)量模型，采用拉格朗日法獲得了四自由度飛輪的動力學(xué)方程，采用有限元法求解擠壓油膜阻尼器動態(tài)特性的雷諾方程，將計(jì)算得到的不平衡響應(yīng)與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比。Qiu等[7]為100 kg級飛輪儲能系統(tǒng)研制了一種擺錘調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，利用拉格朗日定理建立了該系統(tǒng)的四自由度動力學(xué)模型，從理論和實(shí)驗(yàn)上分析了系統(tǒng)的模態(tài)特性、臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了擺錘調(diào)諧質(zhì)量阻尼器抑制振動的有效性。上述2種建模方法中，有限元法可以得到比較準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，但是其計(jì)算量較大、計(jì)算耗時長；集中質(zhì)量法將飛輪等效為若干集中質(zhì)量點(diǎn)，降低了飛輪轉(zhuǎn)子自由度，減少了計(jì)算量，但是未考慮轉(zhuǎn)子輪盤厚度的影響，導(dǎo)致分析結(jié)果存在誤差[8-9]。飛輪轉(zhuǎn)子的半徑和轉(zhuǎn)速增加受到材料強(qiáng)度限制，主要通過增加轉(zhuǎn)子輪盤厚度來增加儲能，采用集中質(zhì)量法對轉(zhuǎn)子輪盤厚度較大的飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行動力學(xué)建模會影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

筆者借鑒集總參數(shù)建模方法[10]，綜合有限單元法[11]和模型降階法[12]，考慮轉(zhuǎn)子輪盤厚度，提出一種適用于飛輪轉(zhuǎn)子的建模方法。首先依據(jù)集總參數(shù)法對飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行質(zhì)量離散化，得到飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和陀螺矩陣以及各軸段的抗彎剛度，然后利用有限單元法計(jì)算各軸段的剛度矩陣，再依據(jù)飛輪轉(zhuǎn)子剛體假設(shè)，采用模型降階轉(zhuǎn)換矩陣對模型進(jìn)行簡化，得到最終的飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型。為驗(yàn)證建模方法的適用性，筆者以飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)為對象，基于Jeffcott轉(zhuǎn)子集中質(zhì)量建模方法、本文的建模方法以及有限元建模方法進(jìn)行動特性計(jì)算，求解飛輪轉(zhuǎn)子在不同輪盤厚度下的固有頻率，對比3種建模方法的計(jì)算結(jié)果，以有限元模型計(jì)算結(jié)果作為基準(zhǔn)，探究3種建模方法在不同轉(zhuǎn)子輪盤厚度情況下的計(jì)算誤差，并驗(yàn)證本文建模方法的合理性。

1 飛輪儲能系統(tǒng)簡介

飛輪儲能系統(tǒng)本體部分的主要結(jié)構(gòu)有徑向軸承、軸向磁軸承、飛輪轉(zhuǎn)子、電機(jī)轉(zhuǎn)子、雙向電機(jī)及飛輪外殼、抽真空與冷卻系統(tǒng)等組成，如圖1所示。

圖1 飛輪儲能系統(tǒng)簡化模型

飛輪儲能系統(tǒng)通過雙向電機(jī)對電能與動能進(jìn)行轉(zhuǎn)換，做到能量的儲存和釋放。充電時，電能通過電機(jī)轉(zhuǎn)換為動能，帶動飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行升速，直到飛輪轉(zhuǎn)子達(dá)到最大工作轉(zhuǎn)速，電機(jī)停止驅(qū)動，完成充電過程。放電時，飛輪轉(zhuǎn)子的動能通過電機(jī)轉(zhuǎn)換為電能進(jìn)行放電，飛輪轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速降低，直到降至最小工作轉(zhuǎn)速，此時停止放電，飛輪轉(zhuǎn)子完成放電過程。

飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)是飛輪儲能系統(tǒng)的關(guān)鍵子系統(tǒng)之一，為了保證飛輪轉(zhuǎn)子安全穩(wěn)定運(yùn)行，有必要對飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模和動特性分析。

2 飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)建模方法

2.1 基于有限單元法和模型降階法的飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)建模

由圖1可知，飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)主要由轉(zhuǎn)軸、轉(zhuǎn)子輪盤、電機(jī)軸套和上下徑向軸承組成。為了方便理解筆者提出的基于有限單元法和模型降階法的飛輪轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模方法，暫時不考慮電機(jī)軸套，對飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行簡化，如圖2所示，其中c1、c2分別為上、下軸承的阻尼，k1、k2分別為上、下軸承的剛度。

圖2 飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)簡化模型

飛輪轉(zhuǎn)子軸向由永磁軸承支撐，徑向由機(jī)械軸承支撐，建立動力學(xué)模型時不考慮轉(zhuǎn)子軸向振動，并將徑向軸承簡化為彈簧和阻尼系統(tǒng)。圖2中飛輪轉(zhuǎn)子可分為3個軸段：上軸段①，長度為L1；飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②，長度為L2；下軸段③，長度為L3。假設(shè)飛輪轉(zhuǎn)子有5個節(jié)點(diǎn)(圖2中節(jié)點(diǎn)1～節(jié)點(diǎn)5)，上、下軸承分別位于節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)4上?；谝陨霞僭O(shè)，對飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行動力學(xué)建模。

根據(jù)動力學(xué)相關(guān)理論，考慮陀螺效應(yīng)的飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運(yùn)動方程的一般形式可以描述為：

(1)

式中：qu為自由度坐標(biāo)；Mu、Cu、Gu和Ku分別為飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；Fu為系統(tǒng)所受到的外力和不平衡力；w為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；Mx、My分別為x和y方向的質(zhì)量；Cx、Cy分別為x和y方向的阻尼；Fux、Fuy分別為x和y方向的外力；qux、quy分別為x和y方向的位移；G、-GT分別為x和y方向的陀螺矩陣。

只要推導(dǎo)出上述各個矩陣的表達(dá)式，即可得到完整的飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)方程。

首先，利用集總參數(shù)法對飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行離散化，如圖3所示。將圖2中的上軸段①、飛輪轉(zhuǎn)子輪盤軸段②和下軸段③分別標(biāo)記為i=1、2、3軸段。圖3(a)給出了轉(zhuǎn)子的第i個軸段的集中質(zhì)量模型，其中mi、Li、Jpi、Jdi、EiIi分別為第i個軸段的質(zhì)量、軸段長度、極轉(zhuǎn)動慣量、赤道轉(zhuǎn)動慣量和抗彎剛度。

考慮轉(zhuǎn)子軸段的質(zhì)量和剛度，依據(jù)質(zhì)量不變和轉(zhuǎn)動慣量不變原則，將第i個軸段轉(zhuǎn)化為2個有慣性無剛度的集中質(zhì)量點(diǎn)以及有剛度無質(zhì)量的彈性軸組成的模型，如圖3(b)所示。其中，mi,u、Jpi,u、Jdi,u分別為第i個軸段集中在第i個質(zhì)量點(diǎn)上的質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動慣量和赤道轉(zhuǎn)動慣量；mi,d、Jpi,d、Jdi,d分別為第i個軸段集中在第i+1個質(zhì)量點(diǎn)上的質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動慣量和赤道轉(zhuǎn)動慣量。計(jì)算公式如下：

(2)

(a) (b)

圖2中的轉(zhuǎn)子模型有3個軸段，因此可得到4個集中質(zhì)量點(diǎn)，將各個軸段集中在各個質(zhì)量點(diǎn)處的參數(shù)相加，可以得到各個質(zhì)量點(diǎn)處的集總質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量。

(3)

不考慮轉(zhuǎn)軸內(nèi)阻尼，可以得到飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣Mu、阻尼矩陣Cu和陀螺矩陣Gu的表達(dá)式：

(4)

式中：xi為x方向各節(jié)點(diǎn)位移；yi為y方向各節(jié)點(diǎn)位移；θxi和θyi為轉(zhuǎn)角。

式(4)忽略了自由度θy1、θy4、θx1和θx4，這是因?yàn)楸疚乃幂S承為短軸承約束，該轉(zhuǎn)動自由度可由其他自由度表示。

為考慮轉(zhuǎn)子各個軸段的剛度對飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動特性的影響，采用有限元法，以軸段作為單個單元求解其剛度矩陣。飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②可視為無分布力、無約束的梁單元，如圖4所示，其中L為梁單元長度，EI為抗彎剛度，M1、M2為兩端點(diǎn)的扭矩，F(xiàn)1、F2為兩端點(diǎn)的力。上軸段①和下軸段③可視為具有短軸承約束的梁單元，如圖5所示，其中kb為軸承約束剛度。

圖4 無分布力、無約束梁單元

圖5 短軸承支撐梁單元

對于圖4所示的無分布力、無約束的梁單元，可根據(jù)文獻(xiàn)[13]得到其剛度矩陣方程：

(5)

對于圖5所示的短軸承支撐的梁單元，可將軸承等效為彈簧剛度[13]，且沒有支撐力矩M。因此，短軸承支撐梁單元具有以下邊界約束：

(6)

將式(6)代入式(5)可得：

6L·x1+2L2·θy1-6L·x2+4L2·θy2=M2=0

(7)

由于M2=0，自由度θy2可由x1、θy1、x2表示：

(8)

為方便分析，對式(5)進(jìn)行矩陣分塊可得：

(9)

將式(9)化為方程組形式：

(10)

對式(10)中第2個公式進(jìn)行分析，得到Uu2與Uu1的關(guān)系式：

(11)

(12)

由此得到下軸段③的剛度矩陣方程為：

(13)

依據(jù)F2=-kbx2，將彈簧納入梁單元中可得：

(14)

綜上，上軸段①、飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②和下軸段③的剛度矩陣分別為：

(15)

式中：kb1、kb2為上、下軸承約束剛度；I1～I(xiàn)3為3個軸段的轉(zhuǎn)動慣量。

將3個軸段的剛度矩陣置于相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位置并按照有限元法組合得到飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的剛度矩陣：

(16)

其中，

觀察圖2轉(zhuǎn)子模型發(fā)現(xiàn)，飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②的直徑與上軸段①和下軸段③的直徑相差較大，節(jié)點(diǎn)2與節(jié)點(diǎn)3之間的剛度較大。為了簡化方程，將飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②視為剛體，用節(jié)點(diǎn)5代替節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3。假設(shè)飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②中心節(jié)點(diǎn)5的自由度坐標(biāo)為(x5，y5，θx5，θy5)，依據(jù)剛體和小位移假設(shè)，得到圖2中節(jié)點(diǎn)2的自由度(x2，y2，θx2，θy2)和節(jié)點(diǎn)3的自由度(x3，y3，θx3，θy3)與(x5，y5，θx5，θy5)的關(guān)系：

(17)

式中：Lz1和Lz2分別為節(jié)點(diǎn)5與節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3的距離。

根據(jù)式(17)，矩陣E1和E2存在以下關(guān)系：

(18)

根據(jù)式(18)可得：

ETqub=0

(19)

假設(shè)存在模型轉(zhuǎn)換矩陣T滿足下式：

qub=Tqr

(20)

其中，qr=[x1x5θy5x4]T。

將式(20)代入式(19)可得：

ETqub=ETTqr=0

(21)

由于qr不為零，可得：

ETT=0

(22)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]得到模型轉(zhuǎn)換矩陣T還應(yīng)該滿足矩陣Y1為非奇異矩陣條件：

(23)

經(jīng)計(jì)算得到的模型轉(zhuǎn)換矩陣為：

(24)

其中，

利用模型轉(zhuǎn)換矩陣T對式(1)所示的模型進(jìn)行模型簡化后得到飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運(yùn)動方程：

(25)

其中，M=TTMuT,G=TTGuT,C=TTCuT,K=TTKuT,F=TTFu,q=[x1x5θy5x4y1y5θx5y4]T。

2.2 基于Jeffcott轉(zhuǎn)子的集中質(zhì)量模型

在轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模方面，基于Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的集中質(zhì)量法應(yīng)用較為廣泛[14-15]。Jeffcott轉(zhuǎn)子模型適用于轉(zhuǎn)子動特性的定性分析，在定量分析方面，其對具有薄輪盤的轉(zhuǎn)子建模誤差不大，但是針對儲能飛輪轉(zhuǎn)子此類具有厚輪盤的轉(zhuǎn)子，其建模誤差較大。

為了探究基于Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的飛輪轉(zhuǎn)子在不同輪盤厚度下的建模誤差，基于Jeffcott轉(zhuǎn)子模型對飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行動力學(xué)建模，探討其建模誤差來源，為下文基于該模型的飛輪轉(zhuǎn)子動特性計(jì)算和誤差對比提供理論參考，僅作為后續(xù)章節(jié)不同模型之間的計(jì)算誤差對比之用。

根據(jù)Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的簡化假設(shè)，將上軸段①和下軸段③視為有彈性無質(zhì)量軸，飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②簡化為一個質(zhì)量集中在節(jié)點(diǎn)5處的圓盤，只考慮飛輪轉(zhuǎn)子的平動自由度(x5，y5)和轉(zhuǎn)動自由度(θx5，θy5)，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，采用Jeffcott轉(zhuǎn)子模型建立的考慮陀螺效應(yīng)的飛輪轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動力學(xué)方程[22]如下：

(26)

式中：m為飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②的質(zhì)量；Jd為轉(zhuǎn)子赤道轉(zhuǎn)動慣量；Jp為轉(zhuǎn)子極轉(zhuǎn)動慣量。

式(26)中各個剛度項(xiàng)的計(jì)算公式如下：

(27)

式中：a、b分別為飛輪轉(zhuǎn)子中心節(jié)點(diǎn)5與上、下軸承的距離。

綜上所述，方程式(26)的剛度項(xiàng)來自于軸承彈簧剛度以及上軸段①和下軸段③的抗彎剛度，質(zhì)量項(xiàng)主要來自飛輪轉(zhuǎn)子輪盤②的質(zhì)量。因此，Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的主要誤差來源于忽略轉(zhuǎn)軸質(zhì)量和忽略轉(zhuǎn)子輪盤厚度產(chǎn)生的剛度影響。

3 建模方法驗(yàn)證

為了探究各建模方法在不同轉(zhuǎn)子輪盤厚度下的誤差，對基于Jeffcott轉(zhuǎn)子模型、本文模型及有限元模型建立的飛輪轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型進(jìn)行變轉(zhuǎn)子輪盤厚度的固有頻率計(jì)算，以有限元模型的計(jì)算結(jié)果作為基準(zhǔn)對其他2種模型進(jìn)行誤差分析。

對于實(shí)際的飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，大多數(shù)飛輪轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)軸上嵌套有電機(jī)轉(zhuǎn)子?？紤]電機(jī)轉(zhuǎn)子質(zhì)量和附加剛度的影響，建立了如圖6所示的飛輪轉(zhuǎn)子-電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，并計(jì)算了在不同轉(zhuǎn)子輪盤厚度下的前兩階固有頻率，其中轉(zhuǎn)子輪盤厚度變化范圍為25～300 mm，在轉(zhuǎn)子輪盤直徑一定的情況下，對應(yīng)的轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比為0.08～1，其他參數(shù)見表1。

圖6 飛輪轉(zhuǎn)子-電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型

表1 飛輪轉(zhuǎn)子-電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)參數(shù)

飛輪轉(zhuǎn)子-電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的前兩階固有頻率隨轉(zhuǎn)子輪盤厚度變化曲線如圖7所示。對于一階固有頻率，隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加，本文模型與有限元模型計(jì)算結(jié)果均呈先減小后增大的趨勢，Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的計(jì)算結(jié)果一直呈減小趨勢。當(dāng)轉(zhuǎn)子輪盤厚度較小時，本文模型與有限元模型計(jì)算結(jié)果有一定誤差，隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加，相對誤差逐漸減小。Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的計(jì)算結(jié)果在轉(zhuǎn)子輪盤厚度較小時與有限元模型計(jì)算結(jié)果接近，隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加，相對誤差逐漸增大。

(a) 一階固有頻率

(b) 二階固有頻率

對于二階固有頻率，隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加，本文模型與有限元模型計(jì)算結(jié)果均呈先減小后增大的趨勢，Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的計(jì)算結(jié)果一直呈減小趨勢。本文模型的計(jì)算結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果吻合，當(dāng)轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加至一定值時開始略有差別。Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的計(jì)算結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果在轉(zhuǎn)子輪盤厚度較小時較為接近，隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加，兩者的相對誤差逐漸增大。

Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的固有頻率ωd與剛度、質(zhì)量的關(guān)系為：

(28)

式中：ks為轉(zhuǎn)子的軸段及支撐的串聯(lián)剛度；ms為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，由于Jeffcott轉(zhuǎn)子模型不考慮轉(zhuǎn)子厚度，因此其剛度不隨轉(zhuǎn)子輪盤厚度變化而變化，而轉(zhuǎn)子質(zhì)量隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度的增加而增大，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的固有頻率隨轉(zhuǎn)子輪盤厚度的增加一直呈減小趨勢。

圖8為不同轉(zhuǎn)子輪盤厚度下，基于本文模型和Jeffcott轉(zhuǎn)子模型計(jì)算得出的飛輪轉(zhuǎn)子-電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的前兩階固有頻率與有限元模型計(jì)算結(jié)果的相對誤差。從圖8可以看出，對于一階固有頻率，Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的計(jì)算結(jié)果在轉(zhuǎn)子輪盤厚度較小時相對誤差小，轉(zhuǎn)子輪盤厚度為0.03 m時，相對誤差為0.28%，隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度的增加，相對誤差一直增大，當(dāng)轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加至0.3 m時，相對誤差達(dá)到最大值55.78%。轉(zhuǎn)子輪盤厚度為0.25 m時，本文模型計(jì)算結(jié)果的相對誤差達(dá)到最大值6.24%，隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加，相對誤差逐漸降低，在轉(zhuǎn)子輪盤厚度為0.165 m時相對誤差達(dá)到最小值0.014%，之后隨著轉(zhuǎn)子輪盤厚度進(jìn)一步增加，相對誤差開始逐漸增大，轉(zhuǎn)子輪盤厚度為0.285 m時相對誤差增大至2.97%。

(a) 一階固有頻率相對誤差

(b) 二階固有頻率相對誤差

對于二階固有頻率，Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的計(jì)算結(jié)果相對誤差隨轉(zhuǎn)子輪盤厚度增加而增大，轉(zhuǎn)子輪盤厚度為0.3 m時，相對誤差達(dá)到最大值79.77%。本文模型的計(jì)算結(jié)果相對誤差一直較小，轉(zhuǎn)子輪盤厚度為0.3 m時，相對誤差達(dá)到最大值2.89%。

圖9給出了不同轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比情況下，本文模型和Jeffcott轉(zhuǎn)子模型計(jì)算得出的飛輪轉(zhuǎn)子-電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的前兩階固有頻率與有限元模型計(jì)算結(jié)果的相對誤差。從圖9可以看出，基于Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的飛輪轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比為0.08～0.23時，其一階固有頻率相對誤差在10%以下；轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比為0.08～0.12時，二階固有頻率相對誤差在10%以下；轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比為>0.23～1時，相對誤差均在10%以上，因此Jeffcott轉(zhuǎn)子模型不適于厚輪盤飛輪轉(zhuǎn)子的動力學(xué)建模和動特性計(jì)算。

圖9 飛輪轉(zhuǎn)子-電機(jī)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的前兩階固有頻率相對誤差隨轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比的變化

對于本文模型，轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比為0.35～0.73時，相對誤差不超過1%，轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比在0.08～<0.35、>0.73～1內(nèi)總體相對誤差也較小，最大不超過6.24%，比較適用于厚輪盤飛輪轉(zhuǎn)子的動力學(xué)建模和動特性計(jì)算。

4 結(jié) 論

(1) 當(dāng)轉(zhuǎn)子輪盤厚度較小，轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比為0.08～0.23時，3種建模方法計(jì)算得到的固有頻率相差較小，總體上本文模型與有限元模型的計(jì)算結(jié)果更為接近。當(dāng)轉(zhuǎn)子輪盤厚度逐漸增加，轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比大于0.23時，Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的計(jì)算結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果的相對誤差已超過10%，而本文模型的計(jì)算結(jié)果則始終與有限元模型計(jì)算結(jié)果比較吻合，相對誤差一直較小，轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比為0.35～0.73時相對誤差最小。

(2) 采用Jeffcott轉(zhuǎn)子模型對轉(zhuǎn)子輪盤厚度與直徑比較大的飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行動力學(xué)建模時相對誤差偏大，本文的建模方法對于具有較大輪盤厚度與直徑比的飛輪轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模有較好的適用性。