廣義三階非線性薛定諤方程的行波解

葉飛筠， 劉小華， 曾職云

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院， 貴陽 550025)

0 引言

非線性薛定諤方程(NLSE)在物理學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域具有重要作用[1-2].為了構(gòu)造NLSE的各種形式的行波解，學(xué)者們提出了許多有效的方法，如F-展開法[3]、雅可比橢圓函數(shù)法[4]、擴(kuò)展的輔助方程法[5]、G′/G展開法[6]、 Riccati展開法[7]、正弦余弦法[8]等.本文將利用雙曲正切函數(shù)展開法研究如下廣義三階非線性薛定諤方程[9]

i (qt+qxxx)+|q|2(δ1q+iδ2qx)+iδ3(|q|2)xq=0

(1)

1 改進(jìn)的雙曲正切函數(shù)法

首先考慮如下非線性偏微分方程：

N(q,qx,qt,qxx,…)=0.

(2)

為了構(gòu)造方程(2)的精確行波解，本文引入如下行波變換：

q(x,t)=φ(ξ),ξ=ax+ct,a,c≠0,

(3)

其中a、c分別表示頻率和波數(shù).將式(3)代入式(2)可將式(2)化為如下常微分方程：

N(q(ξ),aq′(ξ),cq′(ξ),a2q′(ξ),…)=0.

(4)

假設(shè)式(4)具有如下形式的解：

(5)

且α滿足

α′=b+α2.

(6)

其中b是待確定的參數(shù)，A0、Aj、Bj(j=1,2,…,n)是任意常數(shù)，α=α(ξ)，n由齊次平衡原則確定.將式(5)和式(6)代入式(4)后合并αj(j=0,1,2,…,n)的同次冪，并令同次冪的系數(shù)為零，由此可得到關(guān)于A0、Aj、Bj(j=1,2,…,n)、b、a和c的代數(shù)方程組.求解該代數(shù)方程組后再結(jié)合方程(6)的幾種情況的解[16](式7—式11)，即可給出方程(2)的有界行波解的精確表達(dá)式.

1) 當(dāng)b<0時(shí)，方程(6)有如下雙曲函數(shù)解：

(7)

(8)

2) 當(dāng)b=0時(shí)，方程(6)有如下有理函數(shù)解：

(9)

3) 當(dāng)b>0時(shí)，方程(6)有如下三角函數(shù)解：

(10)

(11)

2 精確行波解

本文基于上述改進(jìn)的雙曲正切函數(shù)展開法構(gòu)造方程(1)的有界行波解的精確表達(dá)式.首先引入如下行波變換：

q(x,t)=φ(ξ)ei η(x,t)，ξ=kx+ωt，η(x,t)=δx+λt,

(12)

其中k和δ為孤子的頻率，ω和λ為波數(shù).將式(12)代入式(1)，并分別令實(shí)部和虛部為零可得：

3δk2φ″+(λ-δ3)φ+(δ2δ-δ1)φ3=0，

(13)

k3φ?+(ω-3kδ2)φ′+k(δ2+2δ3)φ2φ′=0.

(14)

對(duì)式(14)關(guān)于ξ進(jìn)行積分，并令積分常數(shù)為0， 則有：

(15)

φ(ξ)=A0+A1α+B1α-1.

(16)

將式(16)及φ的二階導(dǎo)數(shù)代入式(15)后合并α±j(j=0,1,2,3)的同類項(xiàng)系數(shù)，并令其為0可得到如下關(guān)于A0、A1、B1和ω的代數(shù)方程組：

(17)

求解方程(17)可得ω、A0、A1、B1的值有以下幾種情況：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由式(18)、(19)以及式(7)—(12)可得方程(1)有如下的有界行波解：

1) 當(dāng)b<0時(shí)，方程(1)有如下的雙曲函數(shù)解：

(24)

2)當(dāng)b=0時(shí)，方程(1)有如下的有理函數(shù)解：

(25)

3)當(dāng)b>0時(shí)，方程(1)有如下的三角函數(shù)解：

(26)

由式(20)、(21)以及式(7)—(12)可得方程(1)有如下的有界行波解：

1) 當(dāng)b<0時(shí)，方程(1)有如下的雙曲函數(shù)解：

(27)

2) 當(dāng)b=0時(shí)，方程(1)有如下的有理函數(shù)解：

(28)

3)當(dāng)b>0時(shí)，方程(1)有如下的三角函數(shù)解：

(29)

由式(22)、(23)以及式(7)—(12)可得方程(1)有如下的有界行波解：

1) 當(dāng)b<0時(shí)，方程(1)有如下的雙曲函數(shù)解：

(30)

2) 當(dāng)b=0時(shí)，方程(1)有如下的有理函數(shù)解：

(31)

3) 當(dāng)b>0時(shí)，方程(1)有如下的三角函數(shù)解：

(32)

3 解的性態(tài)分析

圖1是方程(1)的解|q1|在-10

圖1 解|q1|的3D圖(a)和2D圖(b)

圖2 解|q3|的3D圖(a)和2D圖(b)

圖3 解|q7|的3D圖(a)和2D圖(b)

圖4 解|q9|的3D圖(a)和2D圖(b)