聚焦共線向量問題

■劉玉成

共線向量也叫平行向量，相等向量是特殊的共線向量。共線向量定理:向量b（b≠0）與a共線，當且僅當存在唯一實數(shù)λ，使得a＝λb（b≠0）。

題型1：判斷向量共線

例1如圖1，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形。

圖1

題型3：用已知向量表示未知向量

例3趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）。類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖2所示的圖形，它是由3 個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)DF＝2AF，則（ ）。

圖2

評注：解答本題的關(guān)鍵是理解共線向量與相等向量的含義。

題型2：判斷三點共線

評注：用已知向量表示所求向量的實質(zhì)是向量線性運算的應用。

題型4：根據(jù)向量共線求參數(shù)的值

（方法2）畫出圖形，如圖3所示。

圖3

評注：利用共線向量處理求值問題的兩種思路:利用共線向量定理a＝λb（b≠0）列方程求解；利用向量平行的坐標表達式x1y2－x2y1＝0求解。

題型5：判斷幾何圖形的形狀

評注：兩向量共線是兩向量相等的必要不充分條件。

題型6：求點的坐標

例6在如圖4所示的平面直角坐標系xOy中，點A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），則AC與BD的交點P的坐標為_____。

圖4

評注：四邊形的一條對角線上的三點可以寫出6個向量，其中任意兩個向量共線。

感悟與提高