用待定系數(shù)法求解的三種情形

馮祖康 馮顯碩

學(xué)生雖然熟悉待定系數(shù)法的定義與解題步驟，但機(jī)械模仿解題過程、缺乏靈活運(yùn)用能力者居多。筆者思考并總結(jié)了用待定系數(shù)法求解的三種主要情形，幫助學(xué)生從根本上感悟其妙處，提升思維的靈活性與敏捷性。

情形1：所求結(jié)果的概型易鎖定，可優(yōu)先考慮待定系數(shù)法

初中數(shù)學(xué)中求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式等問題，高中數(shù)學(xué)中求圓錐曲線方程、求數(shù)列通項(xiàng)公式及前[n]項(xiàng)和等問題，都具有相似的已知與設(shè)問架構(gòu)。求解時(shí)，我們可以先借助系數(shù)設(shè)出結(jié)果的基本形式，然后根據(jù)其他條件列出方程（組），最后借助方程求出該系數(shù)。此種方法的哲學(xué)意蘊(yùn)是先主后次，即先注重整體的統(tǒng)領(lǐng)地位，后靈活地協(xié)同部分。

例1 已知[a1=1]，[an+1=2an+5]，求[an]的通項(xiàng)公式。

解：[a2=2a1+5=7]，設(shè)an=A·2n-1+B

當(dāng)[n]=1時(shí)，A+B=1? ①

當(dāng)[n]=2時(shí)，2A+B=7 ②

聯(lián)解①、②得：A=6，B=-5

∴an=6×2n-1-5=3×2n-5

例2 已知an=2n+1，bn=2n，求：[Tn]=[a1b1]+[a2b2]+…+[anbn]的前[n]項(xiàng)和。

解：設(shè)Tn=（An+B）·qn-B，A，B為待定系數(shù)，將[n]=1和[n]=2分別代入得

[（A+B）×21-B=6（2A+B）×22-B=26]? 解得[A=4B=-2]

∴Tn=（4n-2）×2n+2=（2n-1）×2n+1+2

掩卷而思，如果我們不知道遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式為指數(shù)型函數(shù)an=Aqn-1+B，等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)式Sn=An2+Bn，等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和為指數(shù)型函數(shù)Sn=A·qn+B，以及差比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式為Sn=（An+B）·qn-B，就不可能用待定系數(shù)法便捷地求解上述兩個(gè)題目?？梢?，基本的知識儲備是使用待定系數(shù)法的前提。

情形2：預(yù)感題設(shè)中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與某種熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)有關(guān)聯(lián)，但通過順向思維難以找到這種關(guān)聯(lián)，此種情況下，可借助待定系數(shù)法解題

我們要先嘗試列出這種關(guān)系，再逆推其系數(shù)是否存在解，若存在解，說明猜想能實(shí)現(xiàn)，若無解，說明猜想錯(cuò)誤。通過猜想、驗(yàn)證的方法尋找答案往往簡便易行。

例3 已知數(shù)列[an]中，an=1，an+1=c-[1an]，設(shè)c=[52]，bn=[1an-2]，求數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式（2010高考全國卷一）。

解題時(shí)，消去an和an+1后就建立了bn+1與bn的遞推關(guān)系式：bn+1=4bn+2。這個(gè)結(jié)構(gòu)很容易使我們聯(lián)想到等比數(shù)列的定義：bn+1=qbn。不同點(diǎn)是，前者的常數(shù)項(xiàng)不為0，而后者為0。如何把前者轉(zhuǎn)化為后者的形式，再加以解決呢？通過猜想，建構(gòu)bn等于某個(gè)等比數(shù)列[Cn]與常數(shù)[？]的和，即bn=[Cn+？]，則[Cn]=[bn-？]。設(shè)[Cn]的公比為q，即[Cn+1]=q[Cn]，由已知可以得到[Cn+1]-[？]=q（bn-[？]），整理后，與已知的bn+1=4bn+2比較，可得q=4，[？]=-[23]。這個(gè)結(jié)果的建構(gòu)主要靠數(shù)學(xué)直觀，并不像情形1一樣有明確的定義、定理作保證，所以這里的q和[？]并不一定有解。如果把bn猜想成某個(gè)等差數(shù)列[Cn]與常數(shù)[？]的和，則[？]無解，說明猜想錯(cuò)誤。

用待定系數(shù)法解題的妙處是把由因索果的難題轉(zhuǎn)化為執(zhí)果索因的易題。比如，把[1n（n-1）]裂項(xiàng)。如果直接變形，由于無章可循，其變形過程盲目性高，成功率低。但當(dāng)我們設(shè)[1n（n-1）]=[αn-1-βn]后，就可以利用待定系數(shù)法把分式裂項(xiàng)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橛欣碚?、方法作支撐的通分問題，通分后比較系數(shù)即可。

在講分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，數(shù)學(xué)書上以“規(guī)定”的方式呈現(xiàn)[amn=amn（a>0）]，學(xué)生心理接受度低。如果引導(dǎo)學(xué)生借助待定系數(shù)法大膽假設(shè)[amn=aλ]，兩邊同乘[n]次方得[am=][aλn]，故[λ=mn]。這樣根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系[amn=amn]就很自然地建立起來了。

例4? 已知非負(fù)實(shí)數(shù)[x，y，z]滿足[x+y+z=1]，證明：[2-x]+[2-y]+[2-z]≥[22]+1。

不等式左邊三個(gè)根式結(jié)構(gòu)相似，但根式在運(yùn)算中不易操作，我們主觀期望根式能跟熟悉的多項(xiàng)式建立關(guān)系，不妨設(shè)：

[2-x]≥[2]-[kx]

[？][k2x2-22kx+x≤0]

其中，[kx][≤2]

又∵[x∈0，1]∴[k=2-1]，即當(dāng)0≤[x]≤[1]時(shí)，[2-x]≥[2-（2-1）x]恒成立。

證明：∵0≤[x]≤[1]，0≤[y]≤[1]，0≤[z]≤[1]

∴[2-x]≥[2-（2-1）x] ①

[2-y]≥[2-（2-1）y] ②

[2-z]≥[2-（2-1）z] ③

三式相加得：[2-x]+[2-y]+[2-z]≥2[2]+1，其中[x，y，z]三個(gè)數(shù)中兩個(gè)數(shù)取0，一個(gè)數(shù)取1，三個(gè)式子同時(shí)取“=”號。

情形3：當(dāng)題目條件與定理不完全相符時(shí)，可通過引入系數(shù)來“放寬”條件，使之與定理?xiàng)l件吻合，以借它山之石攻玉

引入系數(shù)后，“個(gè)性”問題就轉(zhuǎn)變成了“類性”問題，我們就可以由“類性”問題出發(fā)，再去解決具體的“個(gè)性”問題。

例5? 已知[a，b，c∈R+]，求證[a2a+b]+[b2b+c]+[c2a+c]≥[a+b+c2]（《數(shù)學(xué)通報(bào)》1995年第4期問題T46）。

[（a-b）2≥0]，在[a]與[b]相等的情況下，不等式取等號。若在某種具體情況下，如[a]不可能等于[b]時(shí)，就只能保證[（a-b）2>0]。而此題中[a]與[a+b]兩個(gè)數(shù)明顯不相等，但所證不等式中卻含有等號，這時(shí)便可引進(jìn)系數(shù)“[λ]”，以便與定理?xiàng)l件相吻合。

設(shè)[（λa-b）2≥0]，得[a2b≥2aλ-bλ2]，（[b>0][λ][>0]）。當(dāng)[b=][λa]時(shí)，不等式取“=”。

證明：由上式得[a2a+b][≥][2aλ-a+bλ2]①

[b2b+c][≥2bλ-b+cλ2] ②

[c2a+c]≥[2cλ-a+cλ2] ③

三式相加并整理得：

[a2a+b]+[b2b+c]+[c2a+c]≥（[a+b+c]）（[2λ-2λ2]）

令[2λ-2λ2]=[12]，得[λ=2]

例6? 求函數(shù)[y=2sinx+sinx2]（0<[x]<[π]）的最小值。

若直接應(yīng)用均值不等式定理得[2sinx+sinx2]≥[21]=2，而[2sinx=sinx2]時(shí)，[sin2x=4]，這與[sin2x]≤1相矛盾。原因是[2sinx]與[sinx2]兩個(gè)數(shù)不可能相等。如果忽略了這一隱含條件，直接用均值定理求得的最小值，就不是條件允許范圍內(nèi)的最小值。引入系數(shù)α后，就可使之與定理的條件要求相吻合。

解：設(shè)存在0<α<2

所以[y=][sinx2+][2-αsinx]+[αsinx]≥

[2sinx2·αsinx]+[2-αsinx]≥[2α2+2-α]

由兩個(gè)不等式同時(shí)取得最小值的條件得：

[sinx2=αsinxsinx=1]，α=[12]，[y]的最小值為[52]

由此可知，用待定系數(shù)法求解需要以一定的數(shù)學(xué)閱歷和豐富的聯(lián)想能力為基礎(chǔ)，敏銳地捕捉到答案的主體結(jié)構(gòu)即主要矛盾，進(jìn)而以主體結(jié)構(gòu)為抓手，通過執(zhí)果索因的思維方法，達(dá)到化難為易的目的。

（作者單位：馮祖康，襄陽市?？悼h中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校;馮顯碩，重慶大學(xué)法學(xué)院）

責(zé)任編輯? 劉佳