混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下帶有隨機(jī)利率的歐式期權(quán)定價(jià)模型

王欣怡，郭志東

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

期權(quán)定價(jià)問題是金融數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)之一，最為經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)模型由Black和Scholes在1973年提出，模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S t的變化服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)[1]，即

其中，μ,σ為常數(shù)，B(t)為標(biāo)準(zhǔn)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。因?yàn)锽lack-Scholes（BS）模型的隨機(jī)驅(qū)動(dòng)源是幾何布朗運(yùn)動(dòng)，所以它無法刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格變化的長(zhǎng)程相關(guān)性、重尾分布等特征。為了克服布朗運(yùn)動(dòng)的這一不足，許多學(xué)者提出了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，并建立了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)模型。Araneda等建立了混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)CEV模型，運(yùn)用伊藤公式得到相關(guān)的Fokker-Planck方程，根據(jù)M-Whittaker函數(shù)和非中心卡方分布函數(shù)，得到了歐式看漲期權(quán)的價(jià)格[2]。實(shí)證結(jié)果表明此模型比標(biāo)準(zhǔn)的CEV模型更優(yōu)。徐峰等建立了混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下交換期權(quán)的定價(jià)模型，利用混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)理論和偏微分方程方法，得到了交換期權(quán)的定價(jià)公式[3]。楊月等建立了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下帶跳躍的幾何亞式期權(quán)定價(jià)模型，利用自融資交易策略和變量替換法給出了幾何亞式期權(quán)的定價(jià)公式，通過數(shù)值分析得到赫斯特指數(shù)和跳躍強(qiáng)度對(duì)亞式期權(quán)價(jià)格的影響[4]。梁喜珠等和王瑞等建立了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下最值期權(quán)和后定選擇權(quán)的定價(jià)模型，利用保險(xiǎn)精算的方法，得到最值期權(quán)和后定選擇權(quán)的定價(jià)公式[5-6]。

上述文獻(xiàn)均假設(shè)利率為常數(shù)，而事實(shí)是利率隨時(shí)間的變化而變化，于是一些學(xué)者提出了隨機(jī)利率模型，如Vasicek模型[7]、Merton模型[8]等。史言建立了一個(gè)包含隨機(jī)利率因素的混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型，利用快速傅里葉變換算法和模型特征函數(shù)得到歐式期權(quán)定價(jià)的快速數(shù)值解[9]。王之淵等提出了基于Klein模型的跳擴(kuò)散過程下帶有隨機(jī)利率的脆弱期權(quán)定價(jià)模型，利用伊藤公式和鞅方法得出脆弱看漲期權(quán)定價(jià)公式[10]。基于此，本文研究混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下帶有Merton隨機(jī)利率的歐式期權(quán)定價(jià)問題。

1 混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

定義1[2]滿足條件ξH(0)=0,E[ξH(t)]=0和

的高斯過程ξH={ξH(t),t≥0}稱為次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，B H(t)為標(biāo)準(zhǔn)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)B(t)。

定義2[2]稱{Mβ,γ,Ht,t≥0}=Mβ,γ,H=βB t+γξHt,β≥0,γ≥0為混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，其中B t為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，ξHt為次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。

由定義1和定義2可知：

當(dāng)β=0,γ=1時(shí)，Mβ,γ,Ht為次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；當(dāng)β=1,γ=0和時(shí)，Mtβ,γ,H為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

2 零息票債券的定價(jià)公式

假設(shè)利率r(t)滿足

其中，μr,σr1,σr2是常數(shù)，ξH(t)是次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是標(biāo)準(zhǔn)的維納過程，ξH r1(t),B r2(t)相互獨(dú)立。

設(shè)P(r,t;T)為零息票債券在t時(shí)刻的價(jià)格，當(dāng)r(t)滿足式（1）時(shí)，由泰勒公式可知

由式（1）得

因此

因此，零息票債券P(r,t;T)滿足偏微分方程和邊界條件

令τ=T-t，P(r,t;T)=eA1(τ)-rA2(τ)，得

把式（4）代入式（2），得

因此，零息票債券的定價(jià)公式為P(r,t;T)=e-rτ+A1(τ)。

3 歐式期權(quán)定價(jià)的BS公式

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S(t)滿足隨機(jī)微分方程

其中，μs,σs1,σs2是常數(shù)，ξH(t)是次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，是標(biāo)準(zhǔn)的維納過程，ξH s1(t),B s2(t)相互獨(dú)立。記K為敲定價(jià)格，T為歐式看漲期權(quán)的到期日，c=c(S,r,t)為看漲期權(quán)價(jià)格，當(dāng)r(t)滿足式（1），S(t)滿足式（6）時(shí)，得到如下結(jié)論。

定理1c(S,r,t)滿足以下BS偏微分方程

證明考慮投資組合由c(S,r,t),Δ1t,Δ2t構(gòu)成，Δ1t表示標(biāo)的資產(chǎn)的份額，Δ2t表示零息票債券的份額，投資組合在t時(shí)刻的價(jià)格為Πt=c t-Δ1t S t-Δ2t P t，則

4 新模型下的歐式期權(quán)定價(jià)公式

現(xiàn)給出混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下帶有Merton隨機(jī)利率的歐式期權(quán)定價(jià)公式。

定理2當(dāng)r(t)滿足式（1），S(t)滿足式（6）時(shí)，通過到期日T和敲定價(jià)格K，得到歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為c(S,r,t)=SN(d1)-KP(r,t;T)N(d2)；看跌期權(quán)的定價(jià)公式為p(S,r,t)=KP(r,t;T)N(-d2)-SN(-d1)；看漲-看跌期權(quán)的平價(jià)公式為c(S,r,t)-p(S,r,t)=S-KP(r,t;T)，其中，

證明歐式看漲期權(quán)的收益為c(S T,r,T)=(S T-K)+，歐式看漲期權(quán)滿足

通過計(jì)算可得

把式（10）代入式（8），得

零息票債券價(jià)格P(r,t;T)滿足式（8），因此c^(y,t)滿足

且有邊界條件

其中，

由式（9）和式（14）～（15）得c(S,r,t)=SN(d1)-KP(r,t;T)N(d2)，其中，

以及看漲-看跌的平價(jià)公式c(S,r,t)-p(S,r,t)=S-KP(r,t;T)。

5 隱含波動(dòng)率

下面給出模型下的隱含波動(dòng)率。

推論當(dāng)t=0時(shí)，歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為(K,T)=S0N()-KP0N()；看跌期權(quán)的定價(jià)公式為(K,T)=KP0N(-)-S0N(-)，其中，

此時(shí)，σim為相對(duì)于經(jīng)典BS模型的隱含波動(dòng)率。

6 數(shù)值計(jì)算與結(jié)論

下面給出本文模型的數(shù)值計(jì)算過程，并與一些經(jīng)典模型進(jìn)行對(duì)比分析。參數(shù)選取如下：

表1給出了敲定價(jià)格K取不同值時(shí)，混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下帶有Merton隨機(jī)利率的歐式看漲期權(quán)價(jià)格c1的變化。從表1可以看出，敲定價(jià)格K越大，歐式看漲期權(quán)價(jià)格越小；隨著參數(shù)H的增大，歐式看漲期權(quán)價(jià)格逐漸減小。表2給出了敲定價(jià)格K=10、初值S0取不同值時(shí)，混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下帶有Merton隨機(jī)利率的歐式看漲期權(quán)價(jià)格c2的變化。從表2可以看出，S0越大，歐式看漲期權(quán)價(jià)格越大；隨著參數(shù)H的增大，歐式看漲期權(quán)價(jià)格越小。

表1 不同敲定價(jià)格K和H下c 1的比較

表2 不同S0和H下c2的比較

表3給出了在不同敲定價(jià)格K下，c1與經(jīng)典的BS模型下的歐式看漲期權(quán)價(jià)格cBS之差的比較。從表3可以看出，當(dāng)敲定價(jià)格K取不同值時(shí)，混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下帶有Merton隨機(jī)利率的歐式看漲期權(quán)價(jià)格總是大于經(jīng)典的BS模型下的歐式看漲期權(quán)價(jià)格。表4給出了在不同敲定價(jià)格K下，c1與經(jīng)典的Merton隨機(jī)利率模型下的歐式看漲期權(quán)價(jià)格c3之差的比較。從表4可以看出，當(dāng)敲定價(jià)格K取不同值時(shí)，混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)機(jī)制下帶有Merton隨機(jī)利率的歐式看漲期權(quán)價(jià)格總是大于經(jīng)典的Merton隨機(jī)利率模型下的歐式看漲期權(quán)價(jià)格。

表3 不同K和H下c 1與c BS的價(jià)格之差

表4 不同K和H下c 1與c 3的價(jià)格之差

綜上所述，本文以混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)作為隨機(jī)驅(qū)動(dòng)源，同時(shí)將隨機(jī)利率納入期權(quán)定價(jià)模型中，得到了該模型下歐式期權(quán)的顯示定價(jià)公式。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，模型下歐式期權(quán)的定價(jià)要高于經(jīng)典BS模型和經(jīng)典Merton隨機(jī)利率模型，這與實(shí)際金融市場(chǎng)中期權(quán)的定價(jià)相符。不足之處在于我們只研究了歐式期權(quán)定價(jià)，后續(xù)可以深入研究隨機(jī)利率模型下美式期權(quán)、新型期權(quán)的定價(jià)問題。