丁大為 王德貴

通過前期的文章，我們了解了“數(shù)學(xué)黑洞6174”，也確實(shí)感到了數(shù)學(xué)中的玄妙?？ㄆ绽卓枺↘aprekar）黑洞，又稱重排求差黑洞，其計(jì)算過程稱為卡普雷卡爾運(yùn)算，這個(gè)現(xiàn)象稱歸斂，“6174”稱歸斂結(jié)果。四位數(shù)的黑洞是“6174”，那三位數(shù)有同樣的黑洞嗎？

今天我們用Python來求解和驗(yàn)證。

數(shù)學(xué)黑洞問題，經(jīng)過幾天的研究，真的感覺很有意思，那么除了四位數(shù)的6174，三位數(shù)、五位數(shù)是不是也有類似的規(guī)律呢，這期分享三位數(shù)的黑洞。

找到三位數(shù)的數(shù)學(xué)黑洞是一個(gè)求解和驗(yàn)證的問題，也要解決以下三個(gè)問題。

一是輸入任意一個(gè)三位數(shù)（不包含全部相同的數(shù)字），驗(yàn)證最后經(jīng)過運(yùn)算是不是得到一個(gè)固定的值;二是在一定范圍內(nèi)，是不是所有數(shù)都能得到這個(gè)固定值;三是要得到這個(gè)值最多需要多少步驟。

思路與四位數(shù)驗(yàn)證一樣，首先要將三位數(shù)分解開單個(gè)數(shù)字，存儲(chǔ)在新列表中，然后排序列表，輸出最大和最小數(shù)，做差，然后再存儲(chǔ)在新列表中，循環(huán)操作，看看最后是不是得到一個(gè)固定的值。

程序涉及的是中國電子學(xué)會(huì)編程等級考試四級知識點(diǎn)。

1.求解

即求解三位數(shù)的歸斂結(jié)果，是什么樣的數(shù)據(jù)。

參照四位數(shù)驗(yàn)證方法，程序設(shè)計(jì)（如圖1）。

將輸入的三位數(shù)轉(zhuǎn)化為列表，然后判斷數(shù)字是否完全相同，如果不完全相同，則循環(huán)執(zhí)行將列表中的三個(gè)數(shù)字排序，取出最大和最小的數(shù)，做差，在屏幕上顯示出來，同時(shí)添加到列表m中，如果有歸斂結(jié)果，則會(huì)有重復(fù)數(shù)據(jù)，于是判斷列表的長度和轉(zhuǎn)換為集合后的長度比較，如果不相等，則輸出最后一個(gè)數(shù)據(jù)，即為歸斂結(jié)果。

比如輸入：123，運(yùn)行結(jié)果（如圖2）。

大家可以看到，歸斂結(jié)果為495！那其他三位數(shù)也是歸斂結(jié)果嗎？下面我們來驗(yàn)證一下。

2.驗(yàn)證

即是輸入任意一個(gè)數(shù)字不完全相同的三位數(shù)，進(jìn)行驗(yàn)證，看看能不能得到495，需要幾步。這里利用了自定義函數(shù)。

（1）遞推法

輸入一個(gè)三位數(shù)，但三個(gè)數(shù)字不能完全相同，將其轉(zhuǎn)換為列表，排序、連接、轉(zhuǎn)換出最大值和最小值，做差，再轉(zhuǎn)換為列表，如果不夠3位，則添加“0”，進(jìn)行下一輪循環(huán)，直到得到“495”，然后輸出轉(zhuǎn)換用了多少次（如圖3）。比如驗(yàn)證輸入123，5次后獲得結(jié)果495。

（2）遞歸法

遞歸與遞推的不同之處，是調(diào)用了自身，達(dá)到循環(huán)的目的。過程和方法與遞推類似。不同的是，遞推算法中第7行的n=0去掉了，這是因?yàn)槿绻由线@行，每次調(diào)用自身的時(shí)候，n都會(huì)歸0，不能計(jì)數(shù)，因而必須先設(shè)置n=0，然后在自定義函數(shù)中用“global n”。兩種方法驗(yàn)證的結(jié)果是完全一樣的（如圖4）。

3.范圍

即是驗(yàn)證一定范圍內(nèi)所有數(shù)字不完全相同的三位數(shù)，看看能不能得到495，在這個(gè)范圍內(nèi)需要最多的步數(shù)是多少。

（1）遞推法

通過遞推法驗(yàn)證（如圖5）。

下面是在100-999范圍內(nèi)的遞推法驗(yàn)證，即所有三位數(shù)的驗(yàn)證結(jié)果。在數(shù)字完全一樣時(shí)，給出提示，從驗(yàn)證結(jié)果看，所有不完全相同的三位數(shù)，經(jīng)過運(yùn)算均可以得到“495”，并運(yùn)算的最多次數(shù)是“6”（如圖6）。

（2）遞歸法

遞歸法和遞推法一樣，也是在驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，驗(yàn)證一定范圍內(nèi)的所有整數(shù)，經(jīng)過運(yùn)算是不是都能得到“495”，并輸出最多的運(yùn)算次數(shù)。不同的是遞歸是通過調(diào)用自身，達(dá)到循環(huán)的目的。

同樣，遞歸法需要將遞推算法中的n=0去掉，而在遍歷前設(shè)置n=0，然后在自定義函數(shù)中設(shè)置為“global n”。m為最大次數(shù)變量（如圖7）。

下面是在100-999范圍內(nèi)的遞歸法驗(yàn)證，即所有三位數(shù)的驗(yàn)證結(jié)果。在數(shù)字完全一樣時(shí)，給出提示，從驗(yàn)證結(jié)果看，所有不完全相同的三位數(shù)，經(jīng)過運(yùn)算均可以得到“495”，并運(yùn)算的最多次數(shù)是“6”（如圖8）。

我們看到，兩種方法的驗(yàn)證結(jié)果是完全一樣的。

通過驗(yàn)證，遞推和遞歸方法得出的結(jié)果完全相同。這是在“6174”驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，修改程序后，比較容易得到的。那你注意到三位數(shù)和四位數(shù)在驗(yàn)證的時(shí)候，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？

我們只用Python做了驗(yàn)證，有興趣的老師和同學(xué)可以參考“6174”的方法用Scratch和APPInventor去驗(yàn)證。

本文是我自己的研究過程和心得，有不妥之處，請各位老師和同學(xué)斧正！