例談分式函數(shù)值域的幾種求法

婁愛玉

函數(shù)的值域問題十分常見，其中分式函數(shù)值域問題較為復(fù)雜，采用常規(guī)的方法通常很難快速求得函數(shù)的值域.那么，如何求解分式函數(shù)值域問題呢？通過研究，筆者找到了三種求分式函數(shù)值域的方法，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

一、分離常數(shù)法

當(dāng)遇到形如 f（x）= 、f（x）= 的分式函數(shù)時(shí)，可采用分離常數(shù)法來求其值域.先把分子湊成分母的倍數(shù)，然后將常數(shù)從分式中分離出來，最后求分離后分式的值域，即可求原函數(shù)的值域.

例1 .求函數(shù) y = （x - 1） 2 x 2 + 1 的值域.

解答本題，要先將題目中所給的函數(shù)式進(jìn)行變形，使其整式與分式分離；再分 x =0、x >0、x <0三種情況討論 x + 的最值；最后運(yùn)用基本不等式求x + 的最值，即可求得函數(shù)的值域.

二、判別式法

判別式法常用于求解形如 y =（a2+ d2≠0）的分式函數(shù)最值問題.在求最值時(shí)，要先把 y 看作參數(shù)，將函數(shù)式變形為關(guān)于 x 的一元二次方程；然后根據(jù)一元二次方程有實(shí)根，得到判別式△≥0；最后通過解不等式，求 y 的取值范圍，從而確定原函數(shù)的值域.

例2.求函數(shù) y = 的值域.

運(yùn)用判別式法求函數(shù)的值域，需注意函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù) R ，不能是其某個子區(qū)間.

三、換元法

換元法是解答數(shù)學(xué)問題的常用方法之一.在求分式函數(shù)的值域時(shí)，可將分式中的某個部分用一個新元替換，以便將復(fù)雜的函數(shù)式簡化，通過求關(guān)于新元函數(shù)的最值，求得原函數(shù)的值域.

例3.求函數(shù) f（x）= 的值域.

令 x = tan θ，便可將關(guān)于 x 的二次分式轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的一次分式，再通過三角恒等變換，將函數(shù)式化簡為正弦函數(shù)式，從而利用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得函數(shù)的值域.運(yùn)用換元法，可將函數(shù)式簡化，從而達(dá)到化繁為簡的效果.

求解分式函數(shù)值域問題的方法還有很多，上面談及的三種解題方法都是比較常用的.在解題時(shí)，我們不能生搬硬套，要仔細(xì)觀察目標(biāo)函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇最為合適的一種方法來解題，這樣才能真正提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省吳江中學(xué)）