談?wù)勅呛瘮?shù)周期的幾種求法

黃艷

周期性是三角函數(shù)的重要性質(zhì).求三角函數(shù)的周期問題一般較為簡單，常以選擇題或者填空題的形式出現(xiàn).但很多同學(xué)在解答這類問題時，卻花費(fèi)了大量的時間，究其原因主要在于沒有掌握好解題的規(guī)律，不能選用合適的解題方法.下面主要談一談三角函數(shù)周期的幾種求法，供大家參考.

一、定義法

定義法是指運(yùn)用三角函數(shù)周期性的定義來解題.當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任意一個值時，f（x + T）=f（x）均成立，則 T 為該函數(shù)的最小周期.在運(yùn)用定義法解題時，要通過三角恒等變換，將 f（x + T）變形為最簡形式，使其等于 f（x），即可確定函數(shù)的周期 T.

例1.求函數(shù) y =2 sin（2x +）的周期.

運(yùn)用定義法求三角函數(shù)的周期，需靈活運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，進(jìn)行合理的變形與轉(zhuǎn)化，可由 f（x + T）向 f（x）靠攏，也可由 f（x）向 f（x + T）靠攏.

二、公式法

我們知道，y = A sin（ωx +φ）+ h、y = A cos（ωx +φ）+ h的周期公式為 T = ，而 y = A tan（ωx +φ）+ h 的周期公式為 T = .若能夠?qū)⑤^為復(fù)雜的函數(shù)式變形為y = A sin（ωx +φ）+ h、y = A cos（ωx +φ）+ h、y = A tan（ωx +φ）+h的形式，就可以利用公式法來求三角函數(shù)的周期.

例2.求函數(shù) y = sin6 x + cos6 x 的最小正周期.

該三角函數(shù)為6次式，需先利用 sin2 x + cos2 x =1以及二倍角公式對其進(jìn)行化簡，使原式化為只含有余弦函數(shù)的式子；然后利用余弦函數(shù)的周期公式 T = 2π求出最小正周期.運(yùn)用公式法求三角函數(shù)的周期，需熟記正弦、余弦、正切函數(shù)的周期公式.

三、最小公倍數(shù)法

若函數(shù)式是幾個三角函數(shù)的和或差，則可先求出其中每個三角函數(shù)的最小正周期，然后求其最小公倍數(shù)，所得的結(jié)果即為原函數(shù)的最小正周期.運(yùn)用此方法解題，關(guān)鍵就在于找到所有函數(shù)周期的最小公倍數(shù).

例3.求函數(shù) f（x）= sin x+ cos x 的最小正周期.

題中的函數(shù)式為正弦函數(shù)式與余弦函數(shù)式的和，并且正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，于是運(yùn)用最小公倍數(shù)法求兩個三角函數(shù)的周期，并取其最小公倍數(shù)，即可解題.

上述三種方法都較為簡單，但是每種方法的適用情形并不相同.無論運(yùn)用哪種方法解題，都要熟記并靈活運(yùn)用 y = sin x、y = cos x、y = tanx 的周期性.同學(xué)們在解題時，要注意歸納并總結(jié)解題的方法與技巧，當(dāng)再遇到同類題目時就能夠從容應(yīng)對了.

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘中學(xué)）