張錦林, 李 炯, 雷虎民, 李萬禮, 唐 驍

(1. 空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051; 2. 空軍工程大學研究生院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

近年來,各國空天武器快速發(fā)展,高空目標的威脅日益劇增,對攔截器性能也提出了更高的要求,為確保成功攔截目標,應(yīng)使攔截器完成中末交接班,并使得攔截器在中制導結(jié)束時,處于有利的攔截狀態(tài),即末制導律的捕獲區(qū)域。

比例導引律(proportional navigation,PN)由于其魯棒性和工程易實現(xiàn)性,在制導武器領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。PN制導律一般分為兩大類。一類是指令加速度方向垂直于攔截器速度方向,主要包括純PN(pure PN, PPN)及其變式,通常用于大氣層內(nèi)的攔截制導。另一類是指令加速度方向與視線有關(guān)的方向,主要包括真PN(true PN, TPN)、現(xiàn)實TPN(realistic PN, RTPN)、廣義TPN(generalized TPN, GTPN)、理想PN(ideal PN, IPN)及其變式,更適合于高空攔截場景。其中,TPN和RTPN加速度的方向垂直于視線,大小與視線旋轉(zhuǎn)角速度成正比,能控制視線旋轉(zhuǎn)角速度不發(fā)散,使攔截器具有較小的脫靶量,從而實現(xiàn)對目標的直接碰撞。而GTPN和IPN都存在視線方向上的指令加速度,在工程中難以應(yīng)用,因此TPN和RTPN是更適合高空攔截的制導律。

RTPN是使用實時的視線接近速度來代替TPN中的初始接近速度。文獻[19]認為RTPN具有與TPN相似的性能,但具有更大的數(shù)學可處理性,因此有許多學者對RTPN進行了研究。文獻[20]研究了TPN對非機動目標的相對運動的封閉解,得到了TPN的一個圓形捕獲區(qū)域。文獻[24]推導出二維TPN和RTPN針對非機動目標的捕獲區(qū)域的形式。文獻[19]研究了TPN和RTPN針對二維機動目標的捕獲區(qū)域,目標的加速度垂直于視線,與垂直視線的相對速度成反比。文獻[21]提出了一種新的針對非機動目標和機動目標的RTPN解析解的求解方法。文獻[22,25]基于三維非線性耦合相對運動方程集,分析了三維TPN和RTPN對非機動目標和機動目標的性能,但文獻[21]、文獻[22]和文獻[25]機動目標是由TPN、RTPN制導律來引導的。文獻[26]得到二維RTPN針對非機動目標和垂直視線方向機動目標的捕獲區(qū)域,該捕獲區(qū)域以速度前置角作為約束。文獻[29-30]提出了一種相位平面方法來研究三維TPN對非機動目標和機動能力有限的機動目標的捕獲區(qū)域,但該機動是已知目標準確加速度的情況的機動。

與以前的工作不同,文獻[23]、文獻[27]、文獻[28]和文獻[34]利用Lyapunov第二方法分析了制導律的性能針對有上限并垂直于視線的目標加速度,利用Lyapunov第二方法分析了二維RTPN和三維 TPN的性能,但對攔截器的機動大小未限制。文獻[28]在文獻[27]的基礎(chǔ)上加入攔截器機動大小的限制,針對目標垂直視線方向上的機動,得到二維RTPN的捕獲區(qū)域。文獻[34]將該方法應(yīng)用到現(xiàn)代制導律中,說明該方法應(yīng)用前景廣闊,但針對不機動目標,具有較大的局限性。

結(jié)合上述文獻可得,目前在高空攔截高速機動目標的捕獲區(qū)域,還存在以下問題:

(1) 在實際的攔截過程中,目標應(yīng)該是三維有限機動,且機動幅值會在一定范圍內(nèi)變化,而攔截器的機動過載同樣有限,目前針對該條件下捕獲區(qū)域的研究仍為空白。

(2) 哪些影響因素決定著能否成功捕獲目標,各因素的變化對于捕獲區(qū)域的影響又是怎樣的?

基于以上問題,本文針對三維有限機動的高速目標,即加速度方向任意,但大小有限的高速目標,對采用動能碰撞的有限過載的三維RTPN制導律的捕獲區(qū)域進行分析。首先,介紹了視線旋轉(zhuǎn)坐標系、三維RTPN及其對應(yīng)的相對運動學關(guān)系和假設(shè)條件;其次,對捕獲進行了定義,采用Lyapunov第二方法證明了視線旋轉(zhuǎn)角速度的漸近穩(wěn)定性,并得到了有限過載的RTPN攔截任意三維機動目標的捕獲區(qū)域;然后,對本文捕獲區(qū)域進行仿真驗證以及影響因素分析;最后,給出總結(jié)以及本文結(jié)論的意義。

1 預備知識

1.1 視線旋轉(zhuǎn)坐標系

圖1中,表示以為原點,以、、為軸的慣性坐標系;視線旋轉(zhuǎn)坐標系(line-of-sight rotation coordinate system, LRC)表示以攔截器的質(zhì)心為原點,以、、為軸的視線旋轉(zhuǎn)坐標系;表示視線方向上的單位矢量,表示沿視線角速度方向上的單位矢量,=×表示視線單位法向量;視線角(line-of-sight,LOS)表示視線,表示攔截器在慣性坐標系中的位置矢量,表示目標在慣性坐標系中的位置矢量,表示攔截器速度,表示目標速度。

圖1 LRCFig.1 LRC

在LRC中建立運動學方程組可以簡化三維相對運動學描述的復雜性。LRC中的相對運動可分為兩個解耦子運動:

(1) 攔截器與目標在相對位置矢量和速度矢量所跨越的瞬時密切面內(nèi)的相對運動,稱為視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面。

(2) 視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面的旋轉(zhuǎn)。

以攔截器的質(zhì)心為原點,三軸(,,)組成的視線旋轉(zhuǎn)坐標系滿足關(guān)系:

(1)

式中:=表示視線的角速度;=表示視線旋轉(zhuǎn)平面的旋轉(zhuǎn)角速度。

1.2 基本假設(shè)條件

為了研究高空中有限過載攔截器攔截任意三維機動目標的捕獲問題,首先根據(jù)實際攔截情形,確定攔截器與目標加速度的方向與大小。攔截器加速度大小受飽和過載約束,方向有導引方法確定;目標的加速度大小受空氣密度制約,方向任意。其次,三維攔截的幾何形狀如圖1所示。為簡化三維RTPN的性能分析,假設(shè)如下。

將攔截器和目標視為質(zhì)點,并忽略重力以及空氣阻力對攔截器和目標的影響。

當攔截器與目標之間的距離小于導引頭的最大作用距離時,則認為攔截器成功跟蹤目標,能夠獲取目標信息。

不考慮制導和控制誤差。

在高空攔截高速目標,采用動能碰撞攔截。

1.3 攔截器與目標相對運動分析

結(jié)合圖1和基本假設(shè)條件,攔截器與目標相對位置矢量為

=-=r

(2)

式中:=/r是視線方向的單位矢量。

對式(2)進行求導可得,攔截過程中兩者之間的相對運動關(guān)系為

(3)

將式(1)代入式(3)得

(4)

對式(4)進行求導,可得

(5)

將式(1)代入式(5)得

(6)

式中:、 、分別表示目標加速度分解到視線旋轉(zhuǎn)坐標系的各坐標軸、、上的分量大小;、 、分別表示攔截器加速度分解到視線旋轉(zhuǎn)坐標系坐標軸、、上的分量大小。

三維RTPN制導的指令加速度表達式:

(7)

將式(7)代入式(6)得

(8)

且由式(4)可得

=-=

(9)

分析式(9)得,目標與攔截器在垂直視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面上,速度投影差值為零,如果目標存在垂直視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面的加速度,那么視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面將發(fā)生旋轉(zhuǎn),以滿足式(9)所示條件。這也是采用視線旋轉(zhuǎn)坐標系的優(yōu)點,能夠?qū)⑷S攔截問題轉(zhuǎn)化為視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的攔截問題。

假設(shè)目標的加速度滿足:

(10)

式中:、、、是常數(shù)。在實際的攔截作戰(zhàn)中,目標的加速度上限可以根據(jù)實際目標情報以及當前科技發(fā)展水平確定。

2 現(xiàn)實真比例導引律性能分析

使用三維RTPN制導進行高空攔截時,最重要的是能否對目標進行捕獲,首先確定高空碰撞殺傷捕獲的定義。然后對視線旋轉(zhuǎn)角速度進行Lyapunov穩(wěn)定性分析,最后得到有限過載三維RTPN的捕獲能力。

2.1 捕獲目標的定義

對目標的捕獲的定義。

(11)

而一般的捕獲定義為

(12)

將根據(jù)高空攔截的實際特點,即動能攔截,分析式(11)和式(12)可知,式(11)的表達更加符合實際攔截目標捕獲的定義。

2.2 穩(wěn)定性分析

在分析三維RTPN性能之前,首先對攔截器視線角速度進行Lyapunov穩(wěn)定性判定,得到攔截器視線角速度漸近穩(wěn)定的,并且其變化邊界與初始視線角速度、目標加速度、容許碰撞速度以及導航比有關(guān)。

由式(8)可得,采用三維RTPN制導的攔截器能夠?qū)M足式(10)的任意三維機動目標進行攔截,如果導航比滿足:

>2

(13)

并且視線接近速度滿足:

(14)

式中:∈(0,+∞)為常數(shù)。則

(15)

一定成立。

首先用反證法對式(15)的不等式進行證明。如果式(15)不成立,從()的連續(xù)來看,必然存在一些常數(shù),∈[0,]使得

()=

(16)

()>,<≤

(17)

選取如下Lyapunov函數(shù):

(18)

對式(18)求時間的一階導數(shù)并結(jié)合式(8)的第二式可得

(19)

將式(10)和式(14)代入式(19)中可得

(20)

當∈(,]時,的邊界值已經(jīng)在式(15)假設(shè)出,將式(17)代入式(20)中可以得到:

(21)

根據(jù)式(21)可得,在攔截過程中是符合Lyapunov穩(wěn)定的,即

()≤,<≤

(22)

式(22)的結(jié)果與式(17)相矛盾,因此式(15)得以證明。

證畢

2.3 捕獲區(qū)域的確定

捕獲區(qū)域可認為是一個狀態(tài)空間,與攔截器和目標相對運動狀態(tài)有關(guān),當攔截器與目標的相對運動狀態(tài)進入該狀態(tài)空間時,式(11)成立,即攔截器最終能成功捕獲目標。

當攔截器與目標之間符合式(8)中的制導關(guān)系,且目標加速度滿足式(10)時,那么視線接近速度在制導過程中就有了一定的約束,其視線接近速度滿足:

(23)

由式(8)第一式和式(10)可得

(24)

對等式兩邊進行積分可得

(25)

在實際的攔截過程中應(yīng)滿足()≥0,為了保證()≥0,應(yīng)使()≥0,而當()=0時,滿足下列關(guān)系式:

(26)

由式(26)的第二式可證明式(23)成立。

證畢

確定導航比的取值范圍,如果攔截器飽和機動加速度為 max,由式(8)可得,采用有限過載的三維真比例導引的攔截器能夠?qū)M足式(10)的任意三維機動目標進行攔截,如果攔截器與目標狀態(tài)滿足式(14)。

(27)

(28)

則

| |≤ max

(29)

成立。

由式(27)可得

(30)

由于式(30)的推導結(jié)果不易直接得到,下面對關(guān)鍵步驟進行說明。

(31)

對式(31)的兩邊同時加2,化簡可得式(30)左邊的不等式。

(32)

對式(32)化簡得式(30)右邊的不等式。

由式(30)可確定導航比的取值范圍:

(33)

或者

(34)

因為式(33)和式(34)合并即為式(28),兩式又分別代表的兩種約束條件,且的取值均滿足定理1中的條件,所以可以利用定理1針對的兩種約束條件,對攔截器的飽和機動加速度 max進行分析。

由式(33)右邊不等式可得

(35)

通過式(7)和式(15)可得

(36)

同時由式(33)左邊的不等式可得

(37)

由式(34)左邊不等式可得

(38)

通過式(7)和式(15)可得

(39)

同時由式(34)右邊的不等式可得

(40)

最后通過式(39)和式(40)可以證明式(29)成立,此時=| 0|。

證畢

說明采用三維RTPN制導且導航比在一定區(qū)間內(nèi)時,攔截器與目標初始運動狀態(tài)滿足一定條件后,攔截器的加速度在攔截作戰(zhàn)過程中能始終滿足小于攔截器的飽和機動加速度 max。

由式(8)可得,采用有限過載的三維RTPN制導的攔截器能夠?qū)M足式(10)的任意三維機動目標進行攔截時,制導的過程中應(yīng)滿足:

()>

(41)

如果攔截器與目標之間的初始相對運動狀態(tài)滿足:

(42)

同時其導航比滿足:

(43)

那么

(44)

一定成立。

不等式(44)意味著一定存在一個時間常數(shù)∈(0,+∞)使式(11)有效,從而保證對目標的捕獲。

(45)

成立。同時存在:

(46)

即在視線距離到達容許脫靶量之前,視線接近速度先到達容許碰撞速度。

由式(8)的第一式可得

(47)

對式(47)進行積分可得在∈[0,)時:

(48)

令

即在=時

(49)

成立。

由式(46)可得,()>,代入式(49)可得

(50)

下面根據(jù)式(15),分兩種條件對式(50)進行討論,條件如下:

條件1:

(51)

條件2:

(52)

(53)

式(51)與式(43)矛盾,證明式(44)成立。

此時由式(43)和式(51)可得到式(42)。

條件2成立時,= 0成立,由(50)可得

(54)

式(54)與式(42)矛盾,證明式(44)成立。

此時,由式(42)和式(52)可得到式(43)。

證畢

從該定理4可知,當對攔截器的過載即加速度沒有限制時,定理4為采用RTPN制導的攔截器追擊任意三維機動目標提供了一個充分但非必要的捕獲條件,也對導航比取值進行了一定的約束。與此同時,定理1和定理4也說明了目標各方向上加速度上限對于捕獲區(qū)域的影響,決定捕獲區(qū)域的面積,值越大相應(yīng)的捕獲區(qū)域面積越小,和共同決定了三維RTPN制導的指令加速度的上界,不影響目標的捕獲。

為方便描述,對捕獲區(qū)域進行總結(jié),由式(23)和式(27)可得

(55)

由式(42)可得

(56)

為了更加清晰地描述攔截器與目標初始運動狀態(tài)與捕獲區(qū)域之間的關(guān)系,引入初始航向誤差,表達式如下:

0= 0

(57)

式中: 0位于視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面內(nèi),表示攔截器與目標的初始航向誤差。該速度是相對速度,方向垂直于視線方向,另一種表達形式為

0=0-0

(58)

將式(11)、式(14)和式(57)代入式(55)和式(56)得

(59)

(60)

由式(59)和式(60)中可得,對攔截器的過載有限制時,該捕獲區(qū)域和下列參數(shù)有關(guān):攔截器捕獲目標初始距離、初始視線接近速度、初始航向誤差以及容許碰撞速度和容許脫靶量;攔截器飽和機動加速度;目標加速度在、方向上的上限。

因為攔截任意三維機動目標的捕獲區(qū)域問題是非線性問題,無法求取其充分必要條件,所以本文求取的捕獲區(qū)域為攔截器成功捕獲目標的充分不必要條件,即滿足式(59)和式(60)捕獲條件一定能夠成功攔截目標,但并不意味著不滿足捕獲條件一定不能捕獲目標。

3 捕獲區(qū)域仿真分析

本節(jié)將對捕獲區(qū)域進行分析和驗證,由兩個小節(jié)組成。第31節(jié)針對高速目標在捕獲區(qū)域內(nèi)外分別對目標的攔截場景和低速目標在捕獲區(qū)域內(nèi)的仿真,以驗證本文所證捕獲區(qū)域的有效性。第32節(jié)中分析捕獲區(qū)域的影響因素對于捕獲區(qū)域面積的影響。

3.1 捕獲區(qū)域有效性驗證

在表1條件下,高速目標采用極限加速度進行機動的捕獲區(qū)域如圖2所示。仿真情形1與仿真情形2分別是在如圖2所示的捕獲區(qū)域上邊界內(nèi)外,來對捕獲區(qū)域的有效性進行驗證。仿真情形3是針對低速目標進行的捕獲區(qū)域驗證。3種仿真情形中攔截器的初始速度狀態(tài)相同。

表1 捕獲區(qū)域的6個影響因素

圖2 表1數(shù)據(jù)下的捕獲區(qū)域Fig.2 Capture area under the data in Table 1

由式(59)和式(60)可知,在攔截器最初捕獲目標時,其捕獲區(qū)域已經(jīng)由表1中6個影響因素確定,針對某高速目標 6個影響因素數(shù)據(jù)如表1所示,其中重力加速度取9.8 m/s。

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)結(jié)合式(59)和式(60),得捕獲區(qū)域如圖2所示。

在圖2的捕獲區(qū)域內(nèi),當初始視線接近速度小于容許碰撞速度時,目標與攔截器初始視線接近速度越小,兩者在視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的初始航向誤差范圍越大。

3.1.1 仿真情形1

攔截器與目標的初始狀態(tài)在本文捕獲區(qū)域內(nèi)時,當目標采用表1中的極限加速度進行機動時,攔截器初始位置(0 km,18 km,0 km),目標位置(69.9 km,33 km,69.9 km),攔截器與目標在速度視線旋轉(zhuǎn)坐標系中的速度分別為(1 500 m/s,200 m/s,-500 m/s),(-4 400 m/s,440 m/s,-500 m/s),其對應(yīng)在固定坐標系中速度約為(716.3 m/s,27.3 m/s,1 423.4 m/s),(-3 383.5 m/s,-1 090.1 m/s,-2 676.4 m/s),此時初始攔截器與目標初始相對速度為(0, 0,0)=(-5 900,235,0)m/s,并設(shè)定目標在上的過載為1。

即導航比取值范圍為4043 0≤≤4115 8。

導航比分別取27、41、55時的仿真結(jié)果分別如表2、圖3和圖4所示。

表2 情形1下的終端脫靶量

圖3 情形1下的攔截軌跡Fig.3 Interception trajectory in case one

圖4 情形1下的攔截器加速度Fig.4 Interceptor acceleration in case one

從表2和圖3中能直接觀察到,取27時,攔截器未成功捕獲目標,原因是攔截器在攔截后期過載受限,未能成功攔截;取4.1、5.5時,攔截器成功捕獲目標,雖然后者在攔截前期過載達到飽和,但后期仍處于飽和過載以內(nèi),仍能夠成功捕獲目標。

圖3、圖4是在仿真情形1條件下,導航比分別取2.7、4.1、5.5時,攔截器攔截目標的軌跡圖和加速度圖,目標是在視線旋轉(zhuǎn)坐標系上采用極限加速度來驗證捕獲區(qū)域的有效性,而在攔截過程中,不同的導航比將導致攔截器不同的過載以及攔截軌跡,這就進一步導致攔截過程中視線旋轉(zhuǎn)坐標系的差異,進而導致了目標的運動軌跡存在一定的差異,是合理的。

圖5展現(xiàn)了在仿真情形1時,攔截器與目標的相對速度在捕獲區(qū)域內(nèi)的變化曲線,攔截器成功捕獲目標時,攔截器與目標接近或處于零控攔截流形狀態(tài)(即位于圖2中=0的橫軸上),這與文獻[3,19]中成功捕獲條件相符合;攔截器在取27時,未能捕獲目標,在攔截后期遠離零控攔截流形狀態(tài),原因是持續(xù)機動的目標與攔截器接近,視線距離開始減小,而目標與攔截器在此時仍未處于零控攔截流形狀態(tài)。從式(8)的第3式可得,視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面的旋轉(zhuǎn)角速度開始增大,導致視線軸劇烈旋轉(zhuǎn),目標與攔截器相對速度也變化劇烈,導致攔截器持續(xù)遠離零控攔截流形狀態(tài)。

圖5 情形1下捕獲區(qū)域曲線Fig.5 Capture area curve in case one

在仿真情形1下,成功的驗證了在捕獲區(qū)域內(nèi),攔截器能對目標進行捕獲。

312 仿真情形2

攔截器與目標的初始狀態(tài)不在本文捕獲區(qū)域內(nèi)時,當目標采用表1中的極限加速度進行機動時,攔截器初始位置(0 km,18 km,0 km),目標位置(69.9 km,18 km,69.9 km),攔截器與目標速度在視線旋轉(zhuǎn)坐標系中的速度分別為(1 500 m/s,200 m/s,-500 m/s),(-4 400 m/s,550 m/s,-500 m/s),其對應(yīng)在固定坐標系中速度約為(716.3 m/s,27.3 m/s,1 423.4 m/s),(-3 371.3 m/s,-1 203.8 m/s,-2 664.2 m/s),此時兩者的相對速度為(0, 0,0)=(-5 900,350,0)m/s,并設(shè)定目標在上的過載為1。

即對應(yīng)攔截器加速度始終小于飽和加速度時,導航比為空集,這與攔截器與目標的初始狀態(tài)不在本文捕獲區(qū)域內(nèi)假設(shè)相符合。

為了驗證本文捕獲區(qū)域的正確性,導航比的取值與仿真情形一相同,分別取27、41、55進行仿真。

表3是在仿真情形2下,目標與攔截器的終端脫靶量。從表3、圖6和圖7中能直接觀察到,導航比分別取27、41、55時,攔截器均未成功捕獲目標,原因是攔截器與目標的初始航向誤差 0過大,導致攔截器在攔截過程中對過載的需求超過了攔截器的飽和機動過載,最終導致捕獲失敗。

表3 情形2下的終端脫靶量

圖6～圖8是在仿真情形2條件下,導航比分別取2.7、4.1、5.5時,攔截器攔截目標的軌跡圖、加速度圖和相對速度在捕獲區(qū)域內(nèi)的變化曲線圖。從圖7可得,當目標取視線旋轉(zhuǎn)坐標系下的極限加速度,導航比取4.1和5.5時,兩者攔截器的加速度都始終處于飽和機動加速度狀態(tài),這也導致兩種導航比下,攔截器的運動軌跡和運動狀態(tài)完全相同,這也解釋了在圖6和圖8中,兩者的圖像完全重合問題。

圖6 情形2下的攔截軌跡Fig.6 Interception trajectory in case two

圖7 情形2下的攔截器加速度Fig.7 Interceptor acceleration in case two

圖8 情形2下捕獲區(qū)域曲線Fig.8 Captures area curve in case two

在圖8中,攔截器與目標初始狀態(tài)在捕獲區(qū)域外,最終都未能夠進入零控攔截流形狀態(tài),捕獲失敗,原因與仿真情形1中導航比為2.7時相同。

在仿真情形2下,成功的驗證了在捕獲區(qū)域外,攔截器不能對目標進行捕獲。

3.1.3 仿真情形3

針對低速目標特性,在表1的基礎(chǔ)上,修改捕獲區(qū)域的兩個影響因素的參數(shù)如表4。在表4條件下,低速目標采用極限加速度進行機動的捕獲區(qū)域如圖11所示。仿真情形3是在如圖11所示的捕獲區(qū)域上邊界內(nèi),來對捕獲區(qū)域的有效性進行驗證。

表4 修改捕獲區(qū)域的影響因素

攔截器與目標的初始狀態(tài)在本文捕獲區(qū)域內(nèi)時,當目標采用表1中的極限加速度進行機動時,攔截器初始位置(0 km,0 km,0 km),目標位置(0 km,0 km,30 km),攔截器與目標在速度視線旋轉(zhuǎn)坐標系中的速度分別為(1 423.4 m/s,710.4 m/s,95.8 m/s),(-500 m/s,920 m/s,95.8 m/s),其對應(yīng)在固定坐標系中速度約為(716.3 m/s,27.3 m/s,1 423.4 m/s),(924.9 m/s,7.2 m/s,-500.0 m/s),此時初始攔截器與目標初始相對速度為(0, 0,0)=(-1 923.4,209.6,0)m/s,并設(shè)定目標在上的過載為1。

即導航比取值范圍為3704 6≤≤4064 3。

導航比分別取27、39、51時的仿真結(jié)果分別如表5、圖9～圖11所示。表5是在各上述導航比下,目標與攔截器的終端脫靶量。

表5 情形3下的終端脫靶量

圖9 情形3下的攔截軌跡Fig.9 Interception trajectory in case three

圖10 情形3下的攔截器加速度Fig.10 Interceptor acceleration in case three

圖11 情形3下捕獲區(qū)域曲線Fig.11 Capture area curve in case three

從表5、圖9和圖10可得,取27時,攔截器未成功捕獲目標,原因是攔截器在攔截后期過載受限,未能成功攔截;取3.9、5.1時,攔截器成功捕獲目標,雖然后者在攔截前期過載達到飽和,但后期仍處于飽和過載以內(nèi),仍能夠成功捕獲目標。

對比圖11與圖5可得,在捕獲區(qū)域內(nèi)攔截低速目標和高速目標,速度變化趨勢相似,即在選取合適的導航比時,速度狀態(tài)總能趨近于零控攔截流形。再根據(jù)表1和表4可得,攔截低速目標和高速目標最大的差異在于容許碰撞速度的不同,其他條件不變時,攔截目標的視線接近速度越大,其容許碰撞速度相對越大。而由攔截器捕獲目標初始距離和容許碰撞速度引起的捕獲區(qū)域的變化也由第2節(jié)給出。

對比情形1和情形3可得,攔截低速目標情形與攔截高速目標在捕獲區(qū)域內(nèi)情形相似,從而證明了本文所推導的有限過載的三維現(xiàn)實真比例導引的捕獲區(qū)域,對不同類型目標的適用性。

3.2 分析捕獲區(qū)域影響因素

由式(44)和式(45)可知,該捕獲區(qū)域的影響因素共8個參量,除去作為變量的初始視線接近速度、初始航向誤差,其余6個參量均可在攔截前進行確定或者估計。下面將分析攔截器捕獲目標初始距離、容許碰撞速度和容許脫靶量,攔截器飽和機動加速度,目標加速度在、方向上的機動加速度上限對于捕獲區(qū)域面積的影響。

各影響因素對于捕獲區(qū)域的影響將采用控制變量法分析。以表1中的數(shù)據(jù)為原始對比數(shù)據(jù),以表6中的各行數(shù)據(jù)作為控制變量,來分別描述6個影響因素變化對于捕獲區(qū)域面積的影響。

表6 單一變量變化時的取值

攔截器捕獲目標初始距離分別取80 km、100 km和120 km時,捕獲區(qū)域變化如圖12所示,該距離的越大,攔截器與目標碰撞所需要的時間越長,由于目標在視線方向上存在朝向攔截器的加速度,造成捕獲區(qū)域整體向左移動,但對視線接近速度位于捕獲區(qū)域內(nèi)的攔截器,其在捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差范圍增大,即攔截器能在更大初始航向誤差范圍內(nèi)對目標成功捕獲。容許碰撞速度由很多因素決定,是一個相對參考值,一般認為碰撞速度超過了容許碰撞速度,攔截器碰撞目標后,就能夠摧毀目標。從圖13中可以得到,容許碰撞速度主要決定了捕獲區(qū)域的右邊界,即容許碰撞速度越小,對捕獲成功時視線接近速度的要求越小。從捕獲的角度出發(fā),容許碰撞速度在滿足成功摧毀目標的前提下,被設(shè)計的越小越好。

圖12 攔截器捕獲目標初始距離變化時捕獲區(qū)域Fig.12 Interceptor captures the region when initial distance of target changes

圖13 容許碰撞速度變化時捕獲區(qū)域Fig.13 Capture region when allowable collision velocity variation

容許脫靶量由攔截器的殺傷半徑?jīng)Q定,由于該值相對于攔截器捕獲目標初始距離過小,對于捕獲區(qū)域的影響可忽略,所以在圖14中容許脫靶量為0.10 m、0.20 m被0.25 m的圖像所覆蓋,該量對于捕獲區(qū)域面積的影響可忽略不計,但在實際的攔截過程中,該值越小,對攔截器的命中精度要求越高。

圖14 容許脫靶量變化時捕獲區(qū)域Fig.14 Capture region when allowable miss distance variation

從圖15可得,攔截器飽和機動加速度對捕獲區(qū)域的右邊界沒影響,只影響捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差的范圍。從攔截器的角度出發(fā),對于相同初始視線接近速度,攔截器飽和機動加速度越大,捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差取值的范圍越大,越有利于成功捕獲目標。

圖15 攔截器飽和機動加速度變化時捕獲區(qū)域Fig.15 Capture region when interceptor saturation maneuvering acceleration changes

目標在上的加速度上限影響了捕獲區(qū)域的右邊界和捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差,由圖16可得,該加速度越大,目標進行的機動對于視線接近速度影響越大,導致在捕獲區(qū)域內(nèi)初始視線接近速度的取值范圍越小,捕獲區(qū)域左移,進一步導致捕獲區(qū)域的面積越小,對目標的捕獲難度越大。

圖16 目標在er上的加速度上限變化時捕獲區(qū)域Fig.16 Capture region when the upper limit of the target’s acceleration on the er varies

從圖17可得,目標在上的加速度上限對捕獲區(qū)域的右邊界沒影響,只影響捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差的范圍。從捕獲的角度出發(fā),該值越大,捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差的范圍越小,越不利于成功捕獲目標。對比圖15可知,其影響與攔截器飽和機動加速度的影響相反。

從本小節(jié)分析可得,在攔截器與目標機動過載受限,在初始視線接近速度相同時,從攔截角度出發(fā),攔截器捕獲目標初始距離越大、飽和機動加速度越大、容許碰撞速度越小,攔截器越有利于成功捕獲目標;從目標角度出發(fā),目標的機動加速度越大、被攔截器捕獲的初始距離越小、越不易被破壞越有利于突防。

圖17 目標在eθ上的加速度上限變化時捕獲區(qū)域Fig.17 Capture region when the upper limit of the target’s acceleration on the eθ varies

4 結(jié) 論

本文基于視線旋轉(zhuǎn)坐標系的相對運動模型,利用Lyapunov第二方法證明了視線旋轉(zhuǎn)角速度Lyapunov穩(wěn)定,然后通過反證法,得到了有限過載的三維RTPN攔截有限三維機動目標的捕獲區(qū)域,為中末制導交接班時刻的條件約束設(shè)計提供了理論支撐。

本文提出的捕獲區(qū)域是以攔截器與目標在視線旋轉(zhuǎn)坐標系上的相對速度差作為坐標系,在二維平面內(nèi),本文結(jié)論在目標機動加速度任意且有界、方向垂直于彈目視線的假設(shè)條件下,與以前的結(jié)論一致,但本文結(jié)論適用于三維攔截,對于目標的加速度的形式?jīng)]有特定要求,僅需預知目標三維機動加速度上界,若存在合適的導航比,就能保證在攔截器的飽和機動過載范圍內(nèi)成功捕獲目標,能夠適用于現(xiàn)實的攔截場景。對于捕獲區(qū)域影響因素的分析,對攔截器的性能的設(shè)計以及目標的攔截和突防提供理論指導,具有一定的工程指導意義。