郭昱均 黃 可 金鵬飛 范欽珊,? 李棟棟,

?(南京航空航天大學(xué)航空學(xué)院，南京 210016)?(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084)

在材料力學(xué)中，將主要承受彎曲作用的力學(xué)模型稱(chēng)為梁。對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)，首先需繪制其內(nèi)力圖以確定危險(xiǎn)截面。如果梁上有集中力作用，則在集中力作用點(diǎn)處兩側(cè)截面上的剪力會(huì)發(fā)生突變，突變的數(shù)值就等于集中力(包括外力和約束力) 的大小[1]。然而目前大多數(shù)材料力學(xué)教材沒(méi)有明確給出集中力作用點(diǎn)處截面剪力的值。按照材料力學(xué)中的理論，在剪力圖中由于忽略了集中力的作用長(zhǎng)度，所以作用點(diǎn)處為一個(gè)奇點(diǎn)，即載荷集度趨向于無(wú)窮大，這與實(shí)際是不相符的。

因此，為了解決該問(wèn)題，本文先以任意位置受一個(gè)集中力作用的簡(jiǎn)支梁為例。根據(jù)實(shí)際情況，將作用于一點(diǎn)的集中力等效[2]為作用于一微段的對(duì)稱(chēng)分布載荷并進(jìn)行簡(jiǎn)單分析和計(jì)算，從而得出了在梁受集中力作用點(diǎn)處截面剪力是連續(xù)變化這一結(jié)論，進(jìn)一步確定該截面上的剪力，之后將所得結(jié)論推廣至一般受力情形的梁。

1 由材料力學(xué)中剪力和剪力圖而提出的問(wèn)題

本文從任意位置受一個(gè)集中力作用的簡(jiǎn)支梁開(kāi)始研究。如圖1 所示，l1和l2分別為集中力F的作用點(diǎn)到A和D兩端的距離，F(xiàn)RA和FRD分別為A和D兩端支反力的大小?；谠摾硐牖Ｐ停治隽荷鲜芗辛ψ饔命c(diǎn)處截面上的剪力，梁的剪力圖如圖2 所示?？梢钥闯?，在集中力作用點(diǎn)左側(cè)剪力為-FRA，右側(cè)剪力為FRD。較真的問(wèn)題是：集中力作用點(diǎn)處剪力為多少？

圖1 受集中力作用的簡(jiǎn)支梁

圖2 受集中力作用的簡(jiǎn)支梁的剪力圖

2 載荷模型簡(jiǎn)化引起的問(wèn)題

將實(shí)際問(wèn)題抽象成力學(xué)模型時(shí)，集中力是考慮到相對(duì)尺寸大小并方便求解，經(jīng)合理簡(jiǎn)化后只作用在一點(diǎn)處的力。但在實(shí)際中，力是不可能作用于某一點(diǎn)，而是作用于某一微段。因此，以下將集中力等效為作用在某一微段上的均布載荷、對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)分布載荷，進(jìn)一步推廣至任意對(duì)稱(chēng)分布載荷。

2.1 基于均布載荷的等效簡(jiǎn)化

考慮到集中力作用在梁上的某一微段，可用均布載荷對(duì)其進(jìn)行力系等效。如圖3 所示，將集中力等效為一個(gè)關(guān)于其作用點(diǎn)處截面對(duì)稱(chēng)的均布載荷。均布載荷的長(zhǎng)度為l，故載荷集度q=F/l。記均布載荷左、右端點(diǎn)處截面剪力分別為FQB和FQC，集中力作用點(diǎn)處截面剪力為FQ。梁的剪力圖如圖4 所示，可以看出在集中力作用點(diǎn)處剪力是連續(xù)的，其代數(shù)值為

圖3 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁

圖4 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁的剪力圖

將集中力等效為均布載荷后，集中力作用點(diǎn)處截面上的剪力等于均布載荷作用段兩側(cè)截面剪力的平均值。

2.2 基于對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)分布載荷的等效簡(jiǎn)化

進(jìn)一步地，以對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)分布載荷對(duì)集中力進(jìn)行力系等效。如圖5 所示，將集中力等效為一個(gè)關(guān)于其作用點(diǎn)處截面對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)分布載荷，載荷作用長(zhǎng)度為l，故在分布載荷作用區(qū)間內(nèi)

圖5 受對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)分布載荷的簡(jiǎn)支梁

將式(2) 代入式(3)，可得FQ=FQB+F/2，而FQC=FQB+F，同樣可以得到式(1) 所示結(jié)論。

2.3 基于任意對(duì)稱(chēng)分布載荷的等效簡(jiǎn)化

更進(jìn)一步地，將集中力等效為關(guān)于其作用點(diǎn)處截面對(duì)稱(chēng)的任意分布載荷，且考慮分布載荷有無(wú)連續(xù)性要求。

2.3.1 若對(duì)稱(chēng)分布載荷具有連續(xù)性

如圖6 所示，將集中力等效為分布載荷，載荷作用長(zhǎng)度為l，載荷集度為q(x)，與上述一樣，記分布載荷左、右端點(diǎn)處截面剪力分別為FQB和FQC，集中力處截面剪力為FQ。從式(11) 可以看出：將集中力等效為關(guān)于其作用點(diǎn)處截面對(duì)稱(chēng)的任意連續(xù)分布載荷時(shí)，集中力作用點(diǎn)處截面上的剪力也等于分布載荷作用段兩側(cè)截面剪力的平均值。

圖6 受任意連續(xù)對(duì)稱(chēng)分布載荷的簡(jiǎn)支梁

2.3.2 若對(duì)稱(chēng)分布載荷不具有連續(xù)性

如圖7 所示，對(duì)稱(chēng)分布載荷在作用區(qū)間內(nèi)不連續(xù)，但其載荷集度還是可以表示成q(x)。故此時(shí)，只需將式(6)右端改為分段積分，且按同樣的推導(dǎo)也可以得到相同的結(jié)論。

圖7 受任意不連續(xù)對(duì)稱(chēng)分布載荷的簡(jiǎn)支梁

由以上討論可知，用對(duì)稱(chēng)分布載荷對(duì)集中力進(jìn)行力系等效時(shí)，對(duì)稱(chēng)分布載荷是否在區(qū)間內(nèi)連續(xù)對(duì)于得到最終結(jié)論沒(méi)有影響。

2.4 一般受力情況的梁

前面都只討論了簡(jiǎn)支梁受一個(gè)集中力的情況，那么，對(duì)于受一般約束以及多個(gè)載荷的梁，是否還能得到相同的結(jié)論呢？

如圖8 所示，將梁的約束去掉，以約束力代替，在圖示力系作用下，梁整體處于平衡狀態(tài)。實(shí)際上，對(duì)于作用在梁上的任意一個(gè)集中力FPi，都可用上述方法，將此集中力等效為關(guān)于其作用點(diǎn)處截面對(duì)稱(chēng)的分布載荷qi(x)，記此分布載荷左、右端點(diǎn)處截面剪力分別為FQi1和FQi2，集中力作用點(diǎn)處截面剪力為FQi?？紤]到等效分布載荷qi(x) 與外加分布載荷q0(x) 的共同作用，將式(4) 改為

圖8 受任意約束和多個(gè)載荷的梁

其中，xi和di分別為集中力FPi作用點(diǎn)處的橫坐標(biāo)和等效分布載荷qi(x) 的作用長(zhǎng)度。

對(duì)于集中力FP2，其作用點(diǎn)處沒(méi)有外加分布載荷作用，因而FP2作用點(diǎn)處截面上的剪力等于等效分布載荷作用段兩側(cè)截面剪力的平均值；但是對(duì)于集中力FP3，其作用點(diǎn)處有外加分布載荷作用，因而FP3作用點(diǎn)處截面上的剪力不一定等于等效分布載荷作用段兩側(cè)截面剪力的平均值，還與外加分布載荷q0(x) 有關(guān)。

回顧上文，對(duì)圖2 中在集中力作用點(diǎn)處的奇點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行分析。將集中力等效為均布載荷時(shí)，即

由式(4)知，剪力圖中均布載荷所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)的斜率為q(x)。因此，當(dāng)l →0 時(shí)，q(x)→∞，即剪力圖在集中力作用點(diǎn)處截面會(huì)有突變，說(shuō)明了將集中力視為只作用在一點(diǎn)處的力是剪力圖中的奇點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的主要原因。

3 結(jié)論

本文采用對(duì)稱(chēng)分布載荷進(jìn)行力系等效，將集中力作用點(diǎn)處沒(méi)有外加分布載荷作用時(shí)截面剪力情況求出：集中力作用點(diǎn)處截面上的剪力是連續(xù)變化的，且等于分布載荷作用段兩側(cè)截面剪力的平均值，對(duì)材料力學(xué)教材中沒(méi)有詳實(shí)說(shuō)明的問(wèn)題進(jìn)行了一定的補(bǔ)充。對(duì)于集中力偶作用點(diǎn)處截面彎矩也可通過(guò)類(lèi)似的方法得出結(jié)論。本文僅通過(guò)對(duì)稱(chēng)力系等效的數(shù)學(xué)推導(dǎo)對(duì)此問(wèn)題加以說(shuō)明，而對(duì)于非對(duì)稱(chēng)力系等效的情況，一般無(wú)法得到本文中式(1) 所示的簡(jiǎn)單結(jié)論，因?yàn)槿粝氪_定集中力作用的具體位置，需要進(jìn)行復(fù)雜的積分運(yùn)算及數(shù)值求解，且其剪力圖是非線(xiàn)性的，分析計(jì)算較為困難。故若將集中力等效為非對(duì)稱(chēng)力系時(shí)，具體問(wèn)題需具體分析。