何 雪，胡志忠

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京 211106）

1 引言

分數(shù)階微積分也被稱作非整數(shù)階微積分.由于分數(shù)階微積分的階數(shù)不再局限于整數(shù)可為任意的復(fù)數(shù)從而可以實現(xiàn)連續(xù)階微積分，因此具有更廣泛的通用性，是經(jīng)典的整數(shù)階微積分理論的擴展，換句話說，整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分運算只是分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的特例.

分數(shù)階微積分作為一種數(shù)學(xué)理論，幾個世紀之前就已經(jīng)由萊布尼茲提出了，但近年來才在實際應(yīng)用中被使用.如今，將分數(shù)階微積分的理論概念引入各個學(xué)科方面的研究工作日趨活躍，分數(shù)階微積分的應(yīng)用范圍已穩(wěn)步擴大到工程和科學(xué)的不同領(lǐng)域，例如電路理論和設(shè)計［1］、控制理論［2］、電磁學(xué)［3］和機器人學(xué)［4］等.下面給出Riemann-Liouville 分數(shù)階微分定義［5～7］.

其中，m為正整數(shù)，α為實數(shù)，且m-1 ≤α＜m，Γ(·)為Gamma 函數(shù).在零初始條件下，式（1）的拉普拉斯變換為

因此，可以定義一種阻抗與sα成比例的通用分數(shù)器件［8］，傳統(tǒng)電路元件如電容、電阻和電感分別是該器件階數(shù)α為-1、0 和1 時的特殊情況.傳統(tǒng)電容器兩端的電壓表達式定義為流過該電容器的電流的整數(shù)次積分，可以使用非整數(shù)階積分將電容擴展到分數(shù)域并進行拉普拉斯變換，在零初始條件下，分數(shù)階電容的阻抗為，分數(shù)階電容的單位為F/s1-α，簡單起見，下文中統(tǒng)一將分數(shù)階電容單位表示為F.在電路中使用分數(shù)階元件可以將電路從整數(shù)階擴展到更一般的分數(shù)階，分數(shù)階電容器所提供的自由度提高了設(shè)計靈活性.盡管目前市場上還沒有商用的分數(shù)階電容器出售，但分數(shù)階電容的制造已處于研究階段［9～11］，相信不久的將來會有商用分數(shù)階電容的出現(xiàn).在本文中，使用Foster Ⅰ型RC串并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)模擬分數(shù)階電容.

在傳統(tǒng)的模擬信號處理領(lǐng)域，連續(xù)時間濾波器可以被歸類為一階、二階或n階電路，其中n是整數(shù).因此，這些整數(shù)階濾波器的阻帶衰減特性僅可以相對于n逐步變化.例如，一階和二階低通濾波器只能分別產(chǎn)生-20 dB/十倍頻和-40 dB/十倍頻的滾降.如果將分數(shù)階電容引入濾波電路中，則可以克服傳統(tǒng)濾波器響應(yīng)中的這種限制.例如，一個1+α（0 ＜α＜1）階低通濾波器的阻帶衰減為-20(1+α)dB/十倍頻，也就是說，其滾降可以基于α的值介于-20 dB/十倍頻和-40 dB/十倍頻之間.這種濾波器被稱為分數(shù)階濾波器，它可以靈活地調(diào)整阻帶衰減，也就意味著可以對過渡帶的帶寬進行靈活調(diào)整.此外，分數(shù)階濾波器的指標將與分數(shù)階電容的階數(shù)α相關(guān)，增加了一個自由度.分數(shù)階濾波器相對于整數(shù)階濾波器擁有更大的設(shè)計自由度，體現(xiàn)在兩個方面：一個方面是分數(shù)階濾波器傳遞函數(shù)中拉普拉斯算子的指數(shù)可以為分數(shù)而不僅僅是整數(shù)；另一個方面是在電路實現(xiàn)時，分數(shù)階電容的阻抗為1/sαc，相對于整數(shù)階電容的阻抗1/sc多了一個關(guān)于α的設(shè)計自由度.

分數(shù)階濾波器的一個優(yōu)勢應(yīng)用場合是亞赫茲（180 μHz～241 mHz）濾波，而亞赫茲濾波在生物醫(yī)學(xué)、信號處理、傳感器［12］等領(lǐng)域有多種應(yīng)用.例如生物醫(yī)學(xué)信號通常在毫赫茲到幾百赫茲的范圍內(nèi)，因此，需要在處理之前先使用亞赫茲濾波器來調(diào)理信號.參考文獻［13］指出，用整數(shù)階濾波器實現(xiàn)亞赫茲濾波，需要很大的時間常數(shù)τ才能實現(xiàn)較小的-3 dB 截止頻率；而若用分數(shù)階濾波器來實現(xiàn)亞赫茲濾波，可以基于分數(shù)階濾波器的固有特性，僅通過更改階數(shù)α的值就可以得到亞赫茲范圍的超低截止頻率.這將為低頻應(yīng)用領(lǐng)域的電路設(shè)計人員提供額外的自由度.

目前為止，國內(nèi)外學(xué)者采用了多種方法來設(shè)計分數(shù)階濾波器，這些方法既有優(yōu)化方法也有非優(yōu)化方法［14，15］，其中優(yōu)化方法大致可以分為三類.第一類：使用一些優(yōu)化技術(shù)確定分數(shù)階濾波器對應(yīng)的分數(shù)階傳遞函數(shù)中的系數(shù)進而得到符合應(yīng)用要求的分數(shù)階模擬濾波器.例如Freeborn 等人［16］使用非線性最小二乘法對1+α階的分數(shù)階低通濾波器傳遞函數(shù)進行系數(shù)優(yōu)化，使其逼近二階Chebyshev 低通濾波器的通帶紋波特性，從而確定給定階數(shù)下的最優(yōu)系數(shù)，完成分數(shù)階濾波器的設(shè)計；Khanna 和Upadhyay［17］利用模擬退火算法（Simulated Annealing）易于實現(xiàn)且能獲得組合問題最優(yōu)解的特點，將其用于設(shè)計分數(shù)階Butterworth 低通濾波器.第二類：先對分數(shù)階濾波器的傳遞函數(shù)進行處理，把分數(shù)階濾波器傳遞函數(shù)中的sα用其近似的有理分式替換［2］以得到整數(shù)階傳遞函數(shù)，再使用優(yōu)化的方法確定該整數(shù)階傳遞函數(shù)的系數(shù)，最終用整數(shù)階電路實現(xiàn)分數(shù)階濾波器性能.例如Freeborn 等人［18］把1+α階低通濾波器傳遞函數(shù)中的sα替換為近似的二階有理分式后再來逼近一階Butterworth 低通濾波器的通帶最大平坦特性，得到該整數(shù)階傳遞函數(shù)最優(yōu)系數(shù)值完成設(shè)計.第三類：使用整數(shù)階傳遞函數(shù)直接逼近分數(shù)階濾波器傳遞函數(shù)的幅頻響應(yīng)以實現(xiàn)分數(shù)階濾波器的性能.例如Mahata 等人［19］用三階傳遞函數(shù)近似1+α階理想低通Butterworth 濾波器，利用碰撞體優(yōu)化（Colliding Bodies Optimisation）算法得到整數(shù)階傳遞函數(shù)中的各個系數(shù)從而得到具有分數(shù)階Butterworth 低通濾波器特性的整數(shù)階電路.

迄今為止，大部分文獻是關(guān)于分數(shù)階Butterworth和Chebyshev 等特殊類型的濾波器的優(yōu)化設(shè)計方法理論研究［14～19］，參考文獻［20］中雖給出了過渡帶寬、阻帶衰減、通帶最大可允許峰值以及-3 dB 截止頻率四個設(shè)計指標來設(shè)計分數(shù)階濾波器的方法，然而對于滿足工程上常用的四個指標要求（即通帶偏差δp、阻帶偏差δs、通帶邊緣頻率ωp以及阻帶邊緣頻率ωs）的分數(shù)階低通濾波器設(shè)計方法和設(shè)計流程卻未見報道.本文針對工程應(yīng)用中常用的這四個指標要求給出了滿足指標要求的分數(shù)階低通濾波器設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，并使用Matlab優(yōu)化工具箱中兩個多目標優(yōu)化函數(shù)Fminimax 和Fgoalattain分別對1+α階和2β階傳遞函數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，總結(jié)使用這兩種方法所優(yōu)化設(shè)計的濾波器各自的特點.并在給定設(shè)計指標下，通過與整數(shù)階濾波器的比較分析體現(xiàn)分數(shù)階濾波器的優(yōu)勢.繼而給出實例，設(shè)計出符合給定指標要求的分數(shù)階低通濾波器，驗證所提出的設(shè)計方法的可行性.

2 分數(shù)階低通濾波器傳遞函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計

2.1 分數(shù)階低通濾波器設(shè)計指標

眾所周知，理想的低通濾波器是物理不可實現(xiàn)的，然而，如圖1 所示，可以在偏離其理想性能的一定可容忍范圍內(nèi)進行濾波器的設(shè)計.通過控制四個設(shè)計指標以獲得一定的濾波器響應(yīng)，這四個設(shè)計指標δp，δs，ωp和ωs分別表示通帶偏差、阻帶偏差、通帶邊緣頻率和阻帶邊緣頻率.

圖1 低通濾波器的設(shè)計式樣（線性表示）

和整數(shù)階一樣，分數(shù)階高通和帶通濾波器等不同類型的濾波器可以直接從分數(shù)階低通濾波器轉(zhuǎn)換得到，因此本文只討論分數(shù)階低通濾波器的優(yōu)化設(shè)計.

2.2 優(yōu)化設(shè)計

2.2.1 建立數(shù)學(xué)模型

如圖1 所示，對于滿足給定指標要求的低通濾波器，其幅頻響應(yīng)在通帶邊緣頻率ωp處滿足

在阻帶邊緣頻率ωs處滿足

在ωmax(0 ≤ωmax≤ωp)處有

將式（3）中的“=”換為“≥”，將式（4）、式（5）中的“=”換為“≤”并保持式（6）等式不變，其幅頻響應(yīng)曲線仍然是滿足指標要求的.下面研究兩種不同傳遞函數(shù)的低通濾波器的參數(shù)優(yōu)化.

式（7）所示為一個1+α階低通濾波器的傳遞函數(shù)：

其中，a，b，c和α都是待定的參數(shù).滿足給定指標要求的低通濾波器的幅頻響應(yīng)在ωp，ωs和ωmax處滿足式（3）～式（6），定義以下四個函數(shù)：

由此可得到相應(yīng)的四個方程，顯然方程中存在五個未知量，若直接解方程組可能會有無窮多解，因此本文采用優(yōu)化的方法求解待定參數(shù).本文使用Matlab 優(yōu)化工具箱中的一種常見的用于求解非線性方程組的多目標優(yōu)化函數(shù)Fminimax 在給定指標要求的條件下對上述問題進行優(yōu)化求解，可以獲得1+α 階低通濾波器傳遞函數(shù)的參數(shù)最優(yōu)解.

使用Fminimax優(yōu)化函數(shù)時，其目標函數(shù)為

其中|f1-1+δp|，|f2-δs|和|f3-1|對應(yīng)式（3）～式（5）這3 個目標；|f4|=0 為對應(yīng)式（6）的約束條件，保證幅頻響應(yīng)曲線在ωmax處有極大值.此外，1-δp≤≤1約束條件保證了幅頻響應(yīng)曲線在零頻率處的值介于1-δp和1 之間.未知量上下限設(shè)置為a，b，c∈[0.01，4]，α∈[0，2]，ωmax∈[0，ωp].

如前所述，滿足指標要求的幅頻響應(yīng)曲線在ωp，ωs和ωmax處亦可滿足不等式.此時，本文使用Matlab 優(yōu)化工具箱中的Fgoalattain 優(yōu)化函數(shù)對式（7）中的參數(shù)進行優(yōu)化求解.設(shè)置goal=［δp-1，δs，1］，wi=|goali|，其目標函數(shù)為

第一個優(yōu)化目標中的f1前加負號保證-goal1=1-δp，第二和第三個優(yōu)化目標保證fi≤goali（i=2，3）.約束條件和未知量上下限設(shè)置與Fminimax優(yōu)化函數(shù)的設(shè)置一樣.

如式（13）所示，2β階低通濾波器的傳遞函數(shù)為

其中，k1，k2，k3和β都是待定的參數(shù).類似于對1+α階低通濾波器傳遞函數(shù)定義的四個函數(shù)，式（14）～式（16）是為2β階低通濾波器傳遞函數(shù)定義的函數(shù).

同樣使用Fminimax 和Fgoalattain 優(yōu)化函數(shù)在給定指標要求的條件下分別對式（13）所示的傳遞函數(shù)的參數(shù)進行優(yōu)化求解，這兩種優(yōu)化函數(shù)各自所對應(yīng)的目標函數(shù)與上述優(yōu)化設(shè)計1+α階低通濾波器的目標函數(shù)一樣，只是將函數(shù)fi替換為gi（i=1，2，3，4），未知量上下限設(shè)置保持不變.

2.2.2 優(yōu)化方法比較分析

下面通過給出3組不同的指標要求，使用Fminimax和Fgoalattain 優(yōu)化函數(shù)在給定指標要求的條件下分別對1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)的參數(shù)進行優(yōu)化，得到優(yōu)化后的分數(shù)階低通濾波器傳遞函數(shù)并在Matlab 中進行仿真和分析，通過比較通帶偏差、阻帶偏差和群時延等參數(shù)，總結(jié)這兩種方法所優(yōu)化設(shè)計的濾波器各自的特點.

第一組：δp=0.21，δs=0.27，ωp=1.4rad/s，ωs=4.2 rad/s.對1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)使用兩種優(yōu)化方法后的參數(shù)值如表1所示.

表1 第一組給定指標要求下的參數(shù)值

將優(yōu)化后的參數(shù)值代入傳遞函數(shù)中，在Matlab 中畫出它們各自的幅頻響應(yīng)，如圖2 所示.可以看出，F(xiàn)goalattain 優(yōu)化的傳遞函數(shù)和Fminimax 優(yōu)化的傳遞函數(shù)通帶偏差相差不大，但Fgoalattain 優(yōu)化的傳遞函數(shù)阻帶衰減遠遠大于Fminimax 優(yōu)化的傳遞函數(shù)阻帶衰減.

圖2 第一組給定指標下的分數(shù)階傳遞函數(shù)Matlab幅頻響應(yīng)仿真

如圖3所示，雖然Fminimax和Fgoalattain分別對1+α階和2β階低通濾波器優(yōu)化的傳遞函數(shù)的群時延變化范圍都比較小，但相比使用Fgoalattain 優(yōu)化設(shè)計的濾波器群時延，使用Fminimax 優(yōu)化設(shè)計的濾波器群時延更接近一條直線.因此綜合考慮，在第一組所給出的指標要求下，若希望阻帶衰減盡可能大，可以使用Fgoalattain函數(shù)來優(yōu)化設(shè)計低通濾波器；若希望濾波器通帶盡可能平坦且通過該濾波器的信號相位失真盡可能小，可以使用Fminimax函數(shù)來優(yōu)化設(shè)計低通濾波器.

第二組：δp=0.17，δs=0.29，ωp=1.8 rad/s，ωs=3.9 rad/s.對1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)使用兩種優(yōu)化方法后的指標參數(shù)值如表2所示.

表2 第二組給定指標要求下的指標參數(shù)值

第三組：δp=0.19，δs=0.28，ωp=1.2 rad/s，ωs=4.1 rad/s.對1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)使用兩種優(yōu)化方法后的指標參數(shù)值如表3所示.

表3 第三組給定指標要求下的指標參數(shù)值

綜合上述3組不同的指標要求下的優(yōu)化設(shè)計，可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)goalattain 函數(shù)優(yōu)化設(shè)計的分數(shù)階低通濾波器阻帶衰減總是遠大于Fminimax 函數(shù)所優(yōu)化的分數(shù)階低通濾波器阻帶衰減.這是由于使用Fgoalattain 函數(shù)優(yōu)化設(shè)計符合指標要求的低通濾波器時，并不像Fminimax函數(shù)在優(yōu)化式（8）～式（10）或式（14）～式（16）時使其盡可能接近期望值，使用Fgoalattain 函數(shù)對式（8）～式（10）或式（14）～式（16）進行優(yōu)化時，在ωp處的幅頻響應(yīng)是大于等于1-δp的，在ωs處的幅頻響應(yīng)是小于等于δs的，因此優(yōu)化出的低通濾波器阻帶衰減可以比給定的δs還小，同時Fgoalattain 優(yōu)化的低通濾波器通帶不如Fminimax 所優(yōu)化的濾波器通帶平坦.總而言之，在給定指標要求的條件下，使用Fminimax和Fgoalattain優(yōu)化函數(shù)分別對1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)進行優(yōu)化，都可以得到符合指標要求的低通濾波器，它們的群時延也近似一個常數(shù).可以根據(jù)實際應(yīng)用需要選擇優(yōu)化方法：對濾波器通帶平坦度和信號相位失真要求較高的可以選擇Fminimax 優(yōu)化函數(shù)進行低通濾波器優(yōu)化設(shè)計；對濾波器阻帶衰減要求較高的可以選擇Fgoalattain作為低通濾波器優(yōu)化設(shè)計的手段.

在不同的設(shè)計指標要求下優(yōu)化得到的1+α階和2β階傳遞函數(shù)都可以用來實現(xiàn)符合指標要求的分數(shù)階低通濾波器.選擇Fgoalattain 函數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計時可以發(fā)現(xiàn)，使用2β階傳遞函數(shù)所優(yōu)化設(shè)計的分數(shù)階濾波器的群時延最大波動顯著的低于使用1+α階傳遞函數(shù)所優(yōu)化設(shè)計的分數(shù)階濾波器的群時延最大波動.因此，若使用Fgoalattain 函數(shù)對2β階傳遞函數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，既可以使設(shè)計得到的分數(shù)階濾波器阻帶衰減較大，又可以改善使用Fgoalattain 函數(shù)所設(shè)計的分數(shù)階濾波器信號相位失真較大的缺點.若對濾波器的信號相位失真要求較高，可以使用Fminimax 函數(shù)對1+α階傳遞函數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，既可以使設(shè)計得到的分數(shù)階濾波器信號相位失真較小，又可以得到良好的阻帶衰減特性.

在完成符合指標要求的分數(shù)階低通濾波器傳遞函數(shù)優(yōu)化設(shè)計后，需要進行穩(wěn)定性分析以驗證該濾波器是否物理可實現(xiàn)，在物理可實現(xiàn)的基礎(chǔ)上進行電路實現(xiàn)和PSPICE 仿真，最后搭建實體電路進行測試，在本文第3節(jié)會給出一個設(shè)計實例.

2.2.3 與整數(shù)階濾波器的比較分析

為了說明分數(shù)階濾波器相對于整數(shù)階濾波器的優(yōu)勢，本節(jié)通過給定的δp，δs，ωp以及ωs分別設(shè)計整數(shù)階和分數(shù)階濾波器并進行比較分析.此處，以整數(shù)階Butterworth 濾波器為例來設(shè)計整數(shù)階濾波器，利用式（17）計算Butterworth 低通濾波器的階數(shù)并四舍五入到整數(shù)階N，并將N代入式（18）～式（20）計算整數(shù)階Butterworth濾波器的截止頻率ωc從而設(shè)計出整數(shù)階Butterworth 低通濾波器.并與使用Fgoalattain 函數(shù)對2β階傳遞函數(shù)進行優(yōu)化而設(shè)計實現(xiàn)的滿足同樣指標要求的分數(shù)階濾波器進行比較分析.

下面在亞赫茲（180 μHz～241 mHz）范圍內(nèi)給出3組不同的指標要求，分別設(shè)計整數(shù)階和分數(shù)階低通濾波器.表4 所示為設(shè)計得到的分數(shù)階和整數(shù)階濾波器的相關(guān)參數(shù).

表4 分數(shù)階濾波器和整數(shù)階濾波器的參數(shù)

將表4 中的參數(shù)分別代入式（13）所示的2β階低通濾波器的傳遞函數(shù)和如式（21）所示的二階Butterworth低通濾波器的傳遞函數(shù)中.

根據(jù)所得到的分數(shù)階和整數(shù)階低通濾波器的傳遞函數(shù)，在Matlab 中進行仿真并比較通帶偏差和阻帶偏差，結(jié)果指標對比如表5所示.

表5 分數(shù)階濾波器和整數(shù)階濾波器的指標參數(shù)對比

綜合上述3組不同指標要求下的濾波器設(shè)計，可以發(fā)現(xiàn)，所設(shè)計的分數(shù)階濾波器都可以實現(xiàn)給定的指標要求.而在第三組指標下，整數(shù)階Butterworth 濾波器的通帶偏差卻大于所給的偏差值，不滿足指標要求.并且對于通帶偏差，分數(shù)階低通濾波器比整數(shù)階Butterworth低通濾波器的通帶偏差小，也就是說，分數(shù)階低通濾波器在通帶的波動更小.此外，例如在第三組指標要求下，利用式（17）計算得到的濾波器階數(shù)為1.5 階，應(yīng)用于整數(shù)階Butterworth 濾波器時只能通過取整得到其階數(shù)為2 階，而應(yīng)用于分數(shù)階濾波器時，其階數(shù)無須取整可以為分數(shù).這也是分數(shù)階濾波器相對于整數(shù)階濾波器的優(yōu)勢——分數(shù)階濾波器的設(shè)計自由度更大.

在硬件實現(xiàn)上來說，上述分數(shù)階低通濾波器和整數(shù)階Butterworth 低通濾波器都可以使用如圖4 所示的KHN（Kerwin-Huelsman-Newcomb，KHN）濾波電路實現(xiàn)，其中C1和C2都是β（0 ＜β≤1）階電容器.

圖4 KHN濾波器

當R3=R4=R5=R6時，該KHN 濾波電路的傳遞函數(shù)為

以第三組指標設(shè)計的兩種濾波器為例，根據(jù)表4的參數(shù)得到分數(shù)階低通濾波器和整數(shù)階Butterworth 低通濾波器的傳遞函數(shù)分別為

聯(lián)系式（22）～式（24）確定圖4 電路中的電路元件值，如表6 所示.對于整數(shù)階Butterworth 低通濾波器而言，ωc2=0.0036 ＜0.01.因此在電路實現(xiàn)時，整數(shù)階濾波電路的C1C2R1R2大于分數(shù)階的.

表6 電路元件取值

應(yīng)用于更低頻率濾波，需要的截止頻率就更小，若為當前截止頻率的1/100 時，根據(jù)ωnew=λωold，將頻率放縮為當前的1/100（即λ=0.01），那么對于整數(shù)階Butterworth 低通濾波器而言，有(C1C2R1R2)new=即放縮后電阻電容的乘積為放縮前的10000 倍（即）；對于分數(shù)階低通濾波器而言，則有(C1C2R1R2)new=(C1C2R1R2)old*即放縮后電阻電容的乘積為放縮前的1584倍（即10.011.6）.放縮后電路元件具體取值如表7所示.

表7 放縮后電路元件取值

由此可知，若放縮到更低頻時（即λ取更小的值），由于相比分數(shù)階低通濾波器，整數(shù)階Butterworth 低通濾波器在電路實現(xiàn)時需要較大的電阻才能實現(xiàn)較小的截止頻率.而在實際電路中，較大的電阻會產(chǎn)生較大的熱噪聲，且運放的偏置電流流過大電阻會產(chǎn)生不可忽略的誤差，最終影響濾波效果.此外，大電阻不利于電路的集成.因此，在極低頻濾波時，分數(shù)階濾波器相比整數(shù)階濾波器在實際電路實現(xiàn)時具有優(yōu)勢.

2.2.4 與國外研究設(shè)計方法比較分析

如前所述，滿足δp，δs，ωp和ωs這四個指標要求的分數(shù)階低通濾波器設(shè)計方法和設(shè)計流程目前未見報道.參考文獻［20］中提出了一個根據(jù)過渡帶寬ε1、阻帶衰減ε2、通帶最大可允許峰值1+ε3以及截止頻率ωc四個設(shè)計指標來設(shè)計分數(shù)階低通濾波器的方法.為了與文獻［20］中的設(shè)計方法進行比較，需要將δp，δs，ωp和ωs這四個指標轉(zhuǎn)換為文獻［20］的指標，轉(zhuǎn)換過程中的難點是關(guān)于截止頻率ωc沒有直接求解的公式，故本文借用式（17）～式（20）來估計文獻［20］中的截止頻率，再由截止頻率ωc和阻帶邊緣頻率ωs得到指標ε1的值.由于本文關(guān)于通帶最大可允許峰值要求為1，而文獻［20］中的通帶最大可允許峰值為1+ε3，需要進行歸一化處理并將直流處作為通帶最大波動處，再由δp得到指標ε3的值.最后，由ε3和δs可以確定指標ε2的值.

在將本文所給出的四個設(shè)計指標轉(zhuǎn)換為適用于文獻［20］的指標后，就可以用文獻［20］中提出的優(yōu)化設(shè)計方法設(shè)計符合指標要求的分數(shù)階濾波器，并與用本文的設(shè)計方法所設(shè)計的分數(shù)階濾波器進行比較分析.由于文獻［20］是對2β階傳遞函數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，因此為保證對比的嚴謹性，本文方法采用Fgoalattain函數(shù)也對2β階傳遞函數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計.對2.2.2 節(jié)中的三組濾波器進行設(shè)計的結(jié)果指標對比如表8所示.

表8 不同方法所設(shè)計的三組不同分數(shù)階濾波器的指標參數(shù)對比

由表8可以發(fā)現(xiàn)，利用文獻［20］中提出的優(yōu)化設(shè)計方法所設(shè)計的分數(shù)階濾波器并不能滿足所有指標要求，其阻帶偏差總是比要求的偏差值大，通帶偏差也常常達不到指標要求.總而言之，文獻［20］中提出的優(yōu)化設(shè)計方法所設(shè)計的分數(shù)階濾波器除了信號相位失真較小外，其通帶和阻帶偏差往往大于給出的偏差指標，不能完全滿足設(shè)計指標要求，而本文所提優(yōu)化設(shè)計方法則能得到滿足給定指標要求的分數(shù)階低通濾波器.并且對于給出的δp，δs，ωp和ωs這四個工程上常用的濾波器設(shè)計指標來說，使用文獻［20］中的優(yōu)化設(shè)計方法首先需要進行指標轉(zhuǎn)換，使用起來較為煩瑣，而本文所提的優(yōu)化設(shè)計方法可以直接使用，更為簡單.

3 設(shè)計實例

下面給出一個完整的設(shè)計流程.首先，設(shè)計指標要求為δp=0.15，δs=0.3，ωp=2 rad/s，ωs=4 rad/s.使用Fgoalattain 優(yōu)化函數(shù)對1+α階低通濾波器傳遞函數(shù)進行優(yōu)化，優(yōu)化后的傳遞函數(shù)參數(shù)如表9所示.

表9 給定指標要求下的1+α 階低通濾波器傳遞函數(shù)優(yōu)化參數(shù)值

將優(yōu)化后的參數(shù)值代入傳遞函數(shù)中，在Matlab 中畫出其幅頻響應(yīng)，如圖5所示.

圖5 1+α 階傳遞函數(shù)Matlab幅頻響應(yīng)仿真

通過分析圖5可知，該優(yōu)化后的低通濾波器的通帶偏差為0.0128，小于指標要求的0.15，滿足指標要求；該低通濾波器在阻帶邊緣頻率處為0.2944，小于指標要求的0.3，同樣滿足設(shè)計指標.

3.1 穩(wěn)定性分析

分析分數(shù)階濾波器的穩(wěn)定性需要將其S 域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為文獻［21］中定義的W 平面.這可以將傳遞函數(shù)從分數(shù)階轉(zhuǎn)換為整數(shù)階，以便使用傳統(tǒng)的整數(shù)階分析方法進行分析.可以使用以下步驟完成此分析過程：

（1）利用s=wm和α=k/m，將分數(shù)階傳遞函數(shù)變換到W平面；

（2）為所需要的α值確定k和m值；

（3）求出已變換到W平面的傳遞函數(shù)的所有極點，如果任一極點的角度絕對值|θW|小于π/2mrad/s，那么該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；反之，若所有的|θW|＞rad/s，那么該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的.

將上述分析過程應(yīng)用于已經(jīng)優(yōu)化完成的1+α階低通濾波器傳遞函數(shù)的分母，如式（25）所示，得到W平面的特征方程：

其中，由于取α為0.94，因此選擇m=100，k=94.求解式（26）的所有根的角度絕對值的最小值為1.2684°，其大于π/2m=0.9°.確認使用表9 中的參數(shù)的濾波器是穩(wěn)定的并且可以物理實現(xiàn).

3.2 電路實現(xiàn)

該分數(shù)階傳遞函數(shù)也能使用如圖4 所示的KHN 濾波器實現(xiàn)，其中C1是一個常規(guī)的一階電容器，C2是一個阻抗為ZC2=（0 ＜α＜1）的分數(shù)階電容器.

當R3=R4=R5=R6時，該分數(shù)階KHN 濾波器的傳遞函數(shù)為

比較（27）和式（7）的系數(shù)可得出以下關(guān)系：

使用式（28）和式（29）兩個設(shè)計方程確定四個電路元件值，因此在選擇電路元件值以實現(xiàn)所需濾波器響應(yīng)時有兩個自由度供設(shè)計者自行確定兩個元件值.同時，需要頻率縮放以根據(jù)所需應(yīng)用調(diào)整濾波器的工作頻率.假定ωnew=λωold，可以根據(jù)下列等式縮放電路元件：

為了后續(xù)電路仿真和測試結(jié)果方便觀察，使用式（30）～式（33），將優(yōu)化好的分數(shù)階低通濾波器的通帶邊緣頻率放縮至2π×100 rad/s 時，電路中的各元件取值如表10所示.

表10 1.94階濾波電路元件取值

3.3 PSPICE仿真

盡管在實現(xiàn)分數(shù)階電容器方面已經(jīng)取得了很大的進步，但目前尚無商用的分數(shù)階電容器.可以使用整數(shù)階電路來近似實現(xiàn)分數(shù)階電容.本文利用連分式展開（Continued Fraction Expansions）來模擬實現(xiàn)分數(shù)階電容.可以使用Foster Ⅰ型RC串并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)［22］模擬0.94階1μF電容，如圖6所示，其有效頻率范圍為1.8 Hz至5.5 kHz.

圖6 0.94階1μF電容元件模擬電路

用圖6所示的0.94階1μF的電容代替圖4中的電容器C2，在有效頻率（1.8Hz～5.5kHz）范圍內(nèi)可以當作分數(shù)階電容來使用.根據(jù)表10電路元件值，調(diào)整圖4中電路的電阻電容值，得到了的幅頻響應(yīng)曲線，如圖7所示.

圖7 給定指標要求下優(yōu)化的濾波器幅頻響應(yīng)曲線

通過PSPICE 的數(shù)據(jù)測量功能可得，圖7 幅頻響應(yīng)曲線的通帶偏差為0.15，阻帶邊緣頻率處為0.29，完全符合設(shè)計指標要求.阻帶衰減速率約為39.3 dB/十倍頻，與理論值38.8 dB/十倍頻非常接近.該仿真證明，KHN 濾波電路能通過使用近似的分數(shù)階電容器來實現(xiàn)符合設(shè)計指標要求的分數(shù)階低通濾波器.

3.4 實際電路測試

本文根據(jù)圖4所示電路搭建階數(shù)為1.94、通帶邊緣頻率和阻帶邊緣頻率分別為100 Hz和200 Hz的符合設(shè)計指標要求的低通濾波器電路，所用運算放大器為通用型低功耗集成四運放LM324，實驗電路如圖8所示.

圖8 搭建的1.94階KHN濾波電路

使用Analog Discovery 2觀察圖8所示電路的幅頻響應(yīng)，響應(yīng)曲線如圖9 所示.通過對曲線的測量發(fā)現(xiàn)其通帶偏差為0.17，略大于指標要求的0.15；在阻帶邊緣頻率（200 Hz）處為0.36，略大于指標要求的0.3.該幅頻響應(yīng)曲線的阻帶衰減速率約為36.3 dB/十倍頻，比理論的阻帶衰減速率小2.5 dB/十倍頻率.這是由于電路中所用的分數(shù)階電容是由RC 串并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)模擬實現(xiàn)的，并非理想的分數(shù)階電容；且電路是基于面包板用直插式電阻電容所搭建而成，測試時電阻電容本身以及外部環(huán)境的噪聲等因素也會帶來誤差.因此本文認為所優(yōu)化設(shè)計的低通濾波器的誤差是在可接受范圍內(nèi)的，可以驗證本文所提出的對于給定指標要求下的優(yōu)化設(shè)計方法的有效性.

圖9 1.94階低通濾波器幅頻響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

本文提出了兩種對于滿足給定指標要求的分數(shù)階低通濾波器的優(yōu)化設(shè)計方法并比較分析了使用Fminimax和Fgoalattain這兩種優(yōu)化函數(shù)所設(shè)計的濾波器各自的特點.使用1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)并基于代表濾波器設(shè)計要求的函數(shù)組，分別建立了數(shù)學(xué)模型用以優(yōu)化設(shè)計所需的濾波器.通帶偏差、阻帶偏差、通帶邊緣頻率以及阻帶邊緣頻率都可以根據(jù)實際應(yīng)用進行控制以得到符合指標要求的濾波器響應(yīng).給出設(shè)計實例，應(yīng)用本文所提優(yōu)化方法進行優(yōu)化設(shè)計和電路仿真，最后搭建實體電路進行測試，測試結(jié)果驗證了本文所提方法的有效性.本文所給指標要求下優(yōu)化得到的濾波器階數(shù)都小于2 階（1＜1+α＜2，0＜2β＜2），但某些指標下優(yōu)化得到的階數(shù)可能大于2 階，在此情況下，可以使用阻抗變換器（Generalized Impedance Converter）來實現(xiàn)階數(shù)大于1的分數(shù)階電容，也可以將分數(shù)階與整數(shù)階濾波電路級聯(lián)實現(xiàn)符合指標要求的高階濾波器.具體實現(xiàn)方法將是我們下一步的研究工作.