張昆鵬， 郝淑英， 宋宇昊， 張琪昌， 馮晶晶

(1. 天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300384； 2. 機(jī)電工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心， 天津 300384；3. 天津理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300384； 4. 天津市非線性動力學(xué)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300072；5. 天津大學(xué) 力學(xué)系， 天津 300072)

1988年，美國德雷伯試驗(yàn)室研制出了世界上第一款微機(jī)械陀螺——雙框架式微機(jī)械陀螺儀[1]，由此拉開了微陀螺的設(shè)計(jì)序幕。近年來，眾多相關(guān)研究表明，微陀螺系統(tǒng)存在明顯的非線性行為，其中剛度非線性和靜電力非線性在微陀螺系統(tǒng)中最為常見。這些非線性因素將導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)明顯的頻率偏移、多穩(wěn)態(tài)解、剛度的軟硬化特征以及軟硬特性過渡[2-3]，發(fā)生分岔甚至混沌等振蕩不穩(wěn)定現(xiàn)象，對微陀螺的靈敏度、帶寬和穩(wěn)定性造成極大影響。由于微陀螺是由深反應(yīng)離子刻蝕技術(shù)(deep reactive ion etching， DRIE)加工而成的一類MEMS慣性器件[4]，與理想結(jié)構(gòu)相比，難以避免地存在著刻蝕誤差，導(dǎo)致梳齒之間往往不相互平行[5]，并且支承微梁亦會出現(xiàn)過度刻蝕現(xiàn)象[6]，嚴(yán)重影響微陀螺的檢測性能。因此，準(zhǔn)確建立其理論計(jì)算模型，深入研究加工誤差對微陀螺性能的影響規(guī)律，對提高微陀螺的整體性能顯得尤為重要。

董林璽等[7-8]分析了三種電容驅(qū)動下，梳齒電容式傳感器梳齒極板間的不平行對傳感器的可靠工作范圍及階躍加速度信號作用下對可靠工作條件的影響。結(jié)果表明，傾斜角的變化會減小可靠工作的范圍和降低傳感器能夠承受的臨界階躍加速度值。Guo等[9]在考慮了體加工過程和邊緣效應(yīng)的前提下，采用積分法和保角變換理論建立了梳狀驅(qū)動器不平行板電容的理論模型，并通過有限元仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的正確性。對帶有傾斜梳齒MEMS電容式加速度傳感器，董林璽等[10]分析了傾斜角影響自我標(biāo)定精度的原因以及提出了開環(huán)自我標(biāo)定時(shí)減小傾斜角誤差的方法。Zhong等[11]通過控制微諧振器梳齒傾斜角以升高、降低或自平衡諧振頻率，通過最大Lyapunov指數(shù)分析亦表明傾斜梳齒可以幫助增強(qiáng)微諧振器的運(yùn)動穩(wěn)定性，并避免吸合效應(yīng)的發(fā)生。郝淑英等[12]研究了梳齒間距工藝誤差對微諧振器動力學(xué)性能的影響。結(jié)果顯示，梳齒偏移對驅(qū)動方向的影響很小，但梳齒垂直方向上受到了靜電力的作用從而產(chǎn)生了微小變形；同時(shí)，梳齒偏移將使系統(tǒng)的吸合電壓降低，但對微諧振器的模態(tài)沒有任何影響。郝淑英等[13]研究了加工誤差導(dǎo)致的微梁過度刻蝕對單自由度微陀螺動態(tài)性能的影響。結(jié)果表明，微梁剛度和微陀螺固有頻率隨著刻蝕角度的增大而增大，帶寬隨過度刻蝕夾角增大而減小，靈敏度隨過度刻蝕夾角的變化而發(fā)生不規(guī)律變化。Yan等[14]對橫截面呈梯形的高寬比電容式圓盤諧振器進(jìn)行了研究，分析了由于靜電力產(chǎn)生的靜電剛度對諧振器的靜電調(diào)諧機(jī)理，得到了諧振頻率變化對傾角和直流偏壓的依賴關(guān)系，以及傾斜角對機(jī)電耦合強(qiáng)度的影響，發(fā)現(xiàn)最佳調(diào)諧電壓隨傾角的增大而增加。上述研究主要集中在由于刻蝕加工導(dǎo)致的微梁、微梳齒誤差對電容式傳感器和微諧振器等動力學(xué)性能的影響。

由于微陀螺也是應(yīng)用DRIE技術(shù)加工出來的MEMS器件，必然存在如梳齒不平行等常見的加工誤差，嚴(yán)重影響微陀螺的靜電驅(qū)動力以及靜電彈簧剛度。為了消除或控制該類加工誤差對微陀螺性能的影響，在動力學(xué)分析模型中應(yīng)考慮非理想加工情況，建立更加貼近實(shí)際的分析模型，并對其影響機(jī)理進(jìn)行研究，方能保證微陀螺設(shè)計(jì)的有效性，但目前對相關(guān)問題的研究還鮮有報(bào)道。

本文以一類雙驅(qū)動雙檢測四自由度微陀螺為研究對象，建立了包含加工誤差影響的非線性動力學(xué)分析模型，采用多尺度法對系統(tǒng)非線性動力學(xué)方程進(jìn)行攝動求解，研究了梳齒傾斜角度類的加工誤差與靜電力非線性軟特性之間相互作用的規(guī)律，以及對微陀螺固有頻率、靈敏度和帶寬的影響機(jī)理。

1 雙驅(qū)動雙檢測微陀螺工作原理

考慮一類典型的雙驅(qū)動雙檢測四自由度微機(jī)械陀螺儀[15]，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，此類微陀螺主要由驅(qū)動質(zhì)量、解耦質(zhì)量、轉(zhuǎn)換質(zhì)量、檢測質(zhì)量、彈性微梁以及梳齒電極等組成。圖1中，x方向?yàn)轵?qū)動方向，y方向?yàn)闄z測方向，Ωz為垂直于x-y平面的輸入角速度，解耦質(zhì)量mf和轉(zhuǎn)換質(zhì)量m2形成雙級解耦結(jié)構(gòu)，起到隔離驅(qū)動模塊和檢測模塊的作用。

圖1 雙驅(qū)動雙檢測微陀螺結(jié)構(gòu)示意圖

四自由度微陀螺動力學(xué)模型如圖2所示，其中驅(qū)動質(zhì)量塊m1為驅(qū)動一、轉(zhuǎn)換質(zhì)量塊m2與解耦質(zhì)量塊mf組合為驅(qū)動二、轉(zhuǎn)換質(zhì)量塊m2為檢測一、檢測質(zhì)量塊m3為檢測二。

圖2 四自由度微陀螺動力學(xué)模型

微陀螺工作時(shí)，驅(qū)動質(zhì)量m1在梳齒驅(qū)動電極的作用下沿x方向振動，解耦質(zhì)量mf由于梁k2的作用開始沿x方向振動；同時(shí)，轉(zhuǎn)換質(zhì)量m2在梁k4的作用下隨解耦質(zhì)量一起沿x方向振動。當(dāng)系統(tǒng)在x-y平面垂直方向有角速度Ωz輸入時(shí)，由于科氏效應(yīng)，x方向的振動引起y方向的諧振，轉(zhuǎn)換質(zhì)量m2與檢測質(zhì)量m3在梁k4、k5和k6的約束下沿y方向振動。檢測質(zhì)量m3在y方向的位移即為微陀螺的檢測輸出位移，其隨著角速度Ωz的增大而增大。由于結(jié)構(gòu)諧振時(shí)檢測輸出幅值與輸入角速度Ωz成正比，通過測量輸出幅值即可測得載體的輸入角速度Ωz。

考慮到此類微陀螺的工作環(huán)境為真空封裝環(huán)境，空氣阻尼相對較小，阻尼的非線性因素可以忽略，即假設(shè)系統(tǒng)中驅(qū)動和檢測方向均為線性阻尼。由圖2分別建立微陀螺系統(tǒng)驅(qū)動和檢測方向的動力學(xué)方程，如式(1)、(2)所示。

驅(qū)動方向：

(1)

檢測方向：

(2)

由于加工后的微陀螺梳齒之間通常是不完全平行的，將會產(chǎn)生如圖3和圖4的梳齒傾斜角。在具有較高寬深比的微陀螺梳齒結(jié)構(gòu)中，這種不平行梳齒結(jié)構(gòu)更加突出，對微陀螺的靜電驅(qū)動力、帶寬以及靈敏度產(chǎn)生較大影響。圖3為不平行梳齒截面的電子顯微鏡圖，圖4為傾斜梳齒截面示意圖，其中θ為由于刻蝕誤差產(chǎn)生的梳齒傾斜角。

圖3 不平行梳齒截面的電子顯微鏡圖

圖4 傾斜梳齒截面示意圖

根據(jù)圖4的梳齒傾斜角度及圖5的梳齒結(jié)構(gòu)，考慮邊緣效應(yīng)時(shí)變面積式電容的總靜電力Fd的表達(dá)式如式(3)所示

4P2VdVacosω0t

(3)

圖5 梳齒結(jié)構(gòu)示意圖

式(3)在x=0處進(jìn)行四階泰勒展開，得到：

O(x5)

(4)

其中，P1=nε0εrwh/2，P2=(nε0εr/π){1+ln[1+2πh/d+ln(1+2πh/d)]}，P3=hnε0εr，n為梳齒個數(shù)，ε0為空氣的介電常數(shù)，εr為相對介電常數(shù)，Vd為直流偏置電壓，Va為交流激勵電壓，ω0為靜電驅(qū)動頻率。

2 非線性攝動分析

靜電力非線性引起的剛度軟化特性會導(dǎo)致系統(tǒng)嚴(yán)重失穩(wěn)并對靈敏度和帶寬造成不良影響，所以分析和研究微陀螺動態(tài)性能時(shí)需要考慮驅(qū)動梳齒間存在的靜電力非線性。

將式(4)代入式(1)中，并進(jìn)行簡化得

(5)

其中，

α1=k1+k2/m1,α2=k2/m1,

α3=c1+c2/m1,α4=c2/m1,

β1=k2/m2+mf,β2=k2+k3/m2+mf,

β3=c2/m2+mf,β4=c2+c3/m2+mf，

γ1=P1/m1，γ2=P2/m1，γ3=P3/m1。

式(5)可看作含阻尼的Duffing系統(tǒng)在簡諧激勵下的受迫振動。

由不產(chǎn)生永年項(xiàng)的可解性條件，可得到振幅和相位的平均方程

(6)

其中，φ=θ2-θ1，

為同時(shí)得到驅(qū)動靜電力非線性條件下的檢測輸出響應(yīng)，需對檢測方向動力學(xué)方程進(jìn)行求解。驅(qū)動二的位移x2的近似解為a2cos(ω0t-θ2)，因此科氏力可表示為2m2Ωza2ω0sin(ω0t-θ2)，令fc為科氏力的幅值，則fc=2m2Ωza2ω0，顯然科氏力的幅值與驅(qū)動一的激勵頻率和驅(qū)動二的振幅有關(guān)。為了確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，采用復(fù)指數(shù)法進(jìn)行求解，式(7)中b1,b2即為檢測方向的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅。

3 梳齒傾斜角對微陀螺動態(tài)性能的影響

本節(jié)將具體分析梳齒傾斜角度θ對微陀螺動態(tài)性能的影響。微陀螺各物理參數(shù)的取值如表1所示。

表1 微陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)值

(7)

3.1 線性條件下的動態(tài)響應(yīng)

圖6為Vd=40 V,Va=20 V且激勵頻率等于驅(qū)動一固有頻率時(shí)，梳齒間距與驅(qū)動一響應(yīng)幅值的關(guān)系曲線。由圖6可知，當(dāng)激勵頻率等于驅(qū)動一固有頻率時(shí)，隨著梳齒間距g0的增大，驅(qū)動一的振幅迅速升高，到達(dá)峰值后略有下降，之后逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即系統(tǒng)的振幅不再受梳齒間距的影響。本文將驅(qū)動一達(dá)到最大振幅時(shí)所對應(yīng)的梳齒間距值定義為臨界間距。當(dāng)g0小于臨界間距時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)靜電力軟化特性，一階固有頻率向左漂移，導(dǎo)致系統(tǒng)在原設(shè)計(jì)固有頻率處響應(yīng)的幅值大幅降低，且非線性軟化特性的影響隨g0的減小而不斷增加；當(dāng)g0大于臨界間距時(shí)，驅(qū)動一的幅值不再受梳齒間距的影響。

圖6 梳齒間距與驅(qū)動一振幅的關(guān)系

圖7為不同直流偏置電壓下的梳齒間距與靜電力的關(guān)系曲線，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)Vd=40 V，g0≥15 μm時(shí)，靜電力Fd隨g0的變化并不明顯，近似趨于一個恒定值。圖8為Vd=40 V，g0=15 μm時(shí)梳齒結(jié)構(gòu)電場分布，此時(shí)梳齒之間無邊緣效應(yīng)的影響。比較圖6，7和圖8可知，當(dāng)g0大于臨界間距時(shí)，系統(tǒng)的靜電力非線性因素可忽略，微陀螺為線性系統(tǒng)。

圖7 梳齒間距與靜電力的關(guān)系

圖8 梳齒結(jié)構(gòu)的電場分布圖

為揭示微陀螺在線性系統(tǒng)內(nèi)工作時(shí)，梳齒傾斜角對其動態(tài)性能的影響規(guī)律。選擇g0=15 μm,Vd=40 V,Va=20 V作為研究的工況參數(shù)，此時(shí)靜電力為線性狀態(tài)。

圖9給出了驅(qū)動一在不同梳齒傾斜角下的幅頻響應(yīng)曲線。圖9(a)首先通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了近似解析解的準(zhǔn)確性；由圖可知，當(dāng)微陀螺靜電梳齒傾斜角θ=0.15°時(shí)，驅(qū)動一的第一共振峰值大幅下降、第二共振峰值大幅增加，且系統(tǒng)的共振頻率出現(xiàn)向右偏移現(xiàn)象，沒有出現(xiàn)非線性情況。若增加梳齒傾斜角θ=0.5°，幅頻響應(yīng)曲線與θ=0.15°時(shí)相近，此時(shí)共振頻率偏移較不明顯，第一共振峰值略有增加，第二共振峰值稍有減小。

(a) 驅(qū)動一

圖9(b)、(c)、(d)中，驅(qū)動二、檢測一、檢測二也出現(xiàn)了與驅(qū)動一相似的靈敏度降低以及共振頻率偏移的現(xiàn)象。圖中BW標(biāo)注的區(qū)域是驅(qū)動和檢測輸出響應(yīng)的帶寬，檢測帶寬即為微陀螺的工作帶寬。當(dāng)微陀螺靜電梳齒傾斜角θ=0.15°和0.5°時(shí)，微陀螺的檢測靈敏度最大值降低了約10.7%，但帶寬基本沒有變化。

綜上，當(dāng)微陀螺在線性系統(tǒng)內(nèi)工作時(shí)，梳齒傾斜角會降低微陀螺響應(yīng)輸出的靈敏度，同時(shí)引起共振頻率向右偏移，但對其響應(yīng)輸出帶寬基本沒有影響。因此，若所設(shè)計(jì)的微陀螺在線性系統(tǒng)內(nèi)工作，應(yīng)考慮刻蝕誤差導(dǎo)致的梳齒傾斜角對微陀螺工作頻率的影響。

3.2 靜電力非線性條件下的動態(tài)響應(yīng)

為揭示微陀螺在靜電力非線性系統(tǒng)內(nèi)工作時(shí)梳齒傾斜角對其動態(tài)性能的影響，圖10給出了當(dāng)g0=9 μm,Vd=50 V,Va=20 V時(shí)，不同梳齒傾斜角下微陀螺的幅頻響應(yīng)曲線。根據(jù)圖10可知在梳齒間距為9 μm時(shí)系統(tǒng)已出現(xiàn)了明顯的靜電力非線性。

(a) 驅(qū)動一

圖10(a)顯示，數(shù)值仿真與近似解析結(jié)果具有較好的一致性，微陀螺驅(qū)動一的幅頻響應(yīng)曲線主要表現(xiàn)出靜電力非線性導(dǎo)致的剛度軟化現(xiàn)象。這是由于當(dāng)活動梳齒靠近固定梳齒根部時(shí)，梳齒間橫向靜電力將會變得非常大[17]。但隨著梳齒傾斜角的變化，系統(tǒng)的剛度軟化特征出現(xiàn)被削弱的現(xiàn)象。

當(dāng)θ=0.15°時(shí)，微陀螺驅(qū)動一的幅頻響應(yīng)曲線較θ=0°時(shí)向右明顯偏移，原第一階和第二階共振頻率處靈敏度隨之增大，虛線部分的非線性區(qū)域變窄，非線性彈性力占比減小，這說明微陀螺系統(tǒng)出現(xiàn)的剛度軟化特性被削弱，即梳齒傾斜角具有剛度硬化特性；當(dāng)θ=0.5°時(shí)，微陀螺驅(qū)動一的幅頻響應(yīng)曲線也出現(xiàn)向右偏移的現(xiàn)象，但偏移量與θ=0.15°時(shí)相比較小。

圖10(b)、(c)、(d)表明，當(dāng)θ=0.15°時(shí)，微陀螺的驅(qū)動二、檢測一和檢測二均出現(xiàn)了與驅(qū)動一相同的幅頻響應(yīng)曲線向右偏移的現(xiàn)象，原第一階、第二階共振頻率處靈敏度也大幅增大，虛線部分的多穩(wěn)態(tài)解區(qū)域也隨之減小，這也說明了梳齒傾斜角對驅(qū)動二、檢測一和檢測二均有剛度硬化影響。當(dāng)θ=0.5°時(shí)，其幅頻響應(yīng)與前者相似，只是偏移程度相對較小。

值得注意的是，圖10(b)中當(dāng)θ=0.15°或0.5°較θ=0°時(shí)的響應(yīng)帶寬大幅減小，與此同時(shí)由靜電力軟化特性導(dǎo)致的多穩(wěn)態(tài)解區(qū)域均出現(xiàn)在驅(qū)動二的帶寬范圍內(nèi)，因此幅值跳躍導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象就會在帶寬范圍內(nèi)發(fā)生。當(dāng)微陀螺工作在其設(shè)計(jì)的帶寬范圍內(nèi)時(shí)，其振動幅值就會出現(xiàn)大幅的跳躍，對應(yīng)著微陀螺的靈敏度失穩(wěn)；同時(shí)這種大幅值的跳躍有可能會對微陀螺的微梁造成破壞，進(jìn)而導(dǎo)致微陀螺失效。但如果工作頻率避開失穩(wěn)區(qū)域，梳齒的加工誤差由于彌補(bǔ)了靜電力的軟化特性，輸出靈敏度較無刻蝕誤差時(shí)顯著提高，如圖10(d)所示。

為更直觀地分析梳齒傾斜角對微陀螺非線性系統(tǒng)的綜合影響，圖11給出了g0=9 μm，激勵頻率等于驅(qū)動一固有頻率時(shí)，不同直流偏置電壓下梳齒傾斜角與驅(qū)動一和檢測二振幅的關(guān)系曲線。

(a) 驅(qū)動一

當(dāng)θ=0.15°附近時(shí)驅(qū)動一振動的幅值達(dá)到最大值，即此時(shí)梳齒傾斜角產(chǎn)生的剛度硬化特性相對較強(qiáng)，意味著該角度下對靜電力軟化特性的抵消程度最強(qiáng)；之后，隨著梳齒傾斜角度的增加，響應(yīng)峰值大幅下降，說明剛度硬化特性又逐漸減弱。

對比圖10(a)也可以看出，當(dāng)Vd=50 V、梳齒傾斜角θ由0.15°增加到0.5°時(shí)，驅(qū)動一幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)的剛度軟化現(xiàn)象明顯增強(qiáng)，驅(qū)動一固有頻率所對應(yīng)的響應(yīng)幅值逐步減小。

圖12 驅(qū)動一的立方剛度系數(shù)與梳齒傾斜角和直流偏置

4 結(jié) 論

本文采用多尺度法結(jié)合數(shù)值仿真等，深入分析了微加工誤差導(dǎo)致的驅(qū)動梳齒傾斜角在線性以及非線性情況下對微陀螺動態(tài)性能的影響機(jī)理。主要結(jié)論如下：

(1) 當(dāng)微陀螺在線性系統(tǒng)內(nèi)工作時(shí)，梳齒傾斜角將導(dǎo)致微陀螺系統(tǒng)出現(xiàn)共振頻率偏移現(xiàn)象，同時(shí)造成輸出響應(yīng)的靈敏度大幅下降，但對其工作帶寬基本沒有影響，未對系統(tǒng)造成非線性影響。

(2) 考慮靜電力非線性情況時(shí)，梳齒傾斜角對微陀螺系統(tǒng)響應(yīng)具有剛度硬化作用，對靜電力非線性的軟化特性具有抵消作用，且存在最佳硬化效果的傾斜角，在最佳傾斜角下工作的微陀螺較無刻蝕誤差及線性系統(tǒng)的輸出靈敏度均有顯著提高。