朱 艷

（上海理工大學(xué) 上海 200093）

高等教育的新時代對高校大學(xué)生的思想政治教育提出了新的要求，高校踐行課程思政是全面立德樹人的重要舉措，鑄就教育之魂的理念與實踐創(chuàng)新，青年教師應(yīng)該利用課堂教學(xué)的主渠道，發(fā)揮課堂思政的思想政治教育功能，將單純的知識傳授拓廣至有意識的立德樹人。高等數(shù)學(xué)是面向理工科專業(yè)學(xué)生的一門公共基礎(chǔ)課，可以作為實現(xiàn)對大學(xué)生進(jìn)行思想政治教育的重要載體。由于課程特點，高等數(shù)學(xué)蘊含多個課程思政切入點[1-3]，本文將以高等數(shù)學(xué)課程中的“傅立葉級數(shù)”這一知識點為例，探索如何在教學(xué)設(shè)計中融入思政元素。

傅里葉級數(shù)的講授一方面是讓學(xué)生掌握函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的方法，另一方面是理解傅里葉級數(shù)的意義和應(yīng)用。課程大致分為五個部分，第一，簡單介紹傅里葉的生平和他對數(shù)學(xué)及物理學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，引起學(xué)生的興趣，盡快進(jìn)入上課狀態(tài)，并且以傅里葉的科研精神鼓勵大家積極向上；第二，通過多媒體展示讓學(xué)生對曲線疊加有個直觀的認(rèn)識，進(jìn)而引出無窮多項三角函數(shù)疊加的問題，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維同形象思維相結(jié)合的意識；第三，給出傅里葉級數(shù)的定義，利用板書推導(dǎo)傅里葉系數(shù)的計算過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決的能力；第四，給出傅里葉級數(shù)的收斂定理（狄利克雷條件），并以實例計算讓學(xué)生熟練掌握周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性；第五，介紹傅里葉級數(shù)的意義和應(yīng)用，讓學(xué)生體驗如何應(yīng)用所學(xué)知識分析解決實際問題。具體的教學(xué)進(jìn)程安排如下：

1 傅立葉生平

以法國著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家傅立葉的生平和貢獻(xiàn)作為課堂的開始，通過講述他開始對熱學(xué)的研究以及他的研究成果向同學(xué)們展示傅立葉與“熱”相伴的一生。于1822年出版的《熱的解析理論》對數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響（譯本參考文獻(xiàn)[4]），傅立葉確定了熱傳導(dǎo)方程的解，并且斷言：任何溫度分布都可以寫成正弦波的（無限）和的形式，該級數(shù)以傅里葉命名。

傅立葉最初研究是物理中的熱傳導(dǎo)方程，這是19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家研究的重要問題之一，但是基于他對該問題的研究促進(jìn)了“泛函分析”這一數(shù)學(xué)分支的形成，為數(shù)學(xué)研究做出了偉大的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生體會到知識體系的博大、不同學(xué)科之間的聯(lián)系和傅立葉級數(shù)的重要性和實用性；傅里葉1807年提交的論文由于朗格朗日的反對未能發(fā)表，1811年重新撰寫論文,但是拉格朗日依舊認(rèn)為不適于發(fā)表，他的專著《熱的解析理論》直到1822年才得以發(fā)表，并且成為19世紀(jì)最廣泛閱讀的書籍之一，以傅立葉的坎坷人生和成就激勵學(xué)生遇到任何困難都不要輕言放棄，以此勉勵學(xué)生堅定努力拼搏和勇于創(chuàng)新的信念。

2 傅立葉級數(shù)

傅立葉級數(shù)是將滿足狄利克雷條件的周期函數(shù)表示為正弦或者余弦函數(shù)的疊加。課程中將采取直覺觀察、數(shù)學(xué)推導(dǎo)、實例計算和拓展思考四個部分讓學(xué)生掌握傅里葉級數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。

2.1 直覺觀察

首先分別給出不同振幅和頻率的正弦波的圖像，通過播放視頻分別向?qū)W生展示兩個正弦波以及它們的疊加圖，然后進(jìn)一步調(diào)整正弦波頻率和振幅讓同學(xué)們觀察多個正弦波的動態(tài)疊加效果，在觀察的過程中引導(dǎo)學(xué)生注意疊加函數(shù)仍然具有周期性。基于上述觀察引入問題：如何將一個周期函數(shù)展開為（無限個）三角函數(shù)（正弦或余弦函數(shù)）的線性組合？

2.2 傅里葉系數(shù)

傅立葉系數(shù)的確定是非常關(guān)鍵的步驟，授課中會板書推導(dǎo)，讓學(xué)生熟練掌握傅里葉級數(shù)的計算過程。

2.3 收斂定理

關(guān)于傅立葉級數(shù)有幾個需要思考的問題：首先，是不是任何一個周期函數(shù)都存在傅立葉級數(shù)展開？其次，如果可以，那該傅立葉級數(shù)是否收斂，以及如果收斂的話，它是否收斂于給定的函數(shù)？那么（狄利克雷）收斂定理就回答了上述問題。簡單介紹數(shù)學(xué)家狄利克雷對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理的突出貢獻(xiàn)。

2.4 實例計算

通過一個具體的例子，分析和確定它的傅立葉級數(shù)，這里考慮周期為的分段函數(shù)（例1），它在上定義如下：

給同學(xué)們介紹此函數(shù)圖像是現(xiàn)實世界中的矩形波，它是一種非正弦曲線的波形，通常會于電子和訊號處理時出現(xiàn)。展示動畫疊加效果，隨著傅立葉級數(shù)中項數(shù)的增加，疊加曲線會越來越收斂于矩形波圖像。通過這個例子展示確定周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的關(guān)鍵步驟：首先計算該函數(shù)的傅里葉系數(shù)，然后利用收斂定理確定級數(shù)的收斂范圍。增加形式有所變化的例題將傅立葉級數(shù)的計算和收斂性判定過程進(jìn)行鞏固。

計算上述周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)，并對級數(shù)的收斂性進(jìn)行判定。

2.5 拓展思考

2.6 正弦和余弦函數(shù)

一般來講，傅里葉級數(shù)中會同時包含正弦和余弦函數(shù)，但是有些函數(shù)的傅里葉展開只含正弦項（例1），或者只含余弦項（例3），引發(fā)學(xué)生思考原因。實際上，這是與函數(shù)的奇偶性密切相關(guān)的。也就是說，當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時，其傅里葉級數(shù)就是正弦級數(shù)；當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時，其傅里葉級數(shù)就是余弦級數(shù)。

3 傅立葉級數(shù)的意義和應(yīng)用

傅里葉級數(shù)的意義在于將復(fù)雜的周期函數(shù)分解為簡單的三角函數(shù)，將各種復(fù)雜振動（或復(fù)雜波）分解為簡諧振動（或簡諧波），即：周期為的函數(shù)傅里葉級數(shù)為

傅里葉級數(shù)時時處處存在于我們的生活中，在逼近理論、信號處理、圖像處理、光學(xué)、聲學(xué)等多個領(lǐng)域均有重要應(yīng)用。比如電子音樂中要用固定的頻率震蕩器合成指定的音樂，這可以通過調(diào)整不同頻率和振幅來組合實現(xiàn)，音樂合成器可以利用傅里葉級數(shù)模擬長笛或者小提琴的聲音，甚至創(chuàng)造出人們從來沒有聽過的聲音；無限電收音機利用這一分解原理可以選擇特定的頻道，也就是隨著時間變化的信號中找到特定的波長；利用歐拉公式

可以將傅里葉級數(shù)改寫為復(fù)數(shù)形式，進(jìn)而可以得到傅里葉變換，通過一些視頻向?qū)W生展示復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)可視化的過程，建議感興趣的同學(xué)可以進(jìn)一步了解代碼實現(xiàn)傅立葉級數(shù)的可視化。

4 內(nèi)容小結(jié)

本文通過高等數(shù)學(xué)課程中“傅里葉級數(shù)”作為切入點，以講述數(shù)學(xué)家傅里葉的故事和傅里葉級數(shù)的意義及諸多應(yīng)用的形式融入課程思政，這一嘗試啟發(fā)我們可以從高等數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱出發(fā)，根據(jù)課程的教學(xué)要求，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的特點和認(rèn)知規(guī)律，形成問題引入、問題分析、知識建構(gòu)、問題求解和應(yīng)用拓展的五步式教學(xué)模式，挖掘這門課程更多的思政元素。課程思政主要形式是將思想政治教育元素，包括思想政治教育的理論知識、價值理念以及精神追求等融入到課程中去，潛移默化地對學(xué)生的思想意識、行為舉止產(chǎn)生影響。對于高等數(shù)學(xué)這一課程的特點，課程思政可以融入古代經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題、古今中外數(shù)學(xué)家的生平及其在相關(guān)專業(yè)領(lǐng)域的突出貢獻(xiàn)、專業(yè)數(shù)學(xué)知識在實際生活中的應(yīng)用等元素，充分更好地將價值塑造、知識傳授和能力培養(yǎng)融為一體，“潤物無聲”地實現(xiàn)立德樹人這一根本任務(wù)。