王晶，劉彭

（山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 泰安 271018）

參數(shù)估計(jì)方法是基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)推斷方法之一，此類方法在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域涉及到數(shù)據(jù)分析的問(wèn)題中被大量使用.在實(shí)際問(wèn)題中，人們感興趣的問(wèn)題往往與分布族中的未知參數(shù)有關(guān).參數(shù)估計(jì)方法是在總體分布形式已知時(shí)，利用樣本值對(duì)分布中某一個(gè)或某幾個(gè)未知參數(shù)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的方法，一般分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)問(wèn)題.

在總體分布形式已知時(shí)，對(duì)于其分布中的未知參數(shù)θ，除了求出其點(diǎn)估計(jì)外，還希望估計(jì)出一個(gè)范圍，使其以較大可信度包含參數(shù)θ的真值.這樣的范圍通常以區(qū)間形式給出，同時(shí)還給出其包含參數(shù)θ真值的可信程度，這種形式的估計(jì)稱為參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，而這樣的區(qū)間稱為參數(shù)θ的置信區(qū)間[1].

定義1[2]設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)θ,若有來(lái)自總體X的一組樣本（X1,X2,…,Xn）確定的2個(gè)統(tǒng)計(jì)量，使得對(duì)于給定的α（0＜α＜1），有，則稱隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)θ置信度為1-α的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和置信上限，1-α稱為置信度.

在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中，構(gòu)造參數(shù)θ的置信區(qū)間最常用的方法是樞軸量法，其基本步驟可概括為：

Step1選取樣本（X1,X2,…,Xn）的一個(gè)函數(shù)G（X1,X2,…,Xn;θ），其中只含所求置信區(qū)間的未知參數(shù)θ，且分布已知；

Step2對(duì)于給出的置信水平1-α，確定Step1 中分布的雙側(cè)分位點(diǎn)λ1，λ2，則有

Step3利用不等式變形得到未知參數(shù)θ的置信區(qū)間.

構(gòu)造置信區(qū)間的方法關(guān)鍵在于Step1 中所選取的函數(shù)G（X1,X2,…,Xn;θ）為樞軸量.關(guān)于樞軸量，在大部分概率統(tǒng)計(jì)教材中對(duì)其是這樣描述的：選取合適的統(tǒng)計(jì)量，要求包括待檢驗(yàn)的參數(shù)，不含其它任何未知參數(shù)，且統(tǒng)計(jì)量的分布已知[3]，滿足這種要求的統(tǒng)計(jì)量即為在區(qū)間估計(jì)中所謂的樞軸量[4-5].而在參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題中，即使是對(duì)同一個(gè)未知參數(shù)求置信區(qū)間，滿足以上條件的統(tǒng)計(jì)量也往往不是唯一的，此時(shí)就面臨著如何選取樞軸量的問(wèn)題.針對(duì)選擇不同的樞軸量得到的置信區(qū)間其性質(zhì)是否有差別，不同樞軸量下得到的同一參數(shù)的置信區(qū)間之間是否有優(yōu)劣之分問(wèn)題，本文以單個(gè)正態(tài)分布總體中方差σ2這一參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題為例進(jìn)行討論.

1 基于2 種不同樞軸量的正態(tài)總體方差區(qū)間估計(jì)

設(shè)總體X～N（μ,σ2），其中總體均值μ已知，（X1,X2,…,Xn）為來(lái)自總體容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則有

式中：X為樣本均值.

2 2 種置信區(qū)間比較

2 種區(qū)間（3）（4）是基于不同樞軸量對(duì)單個(gè)正態(tài)總體方差σ2進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的結(jié)果，若要對(duì)其優(yōu)劣進(jìn)行比較主要基于可靠度和精度2個(gè)指標(biāo).在區(qū)間估計(jì)中，置信度1-α反映的是估計(jì)的可靠性程度，置信度越大，估計(jì)的可靠性程度也就越大；置信區(qū)間的長(zhǎng)度反映的是估計(jì)的精度，置信區(qū)間長(zhǎng)度越短，估計(jì)的精度也就越高.在樣本容量n一定的情況下，這2個(gè)要求往往是互相矛盾的[6].在實(shí)際應(yīng)用中，置信度一般按照應(yīng)用需求直接給定，可靠性已經(jīng)確定，此時(shí)可認(rèn)為平均長(zhǎng)度較小的置信區(qū)間精度較高，估計(jì)結(jié)果更好.

對(duì)于置信區(qū)間（3），其平均長(zhǎng)度為

對(duì)于置信區(qū)間（4），其平均長(zhǎng)度為

因此可構(gòu)造兩者比值，其為樣本容量n的函數(shù)，記為

顯然n=1 時(shí)，，此時(shí)L1=L2.當(dāng)n＞ 1時(shí)，g(n)的部分結(jié)果見表1（α=0.05）.由表1可見，隨著n的增大，置信區(qū)間對(duì)應(yīng)g(n) 的差值逐漸減小，即隨著樣本容量增大，2種置信區(qū)間平均長(zhǎng)度比逐漸趨于穩(wěn)定.

表1 不同樣本容量下2 種置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度比

在SPSS22.0[7-8]中得到樣本容量n∈［1,20］及n∈［1,100］時(shí)函數(shù)g(n)變化趨勢(shì)（見圖1）.

圖1 置信區(qū)間長(zhǎng)度比變化趨勢(shì)

由表1 和圖1可以看出，當(dāng)n＞ 1時(shí)，g(n)的值隨著n的增大持續(xù)變小，n＞ 5時(shí)變化趨于平緩，因此對(duì)任意樣本容量n，總有g(shù)(n) ≤ 1，即L1≤L2，在相同的置信度下，置信區(qū)間（3）的精度優(yōu)于置信區(qū)間（4）.在總體均值已知情形下，用樞軸量（3）對(duì)單個(gè)正態(tài)總體的方差σ2進(jìn)行區(qū)間估計(jì)效果更好.

為了進(jìn)一步對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，可從特定正態(tài)總體中抽樣隨機(jī)模擬獲得直觀比較結(jié)果.設(shè)總體X～N(0,1），即參數(shù)σ2的真值為1.運(yùn)用R 軟件[9]，從此分布總體中隨機(jī)抽取100 組容量為n的樣本，根據(jù)式（3）～（4），由隨機(jī)抽樣結(jié)果分別計(jì)算σ2置信度為95%的100 個(gè)置信區(qū)間.n=10，n=100時(shí)100個(gè)置信區(qū)間的模擬結(jié)果分別見圖2～3.

圖2 樣本容量為10 時(shí)的100 個(gè)置信區(qū)間

圖3 樣本容量為100 時(shí)的100 個(gè)置信區(qū)間

由圖2～3 可以看出，2種情形下均有置信區(qū)間（3）的平均長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于置信區(qū)間（4）的平均長(zhǎng)度.相比較下，用樞軸量對(duì)單個(gè)正態(tài)總體的方差σ2進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，置信區(qū)間精度較高，結(jié)果更好.

3 實(shí)例驗(yàn)證

利用2種方法在總體均值已知情況下，對(duì)正態(tài)總體方差σ2進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果的計(jì)算比較，也能看到置信區(qū)間（3）的精度較高.

例[10]發(fā)芽期隨機(jī)抽取某種作物16 株，對(duì)株高進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得株高（單位：cm）數(shù)據(jù)分別為2.15，2.10，2.12，2.10，2.14，2.11，2.15，2.13，2.13，2.11，2.14，2.13，2.12，2.13，2.10，2.14.求株高標(biāo)準(zhǔn)差σ的95%置信區(qū)間（設(shè)總體X～N（2,σ2））.

解由實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，根據(jù)式（3）～（4）分別可計(jì)算得到株高方差σ2和標(biāo)準(zhǔn)差σ的95%置信區(qū)間，結(jié)果見表2.

表2 2種不同方法下株高方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間

對(duì)于該例題，在2種區(qū)間估計(jì)方法下，具體算得的置信區(qū)間差別比較大，顯然此例中置信區(qū)間（3）的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于置信區(qū)間（4），說(shuō)明其精度較高.在實(shí)際應(yīng)用中，在可靠度一定的情況下，精度高的置信區(qū)間是應(yīng)該優(yōu)先選擇的，而在經(jīng)典教科書中對(duì)于此類均值已知情形下正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)均選用樞軸量進(jìn)行構(gòu)造，是有其深刻意義的.可見，樞軸量的選擇是有其標(biāo)準(zhǔn)可言的.

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)總體均值已知時(shí)單個(gè)正態(tài)分布總體方差σ2參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題，初步闡述了樞軸量的選取標(biāo)準(zhǔn)及其對(duì)置信區(qū)間結(jié)果的影響.在進(jìn)行置信區(qū)間的評(píng)價(jià)時(shí)，可靠性和精度是2個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)，而它們也與樣本容量n的大小有直接關(guān)系，在此不再深入探討.需要注意的是當(dāng)考慮置信區(qū)間精度這一標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，應(yīng)盡量選擇區(qū)間平均長(zhǎng)度小的置信區(qū)間.在討論2種情況下置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度大小關(guān)系時(shí)，對(duì)不同樣本容量n的進(jìn)行了直觀模擬.由于比值函數(shù)中包含χ2分布分位點(diǎn)，其值為χ2分布的分布函數(shù)的反函數(shù)值，其取值范圍的嚴(yán)格證明仍需要進(jìn)行更深層次的思考.