李冰冰,廖茂新,李偉南

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽421001)

0 引 言

近幾十年，雙向聯(lián)想記憶(bidirectional associative memory,BAM)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自學(xué)習(xí)、自組織和自適應(yīng)性及大規(guī)模并行處理等優(yōu)點(diǎn)，其在優(yōu)化求解、智能控制和模式識(shí)別等方面均有廣泛的應(yīng)用。關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究最早可追溯到20世紀(jì)40年代，但直到20世紀(jì)80年代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才開始受到國際上學(xué)者的重視從而得到穩(wěn)步發(fā)展。1984年J.J.Hopfield建立簡化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[1]和1989年C.M.Marcus提出具延遲的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[2]，之后為了有效地掌握延遲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的內(nèi)在規(guī)律，許多學(xué)者開始研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為[3-7]。文獻(xiàn)[8-9]均研究了具有五個(gè)神經(jīng)元的整數(shù)階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并以時(shí)滯之和作為參數(shù)給出了系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性和產(chǎn)生Hopf分支的充分判據(jù)。

由于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分系統(tǒng)相對(duì)整數(shù)階可以更加準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，其被廣泛應(yīng)用在控制系統(tǒng)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、金融系統(tǒng)等領(lǐng)域，目前學(xué)者們關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分動(dòng)力系統(tǒng)的研究也取得了大量成果(如文獻(xiàn)[10-16]等)。常用的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)、Caputo導(dǎo)數(shù)和Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)。考慮到Caputo導(dǎo)數(shù)更易選取初值，本文采用Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。為得到本文的主要結(jié)果，現(xiàn)給出如下定義與引理。

定義1 Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[17]定義為

其中n-1

Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換形式為

n-1

若f(l)(0)=0,l=1,2,…,n,則L{Dqf(t);s}=sqF(s)。

引理1[18]考慮具有多個(gè)狀態(tài)變量的分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)

(1)

其中q∈(0,1](i=1,2,…,n)。系統(tǒng)(2)的特征方程Δ(s)如下

若方程det(Δ(s))=0的所有根s的實(shí)部均為負(fù)值，則系統(tǒng)(1)的零解是Lyapunov全局漸近穩(wěn)定的。

基于以上思想，本文建立如下具有雙時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

(2)

在模型(2)中,Dq表示Caputo型導(dǎo)數(shù)且滿足0

為得到本文主要結(jié)果，現(xiàn)給出假設(shè)：

(H1)fi∈C1,fi(0)=0,i=1,2,…,5。

本文分為三個(gè)部分。在第1節(jié)中，通過分析分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(2)的線性化形式的特征方程，討論了系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定性和產(chǎn)生Hopf分支的條件。在第2節(jié)，通過一個(gè)實(shí)例進(jìn)行仿真模擬，驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。最后，在第3節(jié)給出主要結(jié)論。

1 模型的動(dòng)力學(xué)分析

現(xiàn)作如下變換

從而得到系統(tǒng)(2)的等價(jià)形式為

(3)

由(H1)可知，系統(tǒng)(3)的零點(diǎn)是其平衡點(diǎn)。且求得系統(tǒng)(3)的線性化形式如下

(4)

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(4)的特征方程為

即

λ5q+c4λ4q+c3λ3q+c2λ2q+c1λq+c0+

(d3λ3q+d2λ2q+d1λq+d0)e-λτ=0,

(5)

其中

c0=α1α2α3α4α5,

1.1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

下面討論分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性。為后續(xù)工作順利進(jìn)行，給出如下假設(shè)：

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(5)變?yōu)?/p>

(6)

取s=λq,則方程(6)變?yōu)殛P(guān)于s的一元五次方程，即

(7)

因?yàn)?/p>

Δ1=c4=k0>0,

k4>0,

k1Δ4>0。

1.2 模型Hopf分支的存在性

接下來研究當(dāng)時(shí)滯τ>0時(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(3)零平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與周期解存在性的影響。

為后續(xù)工作順利進(jìn)行，現(xiàn)給出如下假設(shè)

(H3)方程(14)至少存在一個(gè)正實(shí)數(shù)根。

引理2 若假設(shè)(H3)成立，則特征方程(5)至少存在一對(duì)純虛根。

證明：若方程(5)存在純虛根，不妨將λ=iw代入式中，則有

(8)

將式(8)實(shí)部與虛部分離，則可得如下方程

E1coswτ-E2sinwτ=-E3,

(9)

E1sinwτ+E2coswτ=-E4,

(10)

其中

由方程(9)和方程(10)計(jì)算得到

(11)

(12)

且將方程(9)與方程(10)兩邊同時(shí)平方再相加求得

(13)

則可以得到關(guān)于w的方程如下

λ10q+e9λ9q+e8λ8q+e7λ7q+e6λ6q+e5λ5q+

e4λ4q+e3λ3q+e2λ2q+e1λq+e0=0。

(14)

式中

2d1d3cosqπ,

則由(H3)知，方程(14)存在有正實(shí)數(shù)根。不妨設(shè)方程(14)有N個(gè)實(shí)根并記為wk,k=1,2,…,N。將wk代入方程(11)中，則有

(k=1,2,…,N;j=0,1,2,…)。

(15)

此時(shí)±wk是方程(5)的一對(duì)純虛根。即特征方程(5)至少存在一對(duì)純虛根。證畢。

引理3 若假設(shè)(H4)成立，則系統(tǒng)(3)橫截性條件滿足。

證明：設(shè)λ(τ)=α(τ)+iw(τ)是方程(5)在τ=τ0附近使得α(τ0)=0,w(τ0)=w0的根，下面求橫截性條件。對(duì)方程(5)關(guān)于τ求導(dǎo)，可得

(5qλ5q-1+4qc4λ4q-1+3qc3λ3q-1+2qc2λ2q-1+

(16)

即

其中

K(λ)=(5q-2τ)eλτλ5q-1+(4qc4-2τc4)eλτλ4q-1+

((3qc3-2τc3)eλτ+(3qd3+d3τ))λ3q-1+

((2qc2-2τc2)eλτ+(2qd2+d2τ))λ2q-1+

((qc1-2τc1)eλτ+(qd1+d1τ))λq-1+

(d0τ-2τc0)eλτ,

L(λ)=(d3λ3q+d2λ2q+d1λq+d0)λ。

現(xiàn)定義實(shí)數(shù)K1,K2,L1與L2如下

K(iw)=K1+iK2,

L(iw)=L1+iL2,

(17)

即K1,L1與K2,L2分別表示K(λ)與L(λ)在τ=τ0(此時(shí)λ=iw0)處的實(shí)部與虛部。

則由假設(shè)(H4)可得到

(18)

即橫截性條件滿足。證畢。

由1.1節(jié)及引理2與引理3可以得到如下定理。

定理1 若假設(shè)(H1)～(H4)成立，則當(dāng)τ∈(0,τ0]時(shí)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(3)的零平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，且在τ=τ0時(shí)喪失穩(wěn)定性并產(chǎn)生Hopf分支。

2 數(shù)值模擬

給出一個(gè)數(shù)值算例來支持理論分析。

考慮如下系統(tǒng)

(19)

圖1 系統(tǒng)(19)的零平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定(τ=0.65<τ0)Fig.1 The zero equilibrium point of the system (19) is asymptotically stable (τ=0.65<τ0)

圖2 系統(tǒng)(19)的零平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性并產(chǎn)生Hopf分支(τ=0.8>τ0)Fig.2 The zero equilibrium point of system (19) loses stability and produces Hopf bifurcation (τ=0.8>τ0)

圖3給出了系統(tǒng)(19)產(chǎn)生Hopf分支的臨界值隨分?jǐn)?shù)階的階數(shù)變化的情況，q=1時(shí)系統(tǒng)(19)為整數(shù)階系統(tǒng)。

圖3 當(dāng)分?jǐn)?shù)階的階次發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)(19)產(chǎn)生Hopf分支的臨界值的變化情況Fig.3 System (19) produces cases where the critical value of Hopf bifurcation varies with the order of the fractional order

3 結(jié) 論

時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有十分豐富的動(dòng)力學(xué)行為，其在全局優(yōu)化、信號(hào)處理和人工智能等問題都有重要應(yīng)用。因此研究此類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為在解決理論和實(shí)際問題過程中都是十分有效且適用的。本文研究了一類具有雙時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階簡化BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為，通過將兩個(gè)時(shí)滯之和τ=τ1+τ2看作分支參數(shù)，研究了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并建立了Hopf分支發(fā)生的一些充分條件。通過分析發(fā)現(xiàn)時(shí)滯會(huì)影響分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當(dāng)τ超過臨界值τ0時(shí)，非線性時(shí)滯系統(tǒng)的零解會(huì)失去穩(wěn)定性，出現(xiàn)Hopf分支。并通過仿真算例說明了本文主要結(jié)果的有效性和可行性。并且通過仿真發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階的階數(shù)也會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的臨界值有一定的影響，當(dāng)選取較大的分?jǐn)?shù)階階次時(shí)，會(huì)使得分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的時(shí)間點(diǎn)提前。