摘 要 “尺規(guī)作圖”是新修訂的小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的新增內(nèi)容，如何認(rèn)識(shí)尺規(guī)作圖在教學(xué)中的重要地位及其教育價(jià)值，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？須重新厘定尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值并以新的視角規(guī)劃教學(xué)路徑。首先明晰尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值：借尺規(guī)作圖鍛煉學(xué)生動(dòng)手操作能力，借尺規(guī)作圖發(fā)展學(xué)生幾何直觀水平，借尺規(guī)作圖促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的形成，借尺規(guī)作圖積淀學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);其次從歷史視角、思維視角、發(fā)生學(xué)視角三個(gè)方面闡述“尺規(guī)作圖”的教學(xué)路徑。

關(guān)? 鍵? 詞 尺規(guī)作圖 幾何學(xué)科育人價(jià)值 培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

引用格式 芮金芳.尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值新厘定及教學(xué)路徑新視角[J].教學(xué)與管理，2022（08）：51-54.

最近，筆者參加江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)暨“測(cè)量”專(zhuān)題教學(xué)研討活動(dòng)，觀摩兩位教師同課異構(gòu)執(zhí)教“周長(zhǎng)的測(cè)量”一課，其中有一個(gè)環(huán)節(jié)引發(fā)筆者的思考。新教材在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)概念以后，要求他們用“尺規(guī)作圖”的方法得到圖形周長(zhǎng)的測(cè)量結(jié)果。這與現(xiàn)行教材中的“周長(zhǎng)計(jì)算”的目標(biāo)要求、呈現(xiàn)方式明顯不同（如圖1）。

一、尺規(guī)作圖在課標(biāo)修訂中的變化

關(guān)于“圖形與幾何”領(lǐng)域中的作圖，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和新修訂課程標(biāo)準(zhǔn)分別提出了相應(yīng)的內(nèi)容要求[1]（見(jiàn)表1）。

關(guān)于“圖形與幾何”領(lǐng)域的作圖，2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)在小學(xué)階段只是要求掌握畫(huà)圖的技能和方法，而沒(méi)有尺規(guī)作圖的具體要求，從而使一線教師對(duì)此內(nèi)容的教學(xué)無(wú)章可循。畫(huà)圖和作圖雖然只有一字之差，但要求卻不盡相同。新修訂課標(biāo)提出“幾何更注重直觀，增加尺規(guī)作圖”?？梢?jiàn)，小學(xué)階段特別是中、高年級(jí)明晰教學(xué)中對(duì)尺規(guī)作圖的要求，理解尺規(guī)作圖獨(dú)特的教學(xué)價(jià)值，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力具有極其重要的作用。

二、尺規(guī)作圖教學(xué)價(jià)值新厘定

尺規(guī)作圖最早起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，是指用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，在有限次數(shù)的前提下，解決不同的平面幾何作圖問(wèn)題[2]。尺規(guī)作圖的問(wèn)題是歐式平面幾何中的核心內(nèi)容，借助作圖這一直觀手段，不僅可以豐富學(xué)生的幾何知識(shí)，而且對(duì)培育學(xué)生的空間觀念具有重要的價(jià)值。

1.借尺規(guī)作圖鍛煉學(xué)生動(dòng)手操作能力

新修訂課標(biāo)對(duì)“尺規(guī)作圖”的整體目標(biāo)要求是增加動(dòng)手操作環(huán)節(jié)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感覺(jué)。根據(jù)小學(xué)生的年齡和心理特點(diǎn)，好動(dòng)是其天性，要發(fā)展他們的空間觀念，主要依靠用眼觀察和動(dòng)手操作，而尺規(guī)作圖是學(xué)生在多種數(shù)學(xué)工具支持的場(chǎng)景下，開(kāi)展動(dòng)腦思考、動(dòng)手做數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)性創(chuàng)造活動(dòng)。在“周長(zhǎng)的測(cè)量”一課中，學(xué)生初步感知圖形一周邊線的長(zhǎng)就是它的周長(zhǎng)這一概念后，出示任意一個(gè)三角形，布置動(dòng)手操作任務(wù)。

提出問(wèn)題：你準(zhǔn)備怎樣測(cè)量三角形的周長(zhǎng)？

作圖工具：圓規(guī)、直尺。

作圖要求：

（1）畫(huà)一畫(huà)：用圓規(guī)和直尺把三角形的三條邊展開(kāi)在下面的線上。

（2）量一量：測(cè)量出三角形的周長(zhǎng)，記錄下來(lái)。

（3）說(shuō)一說(shuō)：與同伴交流你是怎樣得到三角形周長(zhǎng)的。

在核心問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生利用作圖工具——圓規(guī)和直尺動(dòng)手操作，學(xué)生在動(dòng)態(tài)的作圖轉(zhuǎn)化過(guò)程中深刻體會(huì)到：用圓規(guī)能準(zhǔn)確刻畫(huà)出與三角形三邊相等的等長(zhǎng)線段，圓規(guī)作出的線段AB、線段BC、線段CA′的長(zhǎng)度與三角形三條邊對(duì)應(yīng)等長(zhǎng)，更深刻地感悟圖形周長(zhǎng)含義的本質(zhì)內(nèi)涵——環(huán)繞有限面積的區(qū)域邊緣的長(zhǎng)度積分。在這一手腦并用的做數(shù)學(xué)過(guò)程中豐富學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”概念的理解，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)逐漸從膚淺走向深刻、從單一走向豐滿、從粗略過(guò)渡到精準(zhǔn)。

2.借尺規(guī)作圖發(fā)展學(xué)生幾何直觀水平

數(shù)學(xué)家阿蒂亞說(shuō)過(guò)：在幾何中，視覺(jué)思維占主導(dǎo)地位。幾何直觀是一種特殊的形直觀，而尺規(guī)作圖在學(xué)生實(shí)際操作的過(guò)程中具有不可替代的直觀性。教師可以利用尺規(guī)作出的精準(zhǔn)圖形，從形象、直觀的思維視角引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、分析，憑借簡(jiǎn)潔、直觀的載體巧妙解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生思維由具體直觀逐步向更高級(jí)、更抽象的空間形式轉(zhuǎn)化，有助于學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)，使其形成良好的思維品質(zhì)。在“周長(zhǎng)的測(cè)量”教學(xué)中，學(xué)生利用尺規(guī)作圖，將三角形周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成線段AA′的長(zhǎng)度后，利用直觀構(gòu)圖引發(fā)思考“線段AA′為什么是三角形的周長(zhǎng)？”“除了可以從點(diǎn)A展開(kāi)三角形的三條邊，還可以怎樣展開(kāi)？”

學(xué)生在作圖過(guò)程中，能直觀、具象地感受到線段AB、線段BC、線段CA′與線段AA′之間的關(guān)聯(lián)，即AB+BC+CA′=AA′，基于這一等量關(guān)系的確定，如果從點(diǎn)B、點(diǎn)C展開(kāi)三角形的三條邊，同樣可以發(fā)現(xiàn)具有等量關(guān)系的式子，即BC+CA+AB′=BB′、CA+AB+BC′=CC′。在比較中學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然作圖時(shí)展開(kāi)的位置、順序不一樣，但它們的總和始終是不變的確定量，這就進(jìn)一步豐富了學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念內(nèi)涵的深刻理解，周長(zhǎng)等于圖形所有邊的和，與邊的前后順序無(wú)關(guān)。

同時(shí)，學(xué)生借助作圖中線段長(zhǎng)度的直觀模型，可以簡(jiǎn)明、清楚地表示測(cè)量圖形周長(zhǎng)的兩種方法：既可以分段測(cè)量再求和，也可以展開(kāi)后測(cè)量得到。在尺規(guī)作圖中具體、豐富的形使得問(wèn)題的解決更容易，使抽象的關(guān)系與外在可感的圖式建立有力的聯(lián)結(jié)，成為進(jìn)一步深入探索問(wèn)題的工具，甚至能形成學(xué)生較強(qiáng)的直觀洞察力。

3.借尺規(guī)作圖促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的形成

尺規(guī)作圖不應(yīng)簡(jiǎn)單地界定為一種動(dòng)手操作。尺規(guī)作圖前學(xué)生要先觀察、分析、思考、預(yù)測(cè)、判斷，再動(dòng)手作圖。尺規(guī)作圖不僅要讓學(xué)生在作圖之后知曉為什么這樣作的道理，更要讓學(xué)生在作圖之前知道這樣操作的原因。小學(xué)階段的尺規(guī)作圖讓學(xué)生思維從操作實(shí)驗(yàn)的具象直觀，逐步向推理論證的嚴(yán)謹(jǐn)抽象過(guò)渡。

在“周長(zhǎng)的測(cè)量”一課中，學(xué)生借尺規(guī)作圖將三角形中一條邊轉(zhuǎn)換成線段AB，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線段AB的長(zhǎng)度和位置，來(lái)推斷思考線段BC中點(diǎn)C的位置大概在什么地方？學(xué)生借助已有的作圖經(jīng)驗(yàn)，綜合多個(gè)信息執(zhí)果索因，進(jìn)行逆向思考，從而確定點(diǎn)C、點(diǎn)A′的位置。

此時(shí)教師依據(jù)作圖探究過(guò)程，讓學(xué)生圍繞兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題整體思考：你是怎樣想到要在這里作這個(gè)點(diǎn)的？為什么這樣作圖是正確的？讓學(xué)生不斷進(jìn)行學(xué)習(xí)的自我監(jiān)控，在回望作圖操作的過(guò)程中加深對(duì)周長(zhǎng)含義，以及三條線段長(zhǎng)度和與線段AA′之間等量關(guān)系的理解，同時(shí)為周長(zhǎng)計(jì)算方法的呈現(xiàn)提供了“推理論證”的思維雛形。所以，理解尺規(guī)作圖的步驟，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力，深刻的探索性思維，乃至初中階段的嚴(yán)格證明都有積極的影響。

4.借尺規(guī)作圖積淀學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

學(xué)生每次作圖在紙面上留下的作圖痕跡與簡(jiǎn)單推理，都是學(xué)生嘗試、分析、思考、論證的邏輯思維過(guò)程的具體體現(xiàn)。新修訂課標(biāo)中引入尺規(guī)作圖不單單是要求學(xué)生會(huì)作圖，更是學(xué)生具身動(dòng)手操作學(xué)習(xí)的直接體現(xiàn)，也間接蘊(yùn)伏了學(xué)生邏輯推理能力、幾何證明能力的培養(yǎng)，使學(xué)生感受邏輯思維的基本形式。

在尺規(guī)作圖的細(xì)致操作和嚴(yán)謹(jǐn)證明中，學(xué)生還能深刻體會(huì)到尺規(guī)作圖的簡(jiǎn)潔美、精確美、嚴(yán)謹(jǐn)美，這些都是數(shù)學(xué)獨(dú)有的文化魅力。通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)既達(dá)成了數(shù)學(xué)教育的學(xué)科價(jià)值目標(biāo)，更凸顯數(shù)學(xué)教育中獨(dú)特的育人價(jià)值追求，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成[3]。

三、尺規(guī)作圖教學(xué)路徑新視角

1.歷史視角：挖掘幾何知識(shí)的發(fā)生背景

尺規(guī)作圖是幾何作圖中最基本的形式之一，是培養(yǎng)小學(xué)生演繹推理數(shù)學(xué)思維的載體。在歐式幾何的代表作《幾何原本》中給出了許多數(shù)學(xué)家尺規(guī)作圖的方法。新修訂課標(biāo)中提到的小學(xué)階段對(duì)尺規(guī)作圖的要求在這本著作中都能找到對(duì)應(yīng)的思想原點(diǎn)和發(fā)生背景。所以，在整體梳理、追本溯源中能讓學(xué)生更清楚地知曉幾何知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的歷史脈絡(luò)，感悟尺規(guī)作圖這種演繹推理的重要數(shù)學(xué)思想精髓，為學(xué)生當(dāng)下的作圖學(xué)習(xí)提供依據(jù)和原理。表2是新修訂課標(biāo)中的尺規(guī)作圖教學(xué)內(nèi)容與《幾何原本》中相對(duì)應(yīng)的出處及表述。

通過(guò)梳理尺規(guī)作圖教學(xué)內(nèi)容，我們可以發(fā)現(xiàn)一些重要的幾何基本事實(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都有相關(guān)的孕伏滲透。所以，教學(xué)中教師要用高觀點(diǎn)視角整體把握“尺規(guī)作圖”內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生追溯知識(shí)發(fā)生的原點(diǎn)，在手腦參與的做數(shù)學(xué)中獲得豐富的數(shù)學(xué)作圖經(jīng)驗(yàn)和深刻的幾何事實(shí)感悟，這些積淀有助于學(xué)生空間觀念的提升。

2.思維視角：孕育數(shù)學(xué)理性的思維光芒

數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類(lèi)的思維得以運(yùn)用到最完善的程度。”小學(xué)階段的尺規(guī)作圖讓學(xué)生從直觀經(jīng)驗(yàn)過(guò)渡到操作實(shí)驗(yàn)，再進(jìn)一步發(fā)展提升到推理論證的邏輯思維層面，科學(xué)合理地讓學(xué)生經(jīng)歷具象經(jīng)驗(yàn)到抽象思維的邏輯遞升過(guò)程，既有正向的合情推理思考，又有逆向的演繹推理思辨，真正在操作中進(jìn)行思考和提升，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[4]。如在四年級(jí)認(rèn)識(shí)三角形之后，安排了“三角形三邊關(guān)系”的探究學(xué)習(xí)。

【常規(guī)設(shè)計(jì)】

教師提供一組結(jié)構(gòu)化的學(xué)具材料（如小棒或吸管等），引導(dǎo)學(xué)生任選其中的三根，動(dòng)手圍成三角形。

提出問(wèn)題：任選三根小棒，都能?chē)梢粋€(gè)三角形嗎？

實(shí)驗(yàn)工具：四種長(zhǎng)度不同的小棒、實(shí)驗(yàn)記錄單。

實(shí)驗(yàn)方法：圍一圍、比一比、算一算。

實(shí)驗(yàn)要求：

（1）選一選：任選三根小棒，動(dòng)手圍成一個(gè)三角形。

（2）比一比：哪些小棒能?chē)扇切?？哪些小棒不能?chē)扇切危?/p>

（3）想一想：為什么有的小棒不能?chē)扇切?？而有的小棒能?chē)扇切危?/p>

學(xué)生利用這樣的實(shí)驗(yàn)素材操作時(shí)，常常會(huì)因?yàn)樾“舯旧淼拇旨?xì)問(wèn)題或操作過(guò)程中的實(shí)驗(yàn)誤差等因素，導(dǎo)致兩條短邊之和等于第三邊時(shí)，卻出現(xiàn)能?chē)扇切蔚膶擂巍?/p>

【尺規(guī)作圖新設(shè)計(jì)】

教師在學(xué)生已經(jīng)知道“兩點(diǎn)之間線段最短”的基礎(chǔ)上，先讓學(xué)生猜想三角形中三邊存在怎樣的關(guān)系，再利用上述結(jié)論初步感知三邊關(guān)系;然后判定怎樣的三邊能?chē)扇切?，借助尺?guī)作圖動(dòng)手作出符合要求的三角形，在動(dòng)手操作中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證猜想，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律存在的必要條件。

作圖要求：根據(jù)已知三邊作出三角形。

作圖工具：圓規(guī)、直尺。

作圖過(guò)程：

（1）

①用圓規(guī)作線段BC=a。

②以B點(diǎn)為圓心，以b為半徑用圓規(guī)作弧;

以C點(diǎn)為圓心，以c為半徑用圓規(guī)作弧;

兩弧相交于A點(diǎn)。

③用直尺連接AB、AC。

這三條邊能作成一個(gè)三角形。

（2）

作圖步驟和（1）相同，A點(diǎn)正好在線段BC上，無(wú)法組成一個(gè)三角形。

（3）

作圖步驟和（1）相同，A點(diǎn)和A′點(diǎn)沒(méi)有重合，無(wú)法組成一個(gè)三角形。

作圖思考：什么情況下三條邊一定能作出三角形？什么情況下不能作出三角形？

學(xué)生在這樣的尺規(guī)作圖中能精準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)，第（2）、第（3）種情況，即兩邊之和等于或小于第三邊時(shí)，無(wú)法作出三角形。在動(dòng)手操作作圖中，不僅很好地驗(yàn)證了開(kāi)始的猜想，而且還避免了因?qū)嶒?yàn)工具誤差所產(chǎn)生的干擾和不確定性?？茖W(xué)、精準(zhǔn)、理性地提升學(xué)生的空間想象力和思維嚴(yán)謹(jǐn)性，用尺規(guī)作圖驗(yàn)證了數(shù)學(xué)中三角形三邊關(guān)系的重要定理。

3.發(fā)生學(xué)視角：深化幾何學(xué)的育人價(jià)值

幾何學(xué)是研究形的科學(xué)，以人的視覺(jué)思維為主導(dǎo)，旨在培養(yǎng)人的觀察能力、空間想象能力和洞察力。尺規(guī)作圖是建立在幾何推理基礎(chǔ)上的一種作圖方法，學(xué)生在動(dòng)手作圖過(guò)程中，除了從幾何知識(shí)的源頭了解其發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，感受幾何學(xué)發(fā)展對(duì)人們?nèi)粘Ｉ?、科技進(jìn)步、社會(huì)發(fā)展帶來(lái)的巨大變化，更要從中感受到幾何作圖外在形式的結(jié)構(gòu)美、邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)美、精準(zhǔn)表達(dá)的簡(jiǎn)潔美、精確刻畫(huà)的細(xì)致美等，同時(shí)在廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用中感受它的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生深入研究的興趣和動(dòng)力。

綜上，教師應(yīng)充分挖掘“圖形與幾何”中尺規(guī)作圖的教育價(jià)值，選取具有學(xué)科核心要素、本質(zhì)特征、育人價(jià)值的素材作為課程資源，設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖教學(xué)活動(dòng)。在學(xué)習(xí)領(lǐng)悟幾何學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵的同時(shí)，更好地感受人文精神、科學(xué)素養(yǎng)、道德品質(zhì)等方面的熏陶，將學(xué)科育人的價(jià)值目標(biāo)真正落實(shí)到教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)科知識(shí)向?qū)W科素養(yǎng)的生動(dòng)轉(zhuǎn)化。

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]

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