范文亮 *, 盛向前 *

* (重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,重慶 400045)

? (重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400045)

引言

線性結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)高斯隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)分析是隨機(jī)振動(dòng)研究的基礎(chǔ)[1-2].線性隨機(jī)振動(dòng)理論分析方法可以分為時(shí)域分析法和頻域分析法[3-6].時(shí)域分析法是以激勵(lì)的自相關(guān)函數(shù)為基礎(chǔ)的分析方法,比如矩方程法[2,7]、遞推矩法[8]等.頻域分析法是以激勵(lì)的譜密度為基礎(chǔ)的分析方法.相對(duì)于時(shí)域分析法,頻域分析法數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)單,因此成為了隨機(jī)振動(dòng)領(lǐng)域的主流方法.頻域分析方法根據(jù)輸出結(jié)果形式的不同主要分為蒙特卡洛法[9-10]、均方根法[11-15]和功率譜法[16-19].由于功率譜法是頻域法中最基本的分析方法,所以本文主要針對(duì)功率譜法開展研究.

功率譜法是直接建立激勵(lì)功率譜和響應(yīng)功率譜之間關(guān)系的分析方法.根據(jù)兩者關(guān)系表達(dá)式的不同,功率譜法可以分為振型法和虛擬激勵(lì)法.振型法顧名思義是以振型為基礎(chǔ)計(jì)算響應(yīng)功率譜的分析方法.SRSS 法[16]作為振型法最為原始的分析方法主要是通過振型疊加法給出響應(yīng)功率譜的計(jì)算表達(dá)式,該方法由于不考慮振型之間的耦合項(xiàng)而有較高的計(jì)算效率.雖然SRSS 組合簡(jiǎn)單,但當(dāng)模態(tài)頻率接近時(shí),其計(jì)算結(jié)果將存在較大誤差.隨后,CQC 法[4-5]通過考慮振型之間的耦合項(xiàng)給出響應(yīng)功率譜的精確表達(dá)式.然而,針對(duì)一些需要考慮較多振型的結(jié)構(gòu),CQC 法將面臨計(jì)算量大的問題[17].為提高計(jì)算效率,引入振型截?cái)嗍亲顬槌Ｒ姷奶幚矸绞絒18-20].但振型截?cái)嗤鶎?duì)計(jì)算精度造成不利影響[21],且振型的截?cái)嚯A數(shù)并沒有一個(gè)合適的確定標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu),即使引入振型截?cái)?仍然會(huì)涉及大型矩陣的運(yùn)算進(jìn)而影響計(jì)算效率[22].

虛擬激勵(lì)法[23-28]首先構(gòu)造與激勵(lì)相關(guān)的虛擬激勵(lì),然后通過虛擬激勵(lì)下的響應(yīng)獲得響應(yīng)功率譜.對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)且頻率離散點(diǎn)數(shù)目較大時(shí),需要計(jì)算每個(gè)頻率離散點(diǎn)處的虛擬激勵(lì)響應(yīng),計(jì)算量有時(shí)也比較大.值得指出的是,針對(duì)多點(diǎn)激勵(lì)問題虛擬激勵(lì)法需要引入激勵(lì)功率譜矩陣的Cholesky 分解將多點(diǎn)相關(guān)激勵(lì)轉(zhuǎn)換為獨(dú)立隨機(jī)激勵(lì).一方面,當(dāng)頻率離散值數(shù)目和激勵(lì)數(shù)目較多時(shí),Cholesky 分解計(jì)算量較大;另一方面,當(dāng)矩陣不正定性,Cholesky 分解將難以實(shí)施[29].換言之,虛擬激勵(lì)法盡管可以避免CQC法中振型計(jì)算及其截?cái)鄬?dǎo)致的誤差,卻衍生了功率譜矩陣分解影響計(jì)算效率的新問題.

不難發(fā)現(xiàn),現(xiàn)有的功率譜法常常涉及振型截?cái)嗷蚣?lì)功率譜矩陣分解帶來的精度和效率問題.基于此,本文在引入廣義頻響函數(shù)的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了響應(yīng)功率譜的計(jì)算表達(dá)式,結(jié)合輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)策略提出了一種新型隨機(jī)振動(dòng)分析方法,即輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法.同時(shí)根據(jù)輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)下響應(yīng)求解方式的不同,給出了具有不同適用范圍的兩種求解方案.

1 平穩(wěn)激勵(lì)下線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的廣義分析方法

1.1 理論基礎(chǔ)

對(duì)于s個(gè)自由度的線性結(jié)構(gòu),在平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力微分方程可寫為[30]

式中,M,C和K分別為結(jié)構(gòu)的s×s維質(zhì)量矩陣、正交阻尼矩陣和剛度矩陣,Q為s×m維激勵(lì)定位矩陣,F(t)=[F1(t),F2(t),···,Fm(t)]T為平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)向量,上標(biāo)T 為轉(zhuǎn)置,m為激勵(lì)的數(shù)量.

在零初始條件下,結(jié)構(gòu)第k自由度的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)Yk(t)為

式中,φj=[φ1,j,φ2,j,···,φs,j]T表示第j階振型,φk,j為φj中第k個(gè)元素,hj(t)為脈沖響應(yīng)函數(shù),可表示為

其中,ωj和ξj分別為結(jié)構(gòu)第j階頻率和振型阻尼比.

1.2 基于廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)的響應(yīng)計(jì)算

不難發(fā)現(xiàn)式(2)涉及所有振型的求和,如果引入廣義脈沖響應(yīng)函數(shù),則響應(yīng)求解將轉(zhuǎn)化為關(guān)于荷載數(shù)目的求和.

將F(t)中第l個(gè)元素用脈沖函數(shù)δ(t)代替,其余分量都取為0,即=[0,···,0,δ(t),0,···,0]T.在作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫為

其中,Ql為Q中的第l列向量.結(jié)合式(2),可得式(4)中第k自由度的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)Yk,l(t)為

于是,結(jié)構(gòu)在荷載Fl(t)=[0,···,0,Fl(t),0,···,0]T作用下,第k自由度的響應(yīng)為

相應(yīng)地,結(jié)構(gòu)在激勵(lì)F(t)下Yk(t)可表示為

比較式(2)和式(7)可知,引入廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)后,結(jié)構(gòu)響應(yīng)表達(dá)式的求和次數(shù)由s次轉(zhuǎn)變?yōu)閙次.工程實(shí)際中,激勵(lì)數(shù)量m通常小于結(jié)構(gòu)自由度s.因此,若可以方便地給出,則式(7)比式(2)更易于實(shí)用.

1.3 基于廣義頻響函數(shù)的響應(yīng)功率譜計(jì)算

結(jié)合式(7),Yk1(t)和Yk2(t)的互相關(guān)函數(shù)RYk1Yk2(τ)可表示為

式中,E(·)為期望運(yùn)算,RFpFq(·)為激勵(lì)分量Fp(t)和Fq(t)的互相關(guān)函數(shù).

根據(jù)維納-辛欽關(guān)系,Yk1(t)和Yk2(t)的互功率譜函數(shù)SYk1Yk2(ω)可由RYk1Yk2(τ) 的Fourier 變換得到

其中,i2=-1,上標(biāo)*表示復(fù)共軛,SFpFq(ω)為Fp(t)和Fq(t)的互功率譜密度函數(shù),的表達(dá)式為

式中,Hj(ω)為hj(t)的傅里葉變換.顯然,為廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換,文中稱其為廣義頻響函數(shù).不難發(fā)現(xiàn),包含了所有頻響函數(shù)Hj(ω)的貢獻(xiàn)且式(9)避免了關(guān)于s的雙重求和.

同理,Yk的自功率譜函數(shù)SYkYk(ω) 為

將式(9)與式(11)相結(jié)合,響應(yīng)的互功率譜矩陣SYY(ω)與激勵(lì)互譜矩陣SFF(ω)的關(guān)系為

將式(10)代入式(12)右側(cè),可得

式中,Φ=[φ1,φ2,···,φs],H=diag[H1(ω),H1(ω),···,Hs(ω)].顯然,式(13) 為計(jì)算響應(yīng)功率譜矩陣的CQC 法表達(dá)式[4-5].換言之,式(12)與式(13)是等價(jià)的.

若僅考察結(jié)構(gòu)部分自由度數(shù)目為J的響應(yīng),則式(12)和式(13)將分別改寫為

比較式(14)和式(15)可知,引入廣義頻響函數(shù)后,廣義頻響函數(shù)矩陣的維數(shù)為J×m維,遠(yuǎn)小于CQC 法中頻響函數(shù)矩陣的維數(shù)s×s維.因此,若可以方便地給出,則式(14)比式(15)更易于實(shí)用.

由于式(9),式(11),式(12)和式(14)中涉及廣義頻響函數(shù),因此本文將基于上述表達(dá)式的隨機(jī)振動(dòng)分析方法稱為廣義分析方法.特別地,當(dāng)m=1時(shí)式(12)則退化為一致激勵(lì)問題或單點(diǎn)激勵(lì)問題.

2 平穩(wěn)激勵(lì)下線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法

廣義頻響函數(shù)的快速、準(zhǔn)確確定是廣義分析方法的關(guān)鍵.顯然,對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu),由式(10)確定廣義頻響函數(shù)進(jìn)而求解響應(yīng)功率譜是不方便的.為此本節(jié)給出一種較為便捷的求解方法.

2.1 輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法

將F(t)中第l個(gè)元素以輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)exp(iωt)代替,其余量為零,即構(gòu)造輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)向量=[0,···,0,exp(iωt),0,···,0]T.由式(6)可知,結(jié)構(gòu)在下第k自由度的位移響應(yīng)為

于是,式(9) 中兩個(gè)廣義頻響函數(shù)的乘積可表示為

相應(yīng)地,式(9)可改寫為

類似地,式(11)可改寫為

式(18)和式(19)亦可表示為如下矩陣形式,即

由于式(18),式(19)或式(20)綜合了廣義分析法的思路和輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)的策略,文中將其稱為輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法.

2.2 輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的高效求解方法

線性結(jié)構(gòu)在輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)分析屬于諧振響應(yīng)分析,常用分析方法包括振型疊加法與時(shí)程分析法.顯然,當(dāng)只需少數(shù)低階振型即可獲得較為精確響應(yīng)的前提下,振型疊加法較時(shí)程分析法更為方便;但對(duì)于包含較多振型貢獻(xiàn)的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu),時(shí)程分析方法可以有效避免振型疊加法中振型截?cái)鄬?dǎo)致的誤差.因此,文中根據(jù)不同的情形給出兩種可供選擇的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算方案.

2.2.1 基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算

當(dāng)結(jié)構(gòu)自由度較少或者可以預(yù)先確定準(zhǔn)確計(jì)算輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)所需的振型最高階數(shù)且此階數(shù)較小時(shí),可采用振型疊加法計(jì)算之,即

式中,r為自由度數(shù)目(即r=s)或需要考慮的振型階數(shù)(即r＜s).需要指出的是,由于式(17)和式(18)中共軛相乘導(dǎo)致exp(iωt)相互抵消,所以式(21)在實(shí)際計(jì)算中可省略exp(iωt).

2.2.2 基于時(shí)程分析的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算

對(duì)于復(fù)雜高維結(jié)構(gòu),為避免振型疊加法中振型截?cái)嗟恼`差,可采用時(shí)程分析法計(jì)算輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng).由于涉及到不同頻率下輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)的大量重分析,文中引入時(shí)域顯式法以提高計(jì)算效率.

式中,Δω為頻率間隔,即

其中,ωk,L為下限截止頻率,ωk,U為上限截止頻率,(N+1)為離散頻率值數(shù)目.

對(duì)于W中任一頻率離散值對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧激勵(lì)均需求解如下的運(yùn)動(dòng)微分方程,即

根據(jù)時(shí)域顯式法[31-32],可以給出式(1)中F(t)為任意激勵(lì)時(shí)響應(yīng)Y(tτ)的顯式表達(dá)式為

式中,[Aτ,0,Aτ,1,···,Aτ,τ]可通過2m次單位脈沖激勵(lì)確定,具體計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)[31-32].于是,式(24)的響應(yīng)Yk,l(ωp,tτ)可按下式計(jì)算,即

其中ak,n(n=0,1,···,τ)為Aτ,n中的第k個(gè)元素.

顯然,基于時(shí)程分析的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)計(jì)算亦適用于結(jié)構(gòu)自由度較少的情況.

將由式(21)或式(26)得到的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)代入到式(20)即可得到響應(yīng)功率譜,文中分別稱之為基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法與基于時(shí)程分析的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法.其中,對(duì)于基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法,式(20)可改寫為

2.3 計(jì)算步驟

采用輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法計(jì)算響應(yīng)功率譜的計(jì)算步驟如下:

(1) 通過式(21)或式(26)計(jì)算響應(yīng)Yk,l(ω,t);

(2) 結(jié)合式(18)、式(19)和Yk,l(ω,t),分別計(jì)算SYkYk(ω)和SYk1Yk2(ω) .

3 計(jì)算性能分析與比較

輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法中響應(yīng)的求解既可采用振型疊加法也可采用時(shí)程分析法,但前者以振型已知為前提,而已有文獻(xiàn)[20,23]對(duì)基于振型疊加的響應(yīng)功率譜分析方法的性能分析時(shí)均不考慮振型計(jì)算的工作量,因此不宜將基于振型疊加的方法與基于時(shí)程分析的方法統(tǒng)一對(duì)比.為此,文中將基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法與基于振型疊加的其他方法對(duì)比,將基于時(shí)程分析的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法與基于時(shí)程分析的其他方法對(duì)比.為簡(jiǎn)化,僅分析一個(gè)頻率值處各算法的乘法次數(shù),且不區(qū)分實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù).

3.1 基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的性能

根據(jù)式(27)可知基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法所需的乘法次數(shù)NPPM-1為

其中,2rsm+r2m為求解廣義頻響函數(shù)矩陣所涉及的乘法次數(shù),s2m+sm2為通過廣義頻響函數(shù)矩陣和激勵(lì)功率譜矩陣相乘所涉及的乘法次數(shù).

為比較,本節(jié)亦給出了傳統(tǒng)CQC 法和基于振型疊加的虛擬激勵(lì)法的計(jì)算性能.

傳統(tǒng)CQC 法的表達(dá)式為

其所需的總乘法次數(shù)NCQC為[20]

基于振型疊加的虛擬激勵(lì)法的基本公式為[23]

式中,lj為SFF(ω)分解的m× 1 維的虛擬激勵(lì)向量,yj為lj對(duì)應(yīng)的虛擬響應(yīng),c為SFF(ω)的秩,此處取c=m.基于振型疊加的虛擬激勵(lì)法所涉及的乘法次數(shù)NPEM-1為

其中,式(32)所需要的乘法次數(shù)為m3/6,式(33)按從右到左的順序進(jìn)行矩陣相乘所涉及的乘法次數(shù)為2rs+r2+sm+s2,式(34)需要進(jìn)行m次響應(yīng)求解.

對(duì)比式(29)、式(31)和式(35),當(dāng)s很大時(shí),傳統(tǒng)CQC 法、基于振型疊加的虛擬激勵(lì)法和基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的計(jì)算量大致為r2s2,ms2和ms2.顯然,傳統(tǒng)CQC 的計(jì)算量遠(yuǎn)大于后兩者.結(jié)合式(29)和式(35),基于振型疊加的虛擬激勵(lì)法和基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的計(jì)算量差值為激勵(lì)功率譜矩陣分解所需乘法次數(shù)m3/6＞0.顯然,當(dāng)m≥2 時(shí),基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的計(jì)算效率高于基于振型疊加的虛擬激勵(lì)法;當(dāng)m=1 時(shí),由于激勵(lì)功率譜矩陣無需分解,兩者計(jì)算量相等.需指出的是,若需考慮多個(gè)SFF(ω),式(28)和式(35)可將不包含SFF(ω)的計(jì)算結(jié)果存儲(chǔ),而式(35)則需重新分析,因此式(29)對(duì)于此類情形優(yōu)勢(shì)將更為突出.

3.2 基于時(shí)程分析的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的性能

根據(jù)式(20)與式(26)可知基于時(shí)程分析的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法所需的乘法次數(shù)NPPM-2為

式中,p為時(shí)域積分步數(shù).

為比較,本節(jié)亦給出了基于時(shí)程分析的虛擬激勵(lì)法的計(jì)算性能.與基于振型的虛擬激勵(lì)法相比,只需將式(33)代替以時(shí)程分析結(jié)果.若采用精細(xì)積分法進(jìn)行時(shí)程分析,則虛擬激勵(lì)法所需乘法次數(shù)NPEM-2為[33]

圖1 給出了NPEM-2與NPPM-2的比值和自由度數(shù)s的關(guān)系圖,其中p=1000.易知,當(dāng)s較小時(shí),輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的計(jì)算效率低于虛擬激勵(lì)法,當(dāng)s增大時(shí),輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的計(jì)算效率將高于虛擬激勵(lì)法,且激勵(lì)數(shù)目越多優(yōu)勢(shì)越明顯.

圖1 NPEM-2/NPPM-2 和自由度數(shù)目s的關(guān)系Fig.1 The relationship between NPEM-2/NPPM-2 and the number of degrees of freedom s

4 算例分析

算例采用文中建議的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法計(jì)算響應(yīng)功率譜,且將其與虛擬激勵(lì)法和傳統(tǒng)的CQC 法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證建議方法的精度和效率.為便于區(qū)分,本節(jié)將基于振型疊加的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法記為MAHEGM,基于時(shí)程分析的輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法記為TAHEGM,基于振型疊加的虛擬激勵(lì)法記為MPEM,基于時(shí)程分析的虛擬激勵(lì)法記為TPEM,傳統(tǒng)CQC 法記為CQC.

4.1 算例1

考察如圖2 所示的4 層剪切框架在隨機(jī)激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng).每層質(zhì)量為2.5×104kg,剛度為 8.0×106N/m,采用 Rayleigh 阻尼模型且阻尼矩陣C=aM+bK,其中a=0.368 9,b=0.003 3.框架的每一層均作用有隨機(jī)激勵(lì).根據(jù)激勵(lì)種類的不同分為兩種工況,即工況1 (記為case 1) 為一致激勵(lì)和工況2 (記為case 2) 為非一致激勵(lì).

圖2 四層剪切框架Fig.2 Four-story shear building

4.1.1 工況1

該工況下,向量Q為[1,1,1,1]T.平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)F(t)=[F(t)]的功率譜密度函數(shù)S(ω)為

其中,ωg=20 rad/s,ωf=2 rad/s,ξg=0.85,ξf=0.85,S0=0.010 7 m2/s3.此外,計(jì)算中取ωL=0,Δω=0.104 7 rad/s,N=1500.

由于結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目為4,本文提出的MAHEGM和TAHEGM 都可用于求解響應(yīng)功率譜.其中,MAHEGM 中取r=4;TAHEGM 中,時(shí)域積分區(qū)間為[0,40] s,積分步數(shù)為4000 步.圖3 和圖4 分別給出部分樓層位移響應(yīng)的自功率譜和互功率譜計(jì)算結(jié)果.為比較,圖中亦給出了CQC,MPEM[23]和MAHEGM 的結(jié)果.

圖3 第4 層位移的自功率譜Fig.3 The auto power spectrum of displacement at fourth floor

圖4 位移的互功率譜Fig.4 The cross-power spectrum of displacement

通過圖3 和圖4 可以看出MAHEGM,TAHEGM,MPEM,TPEM 和CQC 得到位移響應(yīng)功率譜曲線在整個(gè)頻域區(qū)間吻合較好,并根據(jù)各方法的位移響應(yīng)功率譜得到的樓層位移方差也是相等的,其中1 層、2 層、3 層和4 層的位移方差依次為5.46×10-5,1.89×10-3,3.41×10-3,4.44×10-3.

此外,在TAHEGM 中,根據(jù)式(17) 可通過Yk,l(ω,t) 確定HA,k1,k2,p,q(ω).圖5 給出了部分HA,k1,k2,p,q(ω)的計(jì)算結(jié)果.與此同時(shí),圖5 中亦給出了的精確解(記為HE,k1,k2,p,q(ω)).通過對(duì)比不難發(fā)現(xiàn),由TAHEGM 計(jì)算出的HA,k1,k2,p,q(ω)的幅值與HE,k1,k2,p,q(ω)的幅值在整個(gè)頻率域上吻合的較好,驗(yàn)證了本文提出由HA,k1,k2,p,q(ω) 代替HE,k1,k2,p,q(ω)的有效性.

圖5 頻響函數(shù)相乘的幅值Fig.5 The amplitude of frequency response function multiplication

4.1.2 工況2

該工況下,向量Q的數(shù)值為

平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)向量F(t)=[F1(t),F2(t)]T的互功率譜密度函數(shù)SFi,F j(ω) 為

其中,SF,F(ω)為自功率譜密度函數(shù)且表達(dá)式為

此外,計(jì)算中取ωL=0,Δω=0.104 7 rad/s,N=1500.該工況下仍分別采用MAHEGM 和TAHEGM進(jìn)行功率譜分析,其中r值、時(shí)域積分區(qū)間和時(shí)間步數(shù)與工況1 一致.

圖6 和圖7 分別給出MAHEGM,TAHEGM,MPEM,TPEM 和CQC 得到的部分樓層位移的自功率譜和互功率譜.從圖中曲線和表中數(shù)值可以看出,MAHEGM 和TAHEGM 能夠得到與MPEM,TPEM 和CQC 相同精度的結(jié)果.根據(jù)各方法的位移響應(yīng)功率譜曲線得到的樓層位移方差也是相等的,其中1 層、2 層、3 層和4 層的位移方差依次為2.45×10-4,8.36×10-4,1.50×10-3,1.93×10-3.

圖6 第4 層位移的功率譜Fig.6 The power spectrum of displacement at fourth floor

圖7 位移的互功率譜SY2Y3 (ω)Fig.7 The cross power spectrum SY2Y3 (ω) of displacement

表1 列出工況1 和工況2 中各方法得到的樓層位移方差時(shí)所消耗的時(shí)間.本文所有程序均在處理器為i5-9400 F、主頻為2.90 GHz 和內(nèi)存為48 GB的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行.通過表1 可知,對(duì)于低維結(jié)構(gòu),基于振型分解的方法相對(duì)時(shí)程分析的方法具有明顯優(yōu)勢(shì),且MAHEGM 計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)更為顯著.對(duì)于一致激勵(lì)和非一致激勵(lì)情況下,基于振型分解的方法中MAHEGM 計(jì)算效率最高;基于時(shí)程分析的方法中TAHEGM 的計(jì)算效率最高.在振型階數(shù)、激勵(lì)的積分點(diǎn)數(shù)和頻率離散值數(shù)目相同的前提下,隨著激勵(lì)數(shù)目的增多,MAHEGM 的計(jì)算效率提高越明顯.因此,對(duì)于低自由度系統(tǒng),本文建議采用MAHEGM 進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析.

表1 不同方法的計(jì)算時(shí)間Table 1 The computation time of different methods

4.2 算例2

考察如圖8(a)所示的三維框架結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的隨機(jī)響應(yīng).柱截面和梁截面繪制于圖8(c),其中柱截面h=0.35 m,梁截面h=0.45 m.材料密度為7.85 ×103kg/m3,質(zhì)量比例阻尼參數(shù)和剛度比例阻尼參數(shù)分別為0.077 8 和0.020 3.該結(jié)構(gòu)在Y方向承受荷載的隨機(jī)過程,且荷載作用點(diǎn)的位置如圖8(a)和圖8(b)中①～ ?.對(duì)于任意i點(diǎn)處與j點(diǎn)處的荷載互功率譜密度函數(shù)定義為

圖8 三維框架結(jié)構(gòu)(單位:m)Fig.8 Three-dimension frame (unit:m)

其中,SFiFi(ω) 為雙邊自功率譜密度函數(shù),γij(ω) 為第i點(diǎn)和第j點(diǎn)的空間相干函數(shù)

式中,xi和zi為第i點(diǎn)的X方向和Z方向坐標(biāo).

以荷載方差為2.27×105為控制條件,考慮雙邊自功率譜密度函數(shù)SFiFi(ω) 的類型對(duì)響應(yīng)的影響,設(shè)計(jì)3 種工況,且功率譜形式來源于Davenport 譜[34]、Kaimal 譜[35]和Karman 譜[36],分別為

(1) 工況1(記為case 1)

(2) 工況2(記為case 2)

(3) 工況3(記為case 3)

取ωL=0.01 rad/s,Δω=0.01 rad/s,同時(shí)N=100.上述3 種激勵(lì)的功率譜如圖9 所示,由圖9 曲線對(duì)比可知,盡管3 種工況下激勵(lì)的方差一致,但3 種功率譜曲線在不同頻率點(diǎn)處的幅值信息卻大不相同.

圖9 激勵(lì)功率譜Fig.9 The power spectrum of excitation

在工況1 中,采用CQC,TAHEGM 和虛擬激勵(lì)法,其中,CQC 振型階數(shù)取為1,5 和30,TAHEGM的時(shí)域積分區(qū)間為[0,20] s,時(shí)域積分步數(shù)為2000步,虛擬激勵(lì)法采用諧響應(yīng)分析方法[28](記為SPEM)并將結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)解.通過上述方法得到部分樓層位移方差,如表2 所示.由表可知,CQC 在取振型階數(shù)1 和5 的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)解的誤差很大,這說明主觀確定振型階數(shù)對(duì)CQC 的結(jié)果有很大影響.同時(shí)CQC在取振型階數(shù)30 的結(jié)果與SPEM 的結(jié)果接近,說明30 階振型是能夠精確計(jì)算響應(yīng)所需階數(shù),為此本文將該算例下30 階振型認(rèn)為是可以預(yù)先確定準(zhǔn)確計(jì)算輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)所需的振型最高階數(shù),并將其作為已知條件,采用MAHEGM 計(jì)算位移功率譜并將方差列于表2 所示,顯然,MAHEGM-30 的結(jié)果也能與SPEM 的結(jié)果接近.

在工況2 和工況3 中,采用SPEM,CQC-30,TAHEGM 和MAHEGM-30 計(jì)算位移功率譜并將位移方差列于表2.表中,CQC-i是CQC 通過前i階振型計(jì)算響應(yīng)功率譜;MAHEGM-30 是MAHEGM 通過前30 階振型計(jì)算響應(yīng)功率譜;ε為相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差.由表可知,相對(duì)SPEM,CQC-30,MAHEGM-30 和TAHEGM 在這兩種工況中都可得到比較精確的結(jié)果.

表2 不同樓層位移方差Table 2 The variances of displacements at different floors

圖10 給出工況1 中各方法得到的第6 層自功率譜.由圖中曲線可知,CQC-1 明顯偏離SPEM 對(duì)應(yīng)的曲線,CQC-5 的曲線與SPEM 的曲線比較接近,TAHEGM,MAHEGM-30,和CQC-30 和SPEM 的曲線比較吻合.

圖10 在工況1 中第6 層位移自功率譜SY6Y6 (ω)對(duì)數(shù)圖Fig.10 The auto-power spectrum SY6Y6 (ω) of displacement at 6th floor in case 1 with logarithmic scale

圖11 和圖12 給出由SPEM,TAHEGM,MAHEGM-30 和CQC-30 在不同工況下的樓層位移自功率譜和互功率譜的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖.由圖中曲線可知,MAHEGM-30 和TAHEGM 與SPEM 在整個(gè)頻域區(qū)間吻合較好.

圖11 第4 層位移自功率譜SY4Y4(ω)對(duì)數(shù)圖Fig.11 The auto-power spectrum SY4Y4 (ω) of displacement at 4th floor with logarithmic scale

圖12 樓層位移的互功率譜SY3Y5 (ω)對(duì)數(shù)圖Fig.12 The cross-power spectrum SY3Y5 (ω) of displacement with logarithmic scale

除位移響應(yīng)外,文中亦對(duì)內(nèi)力響應(yīng)進(jìn)行了分析.由于直接采用振型疊加類方法計(jì)算內(nèi)力功率譜時(shí)需傳遞矩陣[23],計(jì)算過程復(fù)雜,不便于應(yīng)用,因此,文中僅給出了TAHEGM 和SPEM 的結(jié)果,如圖13 和圖14所示.從圖中可以明顯地看出TAHEGM 所得曲線與SPEM 的對(duì)應(yīng)曲線在整個(gè)頻域區(qū)間保持一致.

圖13 點(diǎn)1 的剪力功率譜對(duì)數(shù)圖Fig.13 The power spectrum of shear force at point 1 with logarithmic scale

圖14 點(diǎn)2 的彎矩功率譜對(duì)數(shù)圖Fig.14 The power spectrum of bending moment at point 2 with logarithmic scale

表3 給出了不同方法在不同工況下計(jì)算位移方差的耗時(shí)和總耗時(shí).由表可知,MAHEGM-30 的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于CQC-30.雖然MAHEGM-30 比TAHEGM有較高的計(jì)算效率,但MAHEGM 需要以振型已知為前提,對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu),MAHEGM 適用范圍將會(huì)受限.TAHEGM 的耗時(shí)明顯低于SPEM,值得指出的是TAHEGM 在工況1 中計(jì)算位移方差所消耗的時(shí)間為7579.91 s,其中在TAHEGM 中確定系數(shù)所消耗的時(shí)間為7543.38 s,計(jì)算簡(jiǎn)諧激勵(lì)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)時(shí)間為32.52 s,與激勵(lì)的功率譜對(duì)應(yīng)相乘的時(shí)間僅為0.017 s.由于TAHEGM 在工況1 中已經(jīng)存儲(chǔ)HA,k1,k2,p,q(ω),在工況2 或工況3 作用中求解時(shí)只需將HA,k1,k2,p,q(ω)與激勵(lì)功率譜矩陣對(duì)應(yīng)相乘相加即可,不需要對(duì)激勵(lì)功率譜矩陣進(jìn)行重分析.因此,在工況2 和工況3 中TAHEGM 計(jì)算每層位移方差所消耗的時(shí)間為0.017 s.因此,TAHEGM 在針對(duì)高維復(fù)雜結(jié)構(gòu)遭受多工況的響應(yīng)功率譜計(jì)算具有顯著優(yōu)勢(shì).

表3 不同方法的計(jì)算時(shí)間Table 3 The computation time of different methods

比較表2 中同一樓層在不同工況下的位移方差數(shù)值可以看出在激勵(lì)的方差相同而激勵(lì)形式不同時(shí),位移方差卻有明顯差異,相對(duì)差異最大達(dá)到69%左右,說明在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中對(duì)激勵(lì)形式的選擇需要慎重考慮,進(jìn)一步說明有必要對(duì)同一結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)參數(shù)分析.

通過圖10～ 圖14 也可以發(fā)現(xiàn)工況2 和工況3 在低頻處對(duì)響應(yīng)功率譜幅值的影響比工況1 大,說明不同的激勵(lì)形式對(duì)響應(yīng)功率譜的幅值影響也不盡相同.

5 結(jié)論

對(duì)于平穩(wěn)高斯激勵(lì)下線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)問題,針對(duì)現(xiàn)有方法必須依賴振型截?cái)嗷蚣?lì)功率譜矩陣分解的不足,本文首先推導(dǎo)了與CQC 法等價(jià)的廣義響應(yīng)分析方法,然后引入輔助的簡(jiǎn)諧激勵(lì)實(shí)現(xiàn)了其直接計(jì)算,從而形成了一類新的隨機(jī)振動(dòng)分析方法—輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法.在此基礎(chǔ)上,結(jié)合振型分解法或時(shí)域顯式法對(duì)輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)的高效求解,給出了輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的兩種高效算法.算例結(jié)果表明,輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法在保證與虛擬激勵(lì)法計(jì)算精度相當(dāng)?shù)耐瑫r(shí),其計(jì)算效率相對(duì)虛擬激勵(lì)法明顯提高,特別是針對(duì)同一結(jié)構(gòu)的多工況問題,輔助簡(jiǎn)諧激勵(lì)廣義法的整體計(jì)算效率顯著提高.

值得指出的是,盡管本文建議方法是以平穩(wěn)激勵(lì)下線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)為研究對(duì)象,但類似思路可以拓展至非平穩(wěn)激勵(lì)[37]和非線性結(jié)構(gòu)[38-39]的情形,亦是后續(xù)的研究重點(diǎn).