安軍

學(xué)習(xí)遷移理論在高等代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

安軍

（重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067）

為了促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移，防止學(xué)習(xí)負(fù)遷移，并形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，研究了學(xué)習(xí)遷移理論在高等代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用策略，提出強(qiáng)化概念的類比，強(qiáng)化定理的類比，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力，培養(yǎng)發(fā)散思維能力等具體措施．通過(guò)學(xué)習(xí)的正遷移，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)探究能力，取得了較好的教學(xué)效果．

學(xué)習(xí)遷移；類比；發(fā)散思維；探究能力；高等代數(shù)

所謂學(xué)習(xí)遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響．如果一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起到促進(jìn)作用，則稱這種遷移為正遷移；如果一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起到干擾作用，則稱這種遷移為負(fù)遷移[1～2]．遷移是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的普遍現(xiàn)象，教學(xué)中要努力促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移，防止學(xué)習(xí)負(fù)遷移，引導(dǎo)學(xué)生弄清前后知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

高等代數(shù)是研究多項(xiàng)式、矩陣、線性空間和線性變換的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，其概念和定理較多，且不少概念、定理和方法在名稱或意義上具有高度的相似性或邏輯原理一致性，很容易使學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)混淆．所以，教師要善于運(yùn)用學(xué)習(xí)遷移理論指導(dǎo)高等代數(shù)教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移；避免前后知識(shí)相互混淆，防止學(xué)習(xí)負(fù)遷移．

本文研究了學(xué)習(xí)遷移理論在高等代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用策略，提出強(qiáng)化概念的類比，強(qiáng)化定理的類比，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力，培養(yǎng)發(fā)散思維能力等具體措施，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生知識(shí)關(guān)聯(lián)、方法拓展和命題改進(jìn)等手段，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)探究能力．

1 強(qiáng)化概念的類比

在高等代數(shù)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生注意相似概念和相關(guān)概念的類比．相似概念包含3種情況：第1種是名稱相似，但其內(nèi)涵不同；第2種是名稱不同，內(nèi)涵相似，存在的背景不同；第3種是名稱不同，內(nèi)涵相似，外延不同．對(duì)于相關(guān)概念，從表面上看，概念名稱或內(nèi)涵并無(wú)相似之處，但是通過(guò)邏輯演繹發(fā)現(xiàn)，它們之間卻有高度的關(guān)聯(lián)性，甚至邏輯原理的一致性．分別舉例說(shuō)明相似概念和相關(guān)概念這2類概念如何進(jìn)行類比，恰當(dāng)運(yùn)用學(xué)習(xí)遷移理論促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移．

1.1 強(qiáng)化相似概念的類比

1.1.1 名稱相似，內(nèi)涵不同 向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)，其名稱相似，但內(nèi)涵對(duì)立．前者是說(shuō)，存在一組不全為零的數(shù)，使向量組的線性組合為零；后者是說(shuō)，是如果一個(gè)向量組的線性組合為零，則組合系數(shù)必全為零．由于概念內(nèi)涵完全相反，因此，它們的性質(zhì)也完全對(duì)立．教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生在進(jìn)行邏輯否定時(shí)，將內(nèi)涵對(duì)立的概念名稱互換．如對(duì)于命題：如果一個(gè)較多（指包含向量個(gè)數(shù)的多少）的向量組可由一個(gè)較少的向量組線性表示，則較多的向量組線性相關(guān)．其逆否命題則應(yīng)說(shuō)成，如果一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組可由另一個(gè)向量組線性表示，則無(wú)關(guān)向量組包含的向量個(gè)數(shù)不會(huì)多于另一個(gè)向量組包含的向量個(gè)數(shù)[3]．

1.1.2 名稱不同，內(nèi)涵相似，存在的背景不同 向量組的極大無(wú)關(guān)組、秩與線性空間的基、維數(shù)，這2組概念名稱不同，但內(nèi)涵相似，僅僅是概念存在的背景不同．極大無(wú)關(guān)組和秩是針對(duì)向量組而言的，基和維數(shù)是針對(duì)線性空間而言的．如果把線性空間看成是一個(gè)向量組，則基就是它的極大無(wú)關(guān)組，維數(shù)就是向量組的秩．由于概念的內(nèi)涵相似，所以在不同的背景下它們對(duì)應(yīng)的性質(zhì)是相似的．如秩和維數(shù)分別是向量組和線性空間的不變量，極大無(wú)關(guān)組和秩、基和維數(shù)分別代表了向量組和線性空間的最簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)．

圖1 矩陣等價(jià)、相似與合同的關(guān)系

1.2 強(qiáng)化相關(guān)概念的類比

在歐氏空間中，正交變換和對(duì)稱變換是2個(gè)不同的概念，但是，正交變換在任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣，對(duì)稱變換在任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是對(duì)稱矩陣，這2個(gè)性質(zhì)是相似的．

在高等代數(shù)中類似實(shí)例還很多，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生弄清這些概念在邏輯上的相似關(guān)系或等價(jià)關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

2 強(qiáng)化定理的類比

在高等代數(shù)定理的教學(xué)中要強(qiáng)化名稱相似或意義相似定理的類比，促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移．

2.1 名稱相似定理

2.2 意義相似定理

強(qiáng)化意義相似定理的類比，促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移．如關(guān)于子空間和的維數(shù)定理

直和的維數(shù)定理

歐氏空間正交補(bǔ)的維數(shù)定理

兩個(gè)有限集合元素個(gè)數(shù)的定理

3 培養(yǎng)歸納總結(jié)能力

在高等代數(shù)中往往同一個(gè)概念下導(dǎo)出多個(gè)結(jié)論，或同一個(gè)問(wèn)題有多種解法．教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法進(jìn)行歸納總結(jié)，將知識(shí)進(jìn)行壓縮，便于分類和記憶．同時(shí)加深對(duì)知識(shí)和方法的理解，形成思維定勢(shì)，促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力．

學(xué)完行列式的計(jì)算后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)行列式這章的知識(shí)重點(diǎn)是行列式的計(jì)算、克萊姆法則．總結(jié)行列式的計(jì)算方法，即化三角形法、降階法、加邊法（升階法）、分離法（分成2個(gè)行列式相加）、遞推公式法、數(shù)學(xué)歸納法等．在學(xué)完矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)則后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)并記住特殊矩陣相乘的結(jié)果，如在教材[3]中總結(jié)了應(yīng)記住的６種特殊矩陣相乘的結(jié)果．在學(xué)完初等矩陣之后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)逆矩陣的計(jì)算方法，即待定系數(shù)法、伴隨矩陣法、與單位矩陣拼在一起運(yùn)用初等行（或列）變換法．其中待定系數(shù)法通常用于低階的分塊矩陣，伴隨矩陣法通常用于低階數(shù)字矩陣，最后一種對(duì)高階數(shù)字矩陣（或分塊矩陣）而言是最好的方法．

如果學(xué)生不注意歸納總結(jié)，沒(méi)弄清各種方法適用范圍，容易前后知識(shí)干擾，造成學(xué)習(xí)負(fù)遷移．

4 培養(yǎng)發(fā)散思維能力

發(fā)散思維也稱求異思維或變異思維，是從同一來(lái)源材料或同一個(gè)問(wèn)題，探求不同方法的思維過(guò)程[4]．?dāng)?shù)學(xué)訓(xùn)練對(duì)青少年的心智、潛能的開(kāi)發(fā)是深刻且長(zhǎng)遠(yuǎn)的，而且是其它學(xué)科所不能替代的[5]，在數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)發(fā)散思維能力是開(kāi)發(fā)學(xué)生心智潛能的重要途徑之一．發(fā)散思維能力主要包括知識(shí)關(guān)聯(lián)能力、方法拓展能力和命題改進(jìn)能力．

4.1 培養(yǎng)知識(shí)關(guān)聯(lián)能力

由于線性變換空間與矩陣空間同構(gòu)，它們具有相同的代數(shù)性質(zhì)，因此，講解線性變換或向量時(shí)關(guān)聯(lián)矩陣（方陣）或坐標(biāo)；講解線性變換值域的維數(shù)關(guān)聯(lián)矩陣的秩、線性變換核空間的基關(guān)聯(lián)齊次方程的基礎(chǔ)解系等．在同構(gòu)意義下，將這些概念相互轉(zhuǎn)換可得到高等代數(shù)的幾何法與解析法間的相互等價(jià)性[6]．

4.2 培養(yǎng)方法拓展能力

教師要強(qiáng)調(diào)不能將霍爾維茲定理推廣于判定半正定二次型，即當(dāng)二次型的矩陣的各階順序主子式全部大于或等于零時(shí)不能判定該二次型是半正定二次型．

4.3 培養(yǎng)命題改進(jìn)能力

培養(yǎng)命題改進(jìn)能力，促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移．教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行思考：（1）其逆否命題如何敘述；（2）其逆命題（或否命題）是否成立；（3）改變命題條件，結(jié)論將如何改變．

也可引導(dǎo)學(xué)生思考：能否把一個(gè)對(duì)可逆矩陣成立的命題推廣到對(duì)一般方陣也成立．

例4所給出的方法通常叫矩陣攝動(dòng)法，這是將非奇異矩陣成立的命題推廣到一般矩陣成立的命題時(shí)常用的一種方法[10]．

5 結(jié)語(yǔ)

學(xué)習(xí)遷移理論是教育心理學(xué)的重要理論，教師要經(jīng)常運(yùn)用這一理論指導(dǎo)高等代數(shù)教學(xué)，強(qiáng)化前后概念的類比，強(qiáng)化定理或方法的類比，厘清它們的區(qū)別和聯(lián)系及應(yīng)用范圍．同時(shí)要注意培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，培養(yǎng)發(fā)散思維能力．引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比、歸納和總結(jié)加深對(duì)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移；避免概念、定理或方法相互混淆而出現(xiàn)學(xué)習(xí)負(fù)遷移，并通過(guò)知識(shí)關(guān)聯(lián)、方法拓展、命題改進(jìn)等手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力．

[1] 曹才翰，章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]．3版．北京：北京師范大學(xué)出版社，2014．

[2] 孔凡哲，曾崢．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2009．

[3] 安軍，蔣婭．高等代數(shù)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2016．

[4] 陳在瑞，路碧澄．?dāng)?shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]．北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1992．

[5] 李忠．?dāng)?shù)學(xué)的意義與數(shù)學(xué)教育的價(jià)值[J]．課程教材教法，2012（1）：58-62．

[6] 安軍．談高等代數(shù)的解析法與幾何法[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2019，22（4）：60-63．

[7] 安軍．矩陣秩的性質(zhì)及秩不等式的五種證法[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2020，23（4）：96-99．

[8] 黃廷祝，李永彬，何軍華．高等代數(shù)[M]．2版．北京：高等教育出版社，2016．

[9] 楊子胥．高等代數(shù)習(xí)題解：下[M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001．

[10] 姚慕生，謝啟鴻．高等代數(shù)[M]．3版．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2015．

The application of learning transfer theory in advanced algebra teaching

AN Jun

（School of Mathematics and Statistics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

In order to promote the positive transfer of learning，prevent the negative transfer of learning，and form a complete cognitive structure，the application strategy of learning transfer theory in advanced algebra teaching is studied, and specific measures are put forward such as strengthening the analogy of concepts, strengthening the analogy of theorems，cultivating the ability of induction and summary，and cultivating the ability of divergent thinking．Through the positive transfer of learning，students′ learning interest is greatly improved，their mathematical inquiry ability is cultivated，and good teaching results are obtained.

learning transfer；analogy；divergent thinking；research ability；advanced algebra

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.02.016

1007-9831（2022）02-0082-07

2021-10-08

重慶市教委高等教育教學(xué)改革研究一般項(xiàng)目（213203）

安軍（1964－），男，四川安岳人，副教授，碩士，從事高等代數(shù)教學(xué)研究. E-mail：scottan@sina.com