趙珧冰 鄭攀攀 陳林聰 康厚軍

* (華僑大學(xué)土木工程學(xué)院,福建廈門 361021)

? (福建省智慧基礎(chǔ)設(shè)施與監(jiān)測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建廈門 361021)

** (廣西大學(xué)工程力學(xué)研究中心,南寧 530004)

引言

普遍存在于自然界中的對(duì)稱性,不僅是現(xiàn)代物理學(xué)的一個(gè)核心概念,而且從分子結(jié)構(gòu)到自然景觀,從藝術(shù)作品到建筑結(jié)構(gòu),甚至詩(shī)詞歌賦,對(duì)稱性也處處體現(xiàn).振動(dòng)理論具有統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔、整齊、對(duì)稱和奇異等5 大美學(xué)特征[1],當(dāng)中蘊(yùn)含的美,一方面具有客觀存在性,同時(shí)對(duì)其認(rèn)識(shí)亦存在相對(duì)性.對(duì)稱讓一切均衡有序,結(jié)構(gòu)固有的對(duì)稱性,不但可以大幅降低動(dòng)力學(xué)建模和分析計(jì)算工作量,還可以帶來(lái)視覺(jué)上沖擊和美感.近年來(lái)隨著奇異性理論和分岔理論等不斷發(fā)展,對(duì)于結(jié)構(gòu)遭遇對(duì)稱性破缺[2]或非齊次邊界條件等問(wèn)題[3],一些奇異性現(xiàn)象逐漸被人們認(rèn)識(shí)和理解.由此可見對(duì)稱性及其破缺是結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中不可忽視的關(guān)鍵因素.

以工程中常見的索結(jié)構(gòu)為例[4],兩端水平自由懸掛的索具有明顯的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性.但是這種對(duì)稱性很容易被打破,比如:端點(diǎn)不在同一水平位置的斜拉索[5];包含非均勻分布的集中質(zhì)量[6];存在非均勻損傷[7]等.因此一旦索結(jié)構(gòu)遭遇到對(duì)稱性破缺,系統(tǒng)固有特性將或多或少發(fā)生改變,比如頻率[8-10].具體而言,水平懸索固有頻率隨著Irvine 參數(shù)[11]增大,會(huì)出現(xiàn)多個(gè)交點(diǎn),該處固有頻率相等.對(duì)于斜拉索,由于對(duì)稱性破缺,頻率間交點(diǎn)消失,從而出現(xiàn)轉(zhuǎn)向點(diǎn).此時(shí)隨著Irvine 參數(shù)不斷增大,兩固有頻率會(huì)不斷接近然后迅速分開[12].對(duì)于各類動(dòng)力系統(tǒng)或結(jié)構(gòu),當(dāng)其固有頻率相等或近似相等時(shí),系統(tǒng)有可能會(huì)出現(xiàn)明顯的模態(tài)耦合共振[13-17],能量會(huì)在模態(tài)間發(fā)生傳遞,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.已有研究表明[18-19]:對(duì)于懸索/斜拉索,兩者會(huì)呈現(xiàn)出截然不同的模態(tài)耦合共振響應(yīng).由此可見,頻率交點(diǎn)/轉(zhuǎn)向點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象豐富且復(fù)雜,倘若進(jìn)一步考慮系統(tǒng)對(duì)稱性破缺,其動(dòng)力學(xué)特性將發(fā)生更多定性和定量的改變.

索是一類典型的易損構(gòu)件[20-22],不對(duì)稱損傷是引發(fā)系統(tǒng)對(duì)稱性破缺的重要因素之一.對(duì)于受損拉索,Jiang 等[23]建立考慮鋼絲磨損和索內(nèi)腐蝕分布的斜拉索的腐蝕疲勞模型,分析了不同環(huán)境條件中拉索的腐蝕疲勞.Bouaanani[24]采用有限差分法研究損傷位置和范圍對(duì)懸索模態(tài)靈敏度影響,研究不同損傷情況下懸索的力學(xué)特性.Lepidi[25]基于受損懸索力學(xué)模型,以面內(nèi)頻率為損傷指標(biāo),識(shí)別懸索損傷.Sun 等[26]建立了腐蝕拉索靜力學(xué)模型和平面內(nèi)自由振動(dòng)的控制方程,分析表明隨著腐蝕時(shí)間增加,拉索張力、垂度和固有頻率將出現(xiàn)明顯變化.Xu 等[27]基于損傷拉索的微觀力學(xué)模型,提出了一種斷絲拉索靜、動(dòng)力特性的分析方法,考慮不同物理參數(shù),分析斷絲損傷對(duì)拉索靜動(dòng)力特性影響.王立彬等[28]通過(guò)推導(dǎo)拉索損傷后的索力和線形公式來(lái)分析損傷拉索的等效彈性模量.蘭成明等[29]對(duì)已經(jīng)服役18 年的拉索鋼絲開展研究,發(fā)現(xiàn)拉索腐蝕鋼絲的屈服強(qiáng)度和極限應(yīng)變都有所降低,腐蝕鋼絲與未腐蝕鋼絲的彈性模量基本相同.Zhu 等[30]采用同倫分析法研究斜拉梁中拉索受損后,該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

上述研究主要關(guān)注拉索疲勞或腐蝕損傷的機(jī)理,或分析損傷后的頻率、振型和索力等.對(duì)于受損懸索,經(jīng)典的對(duì)稱拋物線構(gòu)形已無(wú)法準(zhǔn)確刻畫對(duì)稱性破缺后的分段構(gòu)形.因此如何采用分段函數(shù)擬合受損系統(tǒng)的懸鏈線構(gòu)形?如何進(jìn)一步從非線性動(dòng)力學(xué)的角度去分析受損懸索的動(dòng)力學(xué)行為?尤其是對(duì)稱性破缺導(dǎo)致頻率間交點(diǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)向點(diǎn)后,受損系統(tǒng)多模態(tài)間的耦合共振響應(yīng)特性又會(huì)發(fā)生哪些定量和定性的變化?這些問(wèn)題值得進(jìn)一步探索和研究.

本文基于受損懸索面內(nèi)非線性動(dòng)力學(xué)模型,采用分段樣條曲線描述損傷后的靜態(tài)構(gòu)形,并利用多尺度法得到模態(tài)耦合共振的調(diào)諧方程.通過(guò)數(shù)值算例,探究受損懸索對(duì)稱性破缺下的耦合振動(dòng)特性.

1 數(shù)學(xué)模型

假定懸索由均勻、連續(xù)的彈性材料構(gòu)成,且只考慮索橫截面上均勻分布的拉應(yīng)力和拉應(yīng)變,忽略剪切、抗彎和扭轉(zhuǎn)剛度.損傷懸索無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下的構(gòu)形如圖1 左圖所示,采用弧坐標(biāo)s 貫穿懸索全長(zhǎng),EA 表示軸向剛度,EAd(s)表示受損后殘余軸向剛度.假設(shè)銹蝕部分的殘余截面面積相等,損傷區(qū)域?yàn)閇a1,a2],不對(duì)稱分布.L0為無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下索長(zhǎng),L 表示水平跨度,bd表示受損懸索的垂度.無(wú)損和受損的懸索的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)構(gòu)形如圖1 右圖所示,u(x,t) 和v(x,t)分別表示軸向和豎向的位移分量.

圖1 受損懸索構(gòu)形及特性Fig.1 Configurations and characteristics of the damaged suspended cable

引入以下3 個(gè)無(wú)量綱參數(shù)分別描述懸索損傷的程度、范圍和位置[7]

損傷程度在整個(gè)索長(zhǎng)上變化用分段函數(shù)表示

損傷會(huì)導(dǎo)致懸索形成新的靜力構(gòu)形,引起張力減小,垂度增大.因此本文引入懸索水平張力折減系數(shù)χ2和垂度增大系數(shù) κ2[7]:Hd=χ2H,bd=κ2b.式中Hd(H)分別表示受損(無(wú)損)懸索的初始水平張力,通過(guò)求解其靜力學(xué)平衡方程得到.

損傷會(huì)改變水平懸索的靜態(tài)構(gòu)形,倘若損傷呈現(xiàn)出明顯不對(duì)稱性,此時(shí)拋物線就無(wú)法準(zhǔn)確描述受損后的靜態(tài)構(gòu)形,因此需要采用分段樣條曲線來(lái)擬合[7].節(jié)點(diǎn)之間每段曲線都由一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)yj(x)映射.比如對(duì)于一段受損懸索的線形,可以采用三段拋物線近似表示:未損段y1(x) (0＜x＜a1),受損段y2(x)(a1＜x＜a2),未損段y3(x) (a2＜x＜L),此時(shí)節(jié)點(diǎn)處需滿足連續(xù)性條件

利用哈密頓變分原理,可得懸索面內(nèi)非線性運(yùn)動(dòng)微分方程

式中,點(diǎn)表示對(duì)t 求導(dǎo),撇表示對(duì)x 求導(dǎo),m 和cv,cu分別為單位長(zhǎng)度質(zhì)量和阻尼系數(shù),pv和Ω 為外激勵(lì)幅值和頻率.

系統(tǒng)的邊界條件和連續(xù)條件表示為

因此受損懸索面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程可以簡(jiǎn)化為

引入以下無(wú)量綱參數(shù)

可得無(wú)量綱化后的運(yùn)動(dòng)方程

采用分離變量法:v(x,t)=eiωtφ(x),忽略非線性項(xiàng)、阻尼項(xiàng)和激勵(lì)項(xiàng)等,通過(guò)線性化處理,可得

式中α1=a1/L,α2=a2/L.可知特征函數(shù)的分段解為

模態(tài)函數(shù)的邊界條件和連續(xù)性如下

將式(13)代入式(12),并將邊界條件代入式(13),可得由未知系數(shù)d1j,d2j和特征頻率ω 組成的7 × 7系數(shù)矩陣.

利用Galerkin 法對(duì)式(10)進(jìn)行離散

其中 φn(x) 表示模態(tài)函數(shù),qn(t) 為坐標(biāo)函數(shù).

將式(15)代入式(10),兩邊同時(shí)乘以 φn(x) 后從0 到L 積分,可得離散的無(wú)窮維方程

其中各項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式如附錄A 所示.

2 攝動(dòng)分析

首先將二階微分方程(16)改寫為

其中非線性系數(shù)Kij見附錄B,2K1=R2=2R4=2R5,2K2=R6=2R1=2R7,K3=R3=R8.將Aj表示為直角坐標(biāo)形式:Aj=代入式(18)可得

3 數(shù)值算例與分析

3.1 靜態(tài)構(gòu)形、頻率及模態(tài)

懸索物理參數(shù)為:L=200.0 m,A=7.069 × 10-2m2,E=200 GPa 以及ρ=7800.0 kg/m3.無(wú)量綱化后的阻尼系數(shù)分別為:μm=0.005,μn=0.006.不對(duì)稱的損傷參數(shù)為:損傷程度η=0.4、損傷范圍δ=0.3、損傷位置α=0.7.對(duì)于無(wú)損系統(tǒng),其構(gòu)形可以采用拋物線描述y(x)=(-4x2+4x)f.一旦遭遇非對(duì)稱損傷,此時(shí)對(duì)稱性破缺,需要采用樣條曲線擬合受損懸索的懸鏈線構(gòu)形.經(jīng)擬合,可以得到以下分段函數(shù)

對(duì)比上述兩組方程,由于非對(duì)稱損傷導(dǎo)致懸索構(gòu)形函數(shù)發(fā)生改變,用分段樣條曲線表示的線形將不再具有對(duì)稱性.因此本文將重點(diǎn)分析和討論對(duì)稱性破缺的動(dòng)力系統(tǒng),其線性和非線性振動(dòng)特性.

首先,圖2 給出了無(wú)損和受損懸索前六階模態(tài)頻率ω/π 和Irvine 參數(shù)λ2的關(guān)系曲線.如圖2(a)所示,對(duì)于無(wú)損結(jié)構(gòu),其模態(tài)頻率分為正對(duì)稱和反對(duì)稱兩類,且隨著Irvine 參數(shù)的不斷增大,系統(tǒng)頻率之間存在多個(gè)交點(diǎn).觀察圖2(b)可知:懸索發(fā)生不對(duì)稱損傷后,系統(tǒng)模態(tài)頻率之間交點(diǎn)將消失,其頻率軌跡會(huì)相互接近,然后迅速分開,形成頻率轉(zhuǎn)向點(diǎn).此時(shí)各階頻率ω 包含在7 × 7 的系數(shù)矩陣中,如附錄C所示.

圖2 懸索模態(tài)頻率和Irvine 參數(shù)關(guān)系曲線及其模態(tài)振型Fig.2 Relationship curves between Irvine parameter and mode frequencies and shapes

值得一提的是,此時(shí)由于模態(tài)振型不再嚴(yán)格區(qū)分正、反對(duì)稱形式,因此轉(zhuǎn)向點(diǎn)附近模態(tài)振型失去了對(duì)稱性.針對(duì)《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG/T 3360-01-2018)中對(duì)于斜拉索頻率面內(nèi)頻率計(jì)算,如果嚴(yán)格從力學(xué)概念而言,斜拉索和受損的水平懸索,由于系統(tǒng)存在對(duì)稱性破缺,其頻率和模態(tài)不宜再分為正、反對(duì)稱兩類形式.

3.2 激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線/幅頻響應(yīng)曲線

表1 給出了無(wú)損和受損懸索的參數(shù)以及非線性相互作用系數(shù).當(dāng)系統(tǒng)的兩個(gè)模態(tài)頻率接近時(shí),在外激勵(lì)作用下,能量將在不同模態(tài)間傳遞,導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生1:1 內(nèi)共振.由表1 數(shù)據(jù)可知:由于無(wú)損懸索具有對(duì)稱性,假設(shè)高階為正對(duì)稱模態(tài),低階為反對(duì)稱模態(tài),可得非線性相互作用系數(shù)K1=K2=0.而損傷懸索由于其模態(tài)振型對(duì)稱性破缺,此時(shí)K1≠0 和K2≠0.表1中部分參數(shù)正負(fù)號(hào)也出現(xiàn)了截然相反的情況,由此可見對(duì)稱性破缺后,隨著非線性相互作用系數(shù)的改變,系統(tǒng)非線性耦合動(dòng)力學(xué)行為也發(fā)生變化.此外損傷后懸索的頻率呈現(xiàn)出明顯下降的趨勢(shì),這一特點(diǎn)與溫度效應(yīng)有所區(qū)別.

表1 無(wú)損和受損懸索的參數(shù)與非線性相互作用系數(shù)Table 1 Parameters and nonlinear interaction coefficients of undamaged and damaged suspended cables

對(duì)于激勵(lì)直接作用于高階(Ω≈ω2),圖3 給出了無(wú)損和受損懸索的激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線.其中實(shí)線為穩(wěn)定解,虛線為不穩(wěn)定解,SN 和HB 分別表示鞍節(jié)點(diǎn)分岔和霍普夫分岔.如圖3(a)所示,對(duì)于無(wú)損懸索,穩(wěn)態(tài)解可以明顯分為兩類:單模態(tài)解和雙模態(tài)解(內(nèi)共振).對(duì)于前者(a1=0),隨著外激勵(lì)幅值f2不斷增加,直接激勵(lì)響應(yīng)幅值a2不斷增大.選取合適的初始條件,可以得到第二類內(nèi)共振解.此時(shí)由于內(nèi)共振而激發(fā)的低階模態(tài)響應(yīng)幅值a1明顯要大于a2.且隨著f2不斷減小,a1和a2逐漸降低,直到SN1,系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象,此處a2迅速增大,a1則直接變成0,系統(tǒng)再次出現(xiàn)單模態(tài)解.

圖3(b)給出了受損系統(tǒng)的激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線.此時(shí)系統(tǒng)不存在明顯的單模態(tài)解,隨著f2的增大,a2會(huì)不斷增加,直到0.000 8 附近,出現(xiàn)第一個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)分岔SN1,發(fā)生跳躍現(xiàn)象.同時(shí),a1也不斷增大,直到SN1.倘若f2進(jìn)一步增加,此時(shí)a2不會(huì)一直增加,而會(huì)出現(xiàn)一段飽和現(xiàn)象直至第二個(gè)霍普夫分岔HB2,能量將不斷通過(guò)內(nèi)共振的形式傳遞到低階模態(tài),導(dǎo)致a1不斷增大.倘若f2從大不斷減小直到0,對(duì)于穩(wěn)定解而言,a2由于飽和現(xiàn)象,會(huì)基本保持不變,a1則不斷減小,直到第3 個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)分岔SN3,幅值發(fā)生明顯的跳躍現(xiàn)象,迅速下降.此外選擇合適的初始條件,可以得到鞍結(jié)點(diǎn)分岔SN2與霍普夫分岔HB1之間小范圍的穩(wěn)定解.

如圖3 所示,對(duì)比無(wú)損和受損懸索的鞍結(jié)點(diǎn)分岔,懸索受損后,分岔數(shù)量增加到3 個(gè),由此導(dǎo)致跳躍現(xiàn)象增多,系統(tǒng)響應(yīng)幅值突然增大或減小變得更加頻繁,影響懸索的疲勞性質(zhì).進(jìn)而有可能導(dǎo)致懸索損傷程度、范圍和位置的進(jìn)一步擴(kuò)展和增加,嚴(yán)重影響索結(jié)構(gòu)安全.因此在索結(jié)構(gòu)的施工、運(yùn)營(yíng)與維護(hù)階段,需要及時(shí)識(shí)別索的損傷,并及時(shí)采取相應(yīng)措施進(jìn)行處理,避免由于出現(xiàn)局部損傷后不斷加劇,最終導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)安全受影響.

圖3 激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線 (f1=0,σ1=0.05 和σ2=0.2)Fig.3 Excitation response amplitude curves when f1=0,σ1=0.05 and σ2=0.2

選取外激勵(lì)幅值f2=0.002 以及內(nèi)調(diào)諧參數(shù)σ2=0.2,圖4 描述了當(dāng)外激勵(lì)直接作用于高階模態(tài)(Ω ≈ ω2)時(shí),無(wú)損和受損懸索的幅頻響應(yīng)曲線.其中實(shí)線和虛線分別為穩(wěn)定和不穩(wěn)定解,PF 為叉形分岔.

對(duì)于無(wú)損系統(tǒng),如圖4(a)所示,與激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線類似,系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出明顯的單模態(tài)解和內(nèi)共振解.此時(shí)可以觀察到兩個(gè)叉形分岔PF1和PF2.選擇一定的初始條件,系統(tǒng)會(huì)展現(xiàn)出明顯的耦合共振.當(dāng)外調(diào)諧參數(shù)σ1的不斷增加時(shí),a1和a2均會(huì)不斷減小,直到第一個(gè)霍普夫分岔HB1.此后系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定解.倘若σ1繼續(xù)增加,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)第二個(gè)霍普夫分岔HB2,此時(shí)系統(tǒng)重新出現(xiàn)穩(wěn)定解.如果σ1仍然繼續(xù)增加,a1會(huì)呈現(xiàn)增大的趨勢(shì),而a2基本不變.

圖4 幅頻響應(yīng)曲線 (f1=0,f2=0.002 和σ2=0.2)Fig.4 Frequency-response curves when f1=0,f2=0.002 and σ2=0.2

對(duì)于受損系統(tǒng),其共振響應(yīng)特性發(fā)生了顯著改變,如圖4(b)所示.隨著外調(diào)諧參數(shù)σ1從-1.0 開始不斷增大,對(duì)于穩(wěn)定解,雖然內(nèi)共振響應(yīng)幅值a1雖小,但是其并不是恒等于零,且幅頻響應(yīng)曲線中并沒(méi)有叉形分岔PF,而出現(xiàn)鞍結(jié)點(diǎn)分岔SN1,此處系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象.對(duì)于系統(tǒng)的大幅振動(dòng),一開始為不穩(wěn)定解,隨著調(diào)諧參數(shù)σ1不斷增大,直到第一個(gè)霍普夫分岔HB1,此時(shí)系統(tǒng)開始出現(xiàn)穩(wěn)定解.之后隨著σ1繼續(xù)增大,與無(wú)損系統(tǒng)類似,系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷兩個(gè)霍普夫分岔HB2和HB3,內(nèi)共振響應(yīng)幅值a1呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì).倘若σ1繼續(xù)增加,系統(tǒng)又將恢復(fù)穩(wěn)定解,直到第4 個(gè)霍普夫分岔HB4.對(duì)比圖4(a)可知:無(wú)損系統(tǒng)此時(shí)會(huì)出現(xiàn)鞍結(jié)點(diǎn)分岔SN1,導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象.由此可見,受損傷影響,在交點(diǎn)和轉(zhuǎn)向點(diǎn)附近,系統(tǒng)模態(tài)間的耦合振動(dòng)特性存在明顯的定性和定量的區(qū)別.

3.3 分岔和混沌

圖3 和圖4 中,無(wú)論是無(wú)損還是受損懸索,都存在霍普夫分岔.由于系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為在霍普夫分岔附近會(huì)發(fā)生明顯的改變,因此分別采用打靶法和Floquet 理論求解霍普夫分岔點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)解并判斷其穩(wěn)定性.圖5 給出了受損系統(tǒng)在兩個(gè)霍普夫分岔HB2和HB3間的動(dòng)態(tài)解,其中實(shí)心圓是穩(wěn)定的,空心圓是不穩(wěn)定的.顯然HB3是一個(gè)超臨界霍普夫分岔,HB1點(diǎn)首先出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解分支,隨著調(diào)諧參數(shù)σ1的減少,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)倍周期分岔PD1,表明系統(tǒng)存在通往混沌的路徑.

圖5 受損懸索霍普夫分岔點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)解 (f1=0,f2=0.002 和σ2=0.2)Fig.5 Damaged suspended cable’s dynamic solutions around two Hopf bifurcations when f1=0,f2=0.002 and σ2=0.2

在PD1附近,外調(diào)諧參數(shù)σ1從0.04 不斷減小,依次選定為0.04→0.03→0.028→0.027 78→0.027 72,圖6 給出了系統(tǒng)在對(duì)應(yīng)調(diào)諧參數(shù)變化時(shí)的相位圖.如圖所示,隨著調(diào)諧參數(shù)不斷增加,該動(dòng)力系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷周期1→2→4→8→···→混沌解.為了驗(yàn)證系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌運(yùn)動(dòng),圖7 給出了系統(tǒng)的時(shí)程曲線、相位圖、頻率譜以及龐加萊截面,并計(jì)算出系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù).由時(shí)程曲線可以看出系統(tǒng)的波形呈現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性,此時(shí)的龐加萊截面具有分形的特點(diǎn),隨機(jī)性強(qiáng).經(jīng)計(jì)算可得其最大李雅普諾夫指數(shù)為0.003 57,據(jù)此可以判定為混沌吸引子.

圖6 PD1 附近的相位圖:從周期解到混沌 (1→2→4→8→···→混沌)Fig.6 Phase portraits diagrams around PD1:from periodic motions to chaotic motions (1→2→4→8→···→chaos)

圖7 時(shí)程曲線、相位圖、頻譜以及龐加萊截面(f1=0,f2=0.002,σ1=0.027 72,σ2=0.2)Fig.7 Time history curves,phase portraits,frequency spectrums and Poincare sections when f1=0,f2=0.002,σ1=0.027 72,σ2=0.2

4 結(jié)論

水平懸索遭遇不對(duì)稱損傷后,其固有對(duì)稱性被打破,如果仍采用一段拋物線來(lái)描述受損后的線形,會(huì)出現(xiàn)細(xì)微差異.因此需采用樣條曲線擬合受損懸索的靜態(tài)構(gòu)形,利用分段函數(shù)表示;由于損傷導(dǎo)致對(duì)稱性破缺,水平懸索固有頻率之間的交點(diǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)向點(diǎn),受損前正、反對(duì)稱模態(tài)也變?yōu)槭軗p后的非對(duì)稱模態(tài);失去對(duì)稱性后,受損系統(tǒng)非線性相互作用系數(shù)亦會(huì)產(chǎn)生明顯改變,導(dǎo)致其內(nèi)共振響應(yīng)產(chǎn)生顯著改變;當(dāng)激勵(lì)直接作用在高階模態(tài)時(shí),無(wú)損系統(tǒng)呈現(xiàn)出明顯的單模態(tài)解和多模態(tài)解(即內(nèi)共振),但受損系統(tǒng)并沒(méi)有呈現(xiàn)出明顯的單模態(tài)解;損傷會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的鞍結(jié)點(diǎn)分岔數(shù)量增加,導(dǎo)致系統(tǒng)可能發(fā)生的跳躍現(xiàn)象增多,引發(fā)響應(yīng)幅值發(fā)生突變,影響索結(jié)構(gòu)的疲勞性能;受損系統(tǒng)的分岔和混沌特性會(huì)發(fā)生明顯的改變,將通過(guò)倍周期分岔產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng).

附錄A

附錄B

附錄C

7 × 7 系數(shù)矩陣中每個(gè)元素Aij分別表示為