淺析導(dǎo)體棒在磁場中的漸變運動

■河南省信陽市新縣高級中學(xué) 付培軍

導(dǎo)體棒在磁場中做切割磁感線運動時,回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電流,使得運動的導(dǎo)體棒受到一個變化的安培力作用,而做漸變運動,直至達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。這類試題的難度相對較大,對考生思維能力的要求較高,同學(xué)們在復(fù)習(xí)備考過程中需要明確這類試題涉及的知識要點,厘清這類試題的常見考查方式,掌握這類試題的基本求解方法。下面舉例分析,供同學(xué)們參考。

一、單棒的漸變運動問題的分析

單導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流,屬于力電綜合問題,涉及導(dǎo)體棒的運動性質(zhì)分析、受力情況分析、電路分析等知識要點。求解此類問題時需要綜合應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、楞次定律,以及平衡條件、牛頓第二定律、功能關(guān)系、串并聯(lián)電路規(guī)律等物理規(guī)律。

例1如圖1所示,兩根足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌ab、cd與水平面成θ=30°角固定,導(dǎo)軌間距L=1 m,電阻不計。一個阻值為R0的定值電阻與電阻箱并聯(lián)后接在兩金屬導(dǎo)軌的上端。整個裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1 T,方向垂直于導(dǎo)軌平面斜向上的勻強(qiáng)磁場中。現(xiàn)將一根質(zhì)量為m,電阻可忽略不計的金屬棒MN從圖示位置由靜止開始釋放,金屬棒MN在下滑過程中始終與導(dǎo)軌接觸良好。改變電阻箱的阻值R,測定金屬棒MN的最大速度vmax,得到

圖1

(1)求金屬棒MN的質(zhì)量m和定值電阻R0的阻值。

(2)當(dāng)電阻箱取阻值R=2 Ω,且金屬棒MN的加速度為時,求金屬棒MN的速度大小v。

解析:(1)金屬棒MN以最大速度vmax下滑時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLvmax,根據(jù)平衡條件得mgsinθ=BIL,根據(jù)閉合電路歐姆定律得,整理得,結(jié)合圖像得,解得m=0.2 kg,R0=2 Ω。

(2)金屬棒MN以速度v下滑時,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得E′=BLv,根據(jù)閉合電路歐姆定律得當(dāng)金屬圖像如圖2所示,取重力加速度g=10 m/s2。棒MN以加速度運動時,根據(jù)牛頓第二定律得mgsinθ-BI′L=ma。聯(lián)立以上各式解得v=0.5 m/s。

圖2

點評:解決單棒的漸變運動問題的關(guān)鍵是通過對導(dǎo)體棒運動狀態(tài)的分析,尋找臨界狀態(tài),確定速度、加速度取最大值或最小值的條件等。具體思路是:①先分析電路中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的電源,求出其參數(shù)E和r;②分析電路結(jié)構(gòu),弄清串、并聯(lián)關(guān)系,求出電路中的電流大小,以便求解安培力;③分析研究對象(通常是金屬棒、導(dǎo)體棒、線圈等)的受力情況,注意其所受的安培力;④根據(jù)力和運動的關(guān)系,判斷出正確的運動模型,尋找到電磁感應(yīng)過程中和研究對象在運動過程中的能量轉(zhuǎn)化和守恒關(guān)系。

二、雙棒的漸變運動問題的分析

1.無外力的情形。

兩根導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌構(gòu)成閉合回路處在磁場中,若導(dǎo)體棒具有一定的初速度,因做切割磁感線運動而在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流,通過安培力調(diào)節(jié)兩導(dǎo)體棒的運動,直至達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。兩根導(dǎo)體棒都做變加速運動,其中初動量較大的導(dǎo)體棒做加速度減小的減速運動,初動量較小的導(dǎo)體棒可能做加速度減小的加速運動,也可能先減速至停下,再反向做加速運動,直至達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。若導(dǎo)軌等寬,則最終兩導(dǎo)體棒將以相同的速度做勻速直線運動;若導(dǎo)軌不等寬,則兩導(dǎo)體棒的最終運動狀態(tài)需要具體問題具體分析。

例2如圖3所示,足夠長的光滑軌道CDEF和PQMN平行放置在水平地面上,軌道左側(cè)的寬度為2L,右側(cè)的寬度為L,軌道的水平部分處在與水平面成θ=37°角斜向左下方的勻強(qiáng)磁場中。金屬桿1、金屬桿2與軌道構(gòu)成一個回路,金屬桿1 的質(zhì)量m1=2m,電阻R1=2R,金屬桿2的質(zhì)量m2=m,電阻R2=R,回路中其余電阻不計?，F(xiàn)將金屬桿1從軌道左側(cè)h高處由靜止開始釋放,最后兩金屬桿都在水平軌道上運動,且金屬桿1未越過DQ連線。已知重力加速度為g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則下列有關(guān)敘述中正確的是( )。

圖3

解析:金屬桿1 從軌道左側(cè)h高處下滑到磁場邊界處(恰好未進(jìn)入軌道水平部分)的過程中,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得m1gh=,解得v0= 2gh。金屬桿1 剛進(jìn)入磁場做切割磁感線運動產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=2Lv0·Bsinθ,回路中的電流I=,解得,選項A 錯誤。金屬桿1進(jìn)入磁場的瞬間金屬桿2就開始運動,根據(jù)牛頓第二定律得ILBsinθ=m2a,解得,選項B 正確。金屬桿1減速時金屬桿2 加速,穩(wěn)定時回路中沒有感應(yīng)電流,此時金屬桿2的速度是金屬桿1的2倍。設(shè)穩(wěn)定時金屬桿2 的速度為v,根據(jù)動量定理得,解得,選項C 正確。整個運動過程中對金屬桿2運用動量定理得iLBΔtsinθ=m2Δv,又有q=iΔt,Δv=v-0,解得,選項D 錯誤。

答案:BC

點評:雙棒構(gòu)成閉合回路,因受到安培力的影響雙棒都做漸變運動,穩(wěn)定時雙棒不一定同速,但回路中的電流一定為零。分別對每一根導(dǎo)體棒運用動量定理,寫出動量變化量的一般表達(dá)式,再求和,往往可以求得雙棒的速度和通過導(dǎo)體棒某一橫截面的電荷量等物理量。需要注意的是雙棒所受安培力不一定滿足安培力時刻等大反向,因此動量守恒定律不一定適用。

2.有外力的情形。

兩根導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌構(gòu)成閉合回路處在磁場中,若其中一根導(dǎo)體棒受到外力作用而做切割磁感線運動,使得回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流,則通過安培力調(diào)節(jié)兩導(dǎo)體棒的運動,直至達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時兩導(dǎo)體棒都做勻加速運動;若兩根導(dǎo)體棒都受外力作用,則先以兩根導(dǎo)體棒組成的整體為研究對象進(jìn)行受力分析,找出最終的穩(wěn)定狀態(tài),再分析每一根導(dǎo)體棒在向最終的穩(wěn)定狀態(tài)漸變過程中的受力情況,寫出動量定理的表達(dá)式,然后結(jié)合其他物理規(guī)律即可求解相關(guān)物理量。

例 3如圖4所示,U 形光滑金屬框bacd置于水平絕緣平臺上,ba、cd邊足夠長,金屬框的電阻可以忽略不計。一根阻值為R的導(dǎo)體棒PQ置于金屬框上,用水平恒力F向右拉動金屬框。運動過程中裝置始終處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中,導(dǎo)體棒PQ與金屬框接觸良好且與ac邊保持平行。經(jīng)過一段時間后,金屬框和導(dǎo)體棒的v-t圖像應(yīng)是圖5中的( )。

圖4

圖5

解析:用水平恒力F向右拉動金屬框時,ac邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢對導(dǎo)體棒PQ供電,對金屬框有F-ilB=Ma1,對導(dǎo)體棒PQ有ilB=ma2,在安培力的影響下金屬框做加速度逐漸減小的加速運動,導(dǎo)體棒PQ做加速度逐漸增大的加速運動。當(dāng)金屬框的速度為v1,導(dǎo)體棒PQ的速度為v2時,回路中的電流隨著金屬框和導(dǎo)體棒速度的變化,當(dāng)時,兩者的速度差Δv恒定,回路中的感應(yīng)電流不變,之后金屬框和導(dǎo)體棒以相同的加速度做勻加速運動。因此金屬框和導(dǎo)體棒的v-t圖像應(yīng)是圖5中的C。

答案:C

點評:雙棒構(gòu)成閉合回路,導(dǎo)體棒受到外力作用,對系統(tǒng)整體而言,因有外力而具有加速度;對每一根導(dǎo)體棒而言,在外力和安培力的作用下做漸變運動。對每一根導(dǎo)體棒寫出其動力學(xué)方程或動量定理的表達(dá)式,即可分析每一根導(dǎo)體棒加速度的變化規(guī)律,進(jìn)而找到系統(tǒng)達(dá)到最終穩(wěn)定狀態(tài)時的速度和加速度的關(guān)系。

1.如圖6所示,兩根足夠長的平行光滑金屬軌道MN、PQ水平放置,軌道間距為L。現(xiàn)有一根質(zhì)量為m,長度為L的導(dǎo)體棒ab垂直于軌道跨接其上,且與軌道始終接觸良好,導(dǎo)體棒ab和軌道電阻均可忽略不計。有一個電動勢為E,內(nèi)阻為r的電源通過開關(guān)S連接到軌道左端,另有一個定值電阻R也連接在軌道上,且定值電阻R右側(cè)分布著垂直于軌道平面的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B?，F(xiàn)閉合開關(guān)S,導(dǎo)體棒ab開始運動,則下列敘述中正確的有( )。

圖6

A.導(dǎo)體棒ab做加速度逐漸減小的加速運動,達(dá)到最大速度時導(dǎo)體棒ab中無電流

B.導(dǎo)體棒ab所能達(dá)到的最大速度為

C.導(dǎo)體棒ab穩(wěn)定運動時電源的輸出功率恒定,其大小為

D.導(dǎo)體棒ab穩(wěn)定運動時電源的效率最高,其大小為

2.如圖7所示,兩根平行光滑金屬導(dǎo)軌水平固定,導(dǎo)軌電阻忽略不計,虛線ab、cd均與導(dǎo)軌垂直,在虛線ab與cd之間分布著垂直于導(dǎo)軌所在平面向下的勻強(qiáng)磁場。將兩根相同的導(dǎo)體棒PQ、MN平行于虛線ab放置在導(dǎo)軌上,兩導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好?，F(xiàn)對兩導(dǎo)體棒施加相同的恒力F,使其先后自導(dǎo)軌上同一位置由靜止開始運動。已知導(dǎo)體棒PQ進(jìn)入磁場時的加速度恰好為零。從導(dǎo)體棒PQ進(jìn)入磁場開始計時,到導(dǎo)體棒MN離開磁場為止,導(dǎo)體棒PQ的運動速度v、通過導(dǎo)體棒PQ的電流I隨時間t變化的圖像可能是圖8中的( )。

圖7

圖8

3.如圖9所示,足夠長的光滑水平導(dǎo)軌(電阻不計)處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T,導(dǎo)軌間距L=1 m,在導(dǎo)軌的右端有兩個彈性立柱,立柱與導(dǎo)軌垂直固定。質(zhì)量m2=1 kg,電阻R2=0.6 Ω 的導(dǎo)體棒2靜置于導(dǎo)軌上,與立柱的間距x1=1 m,質(zhì)量m1=2 kg,電阻R1=0.4 Ω 的導(dǎo)體棒1也靜置于導(dǎo)軌上?，F(xiàn)讓導(dǎo)體棒1 以初速度v0=5 m/s向右運動,結(jié)果導(dǎo)體棒1 向右滑行x2=5 m 時導(dǎo)體棒2恰好撞到立柱。若兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終接觸良好,所有碰撞均為彈性碰撞,則下列說法中正確的是( )。

圖9

A.導(dǎo)體棒2 第一次撞擊立柱前的速度是3 m/s

B.導(dǎo)體棒2 第一次撞擊立柱時,導(dǎo)體棒1的速度是3 m/s

C.若導(dǎo)體棒2第一次撞擊立柱后向左滑行的最大距離為0.8 m,則導(dǎo)體棒1 在導(dǎo)體棒2向左滑行的過程中向右滑行了3.2 m

D.導(dǎo)體棒2不會與立柱發(fā)生第二次碰撞

4.如圖10所示,兩根平行光滑金屬導(dǎo)軌由圓弧部分A1B1、A2B2與水平部分B1C1、B2C2構(gòu)成。導(dǎo)軌弧形部分的半徑為r,導(dǎo)體棒長度與導(dǎo)軌間距均為L,導(dǎo)軌水平部分處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。彈性導(dǎo)體棒甲、乙分別垂直于導(dǎo)軌,靜置于導(dǎo)軌圓弧頂端A1A2處和水平部分中某位置。兩導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m,電阻均為R。將導(dǎo)體棒甲從導(dǎo)軌圓弧頂端A1A2由靜止釋放,整個運動過程中兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終接觸良好,導(dǎo)軌電阻不計,取重力加速度g=10 m/s2。

圖10

(1)求導(dǎo)體棒甲剛進(jìn)入導(dǎo)軌水平部分時,導(dǎo)體棒乙的加速度大小。

(2)若兩導(dǎo)體棒勻速運動前未發(fā)生碰撞,求兩導(dǎo)體棒達(dá)到共速前通過回路的電荷量。

(3)若初始時刻導(dǎo)體棒乙與B1B2連線間的距離Δx=2 m,已知B=1 T,L=0.5 m,R=1 Ω,r=0.05 m,m=1 kg。求最后共速時兩導(dǎo)體棒的間距。

參考答案:1.AB 2.ACD 3.BC

4.(1);(2);(3)Δx′=2 m。