磁懸浮列車相關(guān)問(wèn)題賞析

■浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 李 鑫

磁懸浮列車問(wèn)題是相對(duì)獨(dú)立的一類題型,探其源頭,可以上溯到2006年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽的第5題。磁懸浮列車問(wèn)題包含了相對(duì)運(yùn)動(dòng)、受力分析、能量計(jì)算、電機(jī)補(bǔ)償?shù)茸訂?wèn)題,下面借助三道例題,將相關(guān)子問(wèn)題進(jìn)行有序排列,由易到難,幫助同學(xué)們有效練習(xí)。

例1電磁驅(qū)動(dòng)是現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)中的重要技術(shù)。如圖1所示是磁懸浮列車的電磁驅(qū)動(dòng)模型:列車軌道沿x軸方向,軌道區(qū)域內(nèi)固定一系列電阻r=0.5 Ω 的獨(dú)立線圈,每個(gè)線圈通以I0=10 A 的電流后將產(chǎn)生如圖所示的磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=1 T,相鄰區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)方向相反。固定在列車底端的金屬框abcd可視為一矩形線圈,其電阻R=0.01 Ω,ab邊的長(zhǎng)度為l,與磁場(chǎng)的寬度相同,bc邊的長(zhǎng)度L=0.5 m,平行于y軸,金屬框ad、bc兩邊總處于方向相反的磁場(chǎng)中。驅(qū)動(dòng)列車時(shí),固定在軌道上的獨(dú)立線圈依次通電,等效于金屬框所在區(qū)域的磁場(chǎng)以速度v0=12 m/s勻速向x軸正方向移動(dòng),驅(qū)使列車前進(jìn),若列車所受阻力恒為f=200 N。(提示:當(dāng)線圈與磁場(chǎng)存在相對(duì)速度v相時(shí),動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=BLv相)求:

圖1

(1)列車啟動(dòng)時(shí)刻,金屬框中感應(yīng)電流的方向和大小。

(2)列車所能達(dá)到的最大速率。

(3)當(dāng)列車以恒定速率勻速行駛時(shí),整個(gè)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)列車的效率。

解析:(1)列車啟動(dòng)時(shí)刻,根據(jù)楞次定律可知,金屬框中感應(yīng)電流的方向?yàn)閍dcba,金屬框ad、bc兩邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=2BLv0,金屬框中的感應(yīng)電流

解得I=1.2×103A。

(2)當(dāng)列車達(dá)到最大速率時(shí),有F安=f,其中F安=2BIL,又有vmax,解得vmax=10 m/s。

(3)當(dāng)列車以恒定速率勻速行駛時(shí),有P動(dòng)力=F安vmax=fvmax,P熱=2I20r+I2R,η=,解得η=80%。

點(diǎn)評(píng):求解(1)問(wèn)時(shí)要注意金屬框的左右兩條邊都在切割磁感線,兩條邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)應(yīng)該疊加。(2)問(wèn)的第一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是忽略金屬框的左右兩條邊都將受到安培力的作用,即F安=2BIL;第二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是忽略計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)應(yīng)代入磁場(chǎng)和金屬框的相對(duì)速度,而不是磁場(chǎng)的速度或金屬框的速度。(3)問(wèn)是本題的亮點(diǎn),要求考生充分思考列車在以恒定速率勻速行駛過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題,不僅要清楚使得金屬框運(yùn)動(dòng)起來(lái)的動(dòng)力的功率,還要清楚回路中產(chǎn)生的熱功率,明晰產(chǎn)生磁場(chǎng)需要外界供給電流,產(chǎn)生熱損耗。

方法提純:確定電源,識(shí)別電路,注意相對(duì)運(yùn)動(dòng)與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系;對(duì)切割磁感線的導(dǎo)體進(jìn)行受力分析時(shí),注意受到安培力的導(dǎo)體的數(shù)量;依據(jù)動(dòng)力學(xué)關(guān)系寫出相應(yīng)方程,注意達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的情況;計(jì)算功率時(shí)注意區(qū)分作用在金屬框上安培力的功率、金屬框的熱功率、外界供給電流的熱功率。

例2如圖2甲所示,間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)平行光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在同一水平面內(nèi),導(dǎo)軌左端接有阻值為R的定值電阻,質(zhì)量為m,電阻為r的金屬桿ab垂直跨接在導(dǎo)軌上,整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向豎直向下。沿水平方向施加外力F(未知量)拉金屬桿ab,使之由靜止開始運(yùn)動(dòng),電阻R兩端的電壓隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖2 乙所示,t0時(shí)刻對(duì)應(yīng)的電壓為U0。已知金屬桿ab在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力為其對(duì)地速度的k倍,設(shè)金屬桿ab在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終處于磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi),導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)。(提示:可以用F-t圖像下方的“面積”代表力F的沖量)求:

圖2

(1)t0時(shí)刻,金屬桿ab的速度。

(2)0～t0時(shí)間內(nèi),外力F的沖量I。

(3)若磁場(chǎng)有界,開始時(shí)金屬桿ab靜止在磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界處,如圖3所示?，F(xiàn)使磁場(chǎng)以速度v1勻速向右移動(dòng),則當(dāng)金屬桿ab達(dá)到恒定速度時(shí)(此時(shí)金屬桿ab處于磁場(chǎng)中),外界供給導(dǎo)軌、金屬桿ab系統(tǒng)的功率多大?

圖3

解析:(1)t0時(shí)刻,電阻R兩端的電壓為U0,設(shè)金屬桿ab的速度為v0,則金屬桿ab切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv0,根據(jù)歐姆定律得,解得。

(2)根據(jù)U-t圖像可知,電阻R兩端的電壓隨時(shí)間呈線性變化,則,即,解得,因此金屬桿ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度。根據(jù)牛頓第二定律得F-f-F安=ma,又有,解得F=ma+,因此0～t0時(shí)間內(nèi),外力F的沖量。

(3)當(dāng)金屬桿ab受到的阻力等于安培力時(shí),金屬桿ab以恒定速度v2做勻速運(yùn)動(dòng),產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BL(v1-v2),感應(yīng)電流,金屬桿ab受到的安培力F安=BIL,根據(jù)平衡條件得解得。系統(tǒng)消耗的功率包括金屬桿ab的發(fā)熱功率和克服阻力的功率,即P=I2(R+r)+kv2·v2,解得P=。

點(diǎn)評(píng):(1)(2)兩問(wèn)屬于勻變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,根據(jù)U-t圖像可以斷定金屬桿ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。因?yàn)榻饘贄Uab所受安培力和速度成正比,所以安培力和時(shí)間也成正比,為了保證金屬桿ab所受外力為恒力,施加在金屬桿ab上的拉力肯定和時(shí)間呈線性關(guān)系。(3)問(wèn)屬于磁懸浮列車問(wèn)題,著重考查功率問(wèn)題,且本題中不涉及外界供給電流問(wèn)題,因此本題中的函數(shù)表達(dá)式雖然比例1 中的復(fù)雜,但其物理過(guò)程比例1中的簡(jiǎn)潔。

例3科研人員為超高建筑物設(shè)計(jì)出了一種磁動(dòng)力電梯,其工作原理是利用移動(dòng)的磁場(chǎng)來(lái)帶動(dòng)電梯向上或向下運(yùn)動(dòng),可簡(jiǎn)化為如圖4所示的模型:PQ和MN是兩根平行豎直軌道,軌道間有垂直于軌道平面的等大反向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1和B2,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1=B2=B,兩磁場(chǎng)可以向上運(yùn)動(dòng)。電梯轎廂固定在金屬框abcd內(nèi)(轎廂未畫出)。已知電梯載人時(shí)的總質(zhì)量為m,運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力為f,金屬框ab、cd兩邊的長(zhǎng)度為L(zhǎng),兩磁場(chǎng)的寬度均與金屬框bc邊的長(zhǎng)度相同,金屬框的總電阻為R,重力加速度為g。

圖4

(1)假設(shè)兩磁場(chǎng)同時(shí)豎直向上以速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)啟動(dòng)電梯,設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t1電梯速度達(dá)到最大,求電梯向上運(yùn)行的最大速度vmax和這一過(guò)程中電梯上升的距離x。

(2)假如電梯達(dá)到最大速度vmax后向上做勻速直線運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過(guò)時(shí)間t2金屬框中產(chǎn)生的焦耳熱。

(3)假設(shè)兩磁場(chǎng)由靜止開始向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)啟動(dòng)電梯,當(dāng)兩磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t3時(shí),電梯正以速度v1向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng),求兩磁場(chǎng)開始運(yùn)動(dòng)后到電梯開始運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間t4。

解析:(1)電梯達(dá)到最大速度vmax時(shí),電梯所受合外力為零,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得,金屬框ab邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E1=BL(v0-vmax),金屬框cd邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E2=BL(v0-vmax),金屬框產(chǎn)生的總電動(dòng)勢(shì)E=E1+E2=2BL(v0-vmax),金屬框中的感應(yīng)電流,金屬框受到的安培力F安=,根據(jù)平衡條件得F安=mg+f,解得。根據(jù)動(dòng)量定理得F安t1- (mg+f)t1=mvmax,即4B2L2x=4B2L2v0t1- (mg+,解得x=。

(2)電梯達(dá)到最大速度vmax后向上做勻速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得,則經(jīng)過(guò)時(shí)間t2金屬框中產(chǎn)生的焦耳熱。

(3)為實(shí)現(xiàn)電梯向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng),其加速度必須與磁場(chǎng)由靜止開始向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度相等,設(shè)該加速度為a,在t3時(shí)刻,金屬框產(chǎn)生的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=2BL(at3-v1),金屬框中的感應(yīng)電流,對(duì)電梯應(yīng)用牛頓第二定律得,解得a=。在電梯開始運(yùn)動(dòng)的瞬間,金屬框產(chǎn)生的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=2BLat4,金屬框中的感應(yīng)電流,對(duì)電梯應(yīng)用牛頓第二定律得0,解得。

點(diǎn)評(píng):本題是磁懸浮列車問(wèn)題的進(jìn)一步變形,與前兩個(gè)例題相比有三點(diǎn)變化。第一,從水平方向上的運(yùn)動(dòng)換到了豎直方向上的運(yùn)動(dòng),分析金屬框的受力情況時(shí)不要遺忘阻力和重力;第二,前兩個(gè)例題中的磁場(chǎng)都是勻速運(yùn)動(dòng),而本題中的磁場(chǎng)可以做勻加速直線運(yùn)動(dòng),同學(xué)們需要認(rèn)識(shí)到不管磁場(chǎng)是做勻速運(yùn)動(dòng)還是做勻變速運(yùn)動(dòng),磁懸浮列車問(wèn)題關(guān)注的都是研究對(duì)象達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的情況,在穩(wěn)定狀態(tài)下,金屬框做的是勻變速運(yùn)動(dòng),且金屬框的加速度與磁場(chǎng)的加速度相同;第三,本題融入了動(dòng)量定理的應(yīng)用,需要應(yīng)用動(dòng)量定理和累積思想去求解位移。