薛雨彤，趙 罡，王愛增，何 川

直齒圓柱齒輪彎曲強度等幾何分析

薛雨彤1,2，趙 罡1,2，王愛增1,2，何 川1,2

(1. 北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京 100191；2. 北京航空航天大學虛擬現(xiàn)實技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 100191)

齒輪作為一種重要的機械零件，其設(shè)計與制造直接影響著機械設(shè)備的實際性能與工作質(zhì)量。由于齒輪的工作壽命與齒輪的最大彎曲應(yīng)力的六次方成反比，因此精準地計算齒輪齒根的彎曲強度，是延長其使用壽命的必要保證。為了更精準地實現(xiàn)齒輪的彎曲應(yīng)力的求解計算，本文提出了基于等幾何法的齒輪彎曲強度分析算法，實現(xiàn)了對平面齒輪結(jié)構(gòu)力學性能的等幾何分析，給出了對二維平面直齒圓柱齒輪的齒根彎曲強度的等幾何分析計算結(jié)果。將該方法的計算結(jié)果與傳統(tǒng)齒根彎曲應(yīng)力計算公式的理論值、基于有限元法的分析結(jié)果進行對比，結(jié)果表明等幾何分析技術(shù)在分析齒輪齒根彎曲應(yīng)力時具有較高的精度和效率，且與有限元法所得應(yīng)力場相比，其應(yīng)力場更光滑，從而為求解齒輪齒根彎曲強度問題提供一種有效的方法。

等幾何分析；有限元分析；齒輪彎曲強度；非均勻有理B樣條；線彈性分析

齒輪作為機械傳動中重要的零件之一，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域。與其他傳動方法相比，齒輪傳動具有較高地傳動精度和效率，除此之外齒輪傳動還具有傳動比精確、傳動功率范圍大及傳動平穩(wěn)等優(yōu)點。在實際工作中，由于工作條件較為復雜、工況較為惡劣，所以齒輪零件很容易出現(xiàn)故障。當齒輪的輪齒受載時，齒輪齒根處的彎曲應(yīng)力是最大的。當輪齒反復受載時，就會在齒根處產(chǎn)生疲勞裂紋，裂紋逐步擴展，最終出現(xiàn)彎曲折斷現(xiàn)象。當輪齒受到很大地沖擊載荷，可直接導致齒根折斷。因此，準確地計算齒輪齒根的彎曲應(yīng)力就顯得十分重要。但由于三維齒輪模型的外形輪廓比較復雜，傳統(tǒng)齒根彎曲計算方法的過程繁瑣，且無法真實地反映輪齒的應(yīng)力變化及變形分布情況，所以采用現(xiàn)代分析方法研究齒輪齒根彎曲強度，具有重要的現(xiàn)實意義。

目前，在求解齒輪齒根彎曲強度中應(yīng)用最廣泛的方法是有限元法，但其在仿真過程中仍存在一些問題。傳統(tǒng)有限元法中擬合幾何模型邊界的形函數(shù)為拉格朗日插值函數(shù)，此種形函數(shù)的邊界連續(xù)性不強，無法準確描述復雜曲面。等幾何分析法[1]作為一種新型的數(shù)值近似求解方法，與經(jīng)典有限元法相比，其在結(jié)構(gòu)力學分析領(lǐng)域存在巨大的優(yōu)勢。在對齒輪進行齒根彎曲強度應(yīng)力分析時，等幾何分析法使用高階的非均勻有理B樣條(non uniform rational B-spline，NURBS)基函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)有限元法的拉格朗日基函數(shù)，實現(xiàn)了對齒輪模型復雜外形輪廓的精確描述，避免了有限元法因采用分段多項式逼近邊界而產(chǎn)生的幾何誤差，從而大大提高了分析結(jié)果的精度。同時，等幾何分析法直接結(jié)合了CAD幾何模型，以NURBS基函數(shù)進行描述時，無需再進行網(wǎng)格劃分，從而大大地提高了分析的效率。

目前，對于齒輪這類工程結(jié)構(gòu)中較為復雜的三維幾何模型，在等幾何分析中的應(yīng)用還比較少，多是借助軟件平臺或有限元法進行研究，從而導致齒輪受力分析過程較繁瑣、效率較低等問題出現(xiàn)。而采用等幾何分析法對其進行研究時就能有效地解決上述問題，并更好地發(fā)揮其在幾何精確描述與結(jié)構(gòu)力學分析領(lǐng)域的優(yōu)勢。為此，本文將基于等幾何分析法研究齒輪結(jié)構(gòu)在給定負載下的齒根受力與變形情況。并將傳統(tǒng)齒輪彎曲應(yīng)力公式計算結(jié)果、等幾何分析結(jié)果和有限元分析結(jié)果進行了對比，以驗證等幾何分析結(jié)果的精準性與高效性。

1 相關(guān)工作概述

1.1 齒輪彎曲強度分析

關(guān)于齒輪齒根彎曲強度計算的研究一直都是齒輪制造行業(yè)的重要課題之一。傳統(tǒng)的齒輪齒根彎曲強度分析是建立在經(jīng)驗公式的基礎(chǔ)上進行的，其局限性和不確定性日益突出。因此，國內(nèi)外學者為了更精確地計算負載下齒輪齒根的彎曲強度，針對影響齒輪齒根彎曲強度的因素以及齒輪彎曲折斷問題進行了大量的研究。

[2]首次提出齒形系數(shù)的概念，并基于應(yīng)用材料力學中懸臂梁理論，將輪齒視為懸臂梁，推導出了計算齒根彎曲強度的Lewis公式；張偉社和馮守衛(wèi)[3]將邊界法應(yīng)用于齒根彎曲應(yīng)力計算，并提出了一種新的齒根應(yīng)力計算的簡化公式；FILIZ和EYERCIOGLU[4]在模擬接觸、分布力和集中力3種施載情況下，分別對二維單齒模型進行有限元分析并推導出新的齒根計算公式；VIJAYARANGAN和GANESAN[5]考慮了移動線載荷和沖擊載荷2種情況，對三維齒輪的齒根彎曲強度進行了有限元分析；高勇[6]則利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測齒輪的彎曲疲勞強度極限應(yīng)力，對訓練樣本參數(shù)范圍具有很高的精確度。劉本學等[7]運用SolidWorks與ANSYS Workbench Fatigue Tool對直齒圓柱齒輪進行彎曲疲勞仿真，并獲得了一些具有意義的結(jié)論。隨著研究的深入，齒輪齒根彎曲應(yīng)力的計算精度不斷提升，但上述方法并未實現(xiàn)精準描述齒輪齒廓，這阻礙了齒輪彎曲應(yīng)力計算精度和效率的進一步提升。

1.2 等幾何分析

等幾何方法自2005年提出至今，一直是計算力學方面的研究熱點，許多學者對該方法進行了大量研究，并對其應(yīng)用和發(fā)展做出了很多貢獻。如今等幾何分析法已被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學、斷裂力學、流固耦合、接觸問題等領(lǐng)域。

KIENDL等[8]基于NURBS基函數(shù)對Kirchhoff-Love殼單元建模，并對不同模型進行等幾何分析，證明其適用性；NATARAJAN等[9]將比例邊界有限元法與等幾何分析方法相結(jié)合，以解決線彈性斷裂力學中的若干問題；BAZILEVS等[10]提出一種基于NURBS曲線的等幾何流固耦合方法，并成功將其應(yīng)用于動脈血流建模和模擬中；BEINSTINGEL等[11]利用等幾何分析法，提出一種有效而準確地評估齒輪嚙合剛度當前狀態(tài)的方法，還通過示例對現(xiàn)有的研究和已建立的軟件工具進行測試，成功地驗證了該方法的準確性；陳龍等[12]使用等幾何分析法進行平面無摩擦接觸分析，針對一對單齒接觸的完整齒輪進行了等幾何接觸分析，該項研究屬于等幾何分析技術(shù)在非線性分析的應(yīng)用，而本文主要實現(xiàn)了對平面齒輪結(jié)構(gòu)力學性能的等幾何分析，屬于等幾何分析技術(shù)在二維線彈性分析的應(yīng)用。

此外，等幾何分析方法不僅限應(yīng)用于上述領(lǐng)域，還廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域，如熱力學、生物力學、電磁學等方面。

2 基于NURBS的齒輪適分析模型建模

NURBS是在B樣條的基礎(chǔ)上提出的一種更為靈活的樣條形式，可更精準地描述幾何模型。在構(gòu)造NURBS曲面時，首先需要給定曲面包含的2個方向的節(jié)點矢量、控制點和權(quán)因子等信息，然后求解B樣條的基函數(shù)，并將其帶入式(2)求解NURBS的曲面基函數(shù)，最后通過式(1)得到NURBS曲面，即

本文采用二次NURBS曲面構(gòu)建二維齒輪適分析模型。首先基于齒輪漸開線生成原理建立齒輪CAD模型，并選用CATIA V5R20作為三維直齒圓柱齒輪的參數(shù)化建模軟件，齒輪模型的基本幾何參數(shù)見表1，所得三維齒輪幾何模型如圖1所示。然后提取齒輪的下端面，以文本格式保存二維齒輪模型，并根據(jù)模型中包含的控制點和節(jié)點矢量等信息實現(xiàn)對二維齒輪模型的重構(gòu)建，所得的二維齒輪適分析模型如圖2所示。

表1 漸開線齒輪模型的基本幾何參數(shù)

圖1 三維齒輪幾何模型

圖2 二維齒輪適分析模型

3 基于等幾何法的齒輪彎曲強度分析

等幾何分析法使用的基本原理是等參元原理，所以基本框架與經(jīng)典有限元法相似，最終2種方法均可得到類似的分析結(jié)果。而2種方法的區(qū)別就在于等幾何分析以CAD中樣條理論(如B樣條、NURBS等)作為基函數(shù)，且具有非插值性，取值非負，所以幾何模型的控制點有可能不在實際物理域內(nèi)，圖3為齒輪齒根彎曲強度的等幾何分析基本流程圖。

圖3 齒輪齒根彎曲強度的等幾何分析流程圖

本文選擇MATLAB作為實現(xiàn)齒輪彎曲強度等幾何分析的計算機軟件。齒輪齒根彎曲強度的等幾何分析屬于線性靜態(tài)分析，實現(xiàn)齒輪彎曲強度的等幾何分析，首先需要定義齒輪的材料，然后選取齒輪中心孔的控制點為固定邊界條件，并選取一個輪齒的齒頂端控制點作為施力點，將均勻負載拆分成圓周力和徑向力，分別施加至齒輪齒頂控制點上。之后導入齒輪適分析模型，將齒輪模型的求解域劃分為子域，并進行參數(shù)化，同時采用節(jié)點插入的方法進行網(wǎng)格細分，引入等參概念，計算齒輪模型的基函數(shù)，并遍歷每個等幾何單元，計算其剛度矩陣，將其整合成總體的剛度矩陣，再將之前設(shè)定的負載與邊界條件帶入之，求解得到最終的分析結(jié)果，最后輸出齒輪適分析模型的等幾何應(yīng)力云圖，如圖4所示。齒輪最大彎曲應(yīng)力在左側(cè)齒根處，為141.3 MPa。

圖4 二維齒輪等幾何分析應(yīng)力云圖

4 結(jié)果分析與討論

4.1 傳統(tǒng)齒輪彎曲應(yīng)力計算法

目前應(yīng)用最廣泛的齒輪彎曲強度計算是以Lewis公式[2]為基礎(chǔ)，后經(jīng)一系列修正與校核，再添加各種修正系數(shù)所發(fā)展形成的。

Lewis公式是以材料力學知識為基礎(chǔ)，采用內(nèi)切拋物線法確定危險截面的位置，并將所有載荷作用于齒頂，從而獲得齒輪危險截面彎曲應(yīng)力，如圖5所示。由于當彎曲載荷作用在拋物線梁的頂端時，其斷面處的最大應(yīng)力值處處相等。因此可以將內(nèi)切拋物線與齒廓切點的連線看作輪齒危險截面，并在該截面處考慮輪齒的最大彎曲應(yīng)力。該方法為后續(xù)齒輪彎曲強度奠定了經(jīng)典理論基礎(chǔ)，但由于得到的彎曲應(yīng)力不夠精確，所以學者們在后續(xù)研究中，以Lewis公式為基礎(chǔ)，添加各種修正系數(shù)來修正齒輪的載荷和材料強度帶來的影響。采用修正系數(shù)后的Lewis簡化式為

計入載荷系數(shù)，應(yīng)力修正系數(shù)Y后的齒輪最大彎曲應(yīng)力可簡化為

圖5 輪齒齒頂端受力示意圖

根據(jù)齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩計算作用在輪齒上的載荷，圓周力F作用在端面上，并由齒輪副傳遞的功率確定，即

法向力F均勻作用在輪齒的齒頂端，可由圓周力F和壓力角確定，即

假定對齒輪的一個輪齒施加30 kN?m轉(zhuǎn)矩，即等同于在輪齒的齒頂端一側(cè)施加大小為1 064.17 kN，壓力角為20°的均布線載荷F。齒輪的基本參數(shù)見表1，齒輪載荷系數(shù)為1.1，齒輪齒形系數(shù)Y=2.52，Y=1.625。根據(jù)式(4)可以計算得齒輪齒根處最大彎曲應(yīng)力為150.15 MPa。

4.2 有限元分析計算結(jié)果

本文選用有限元軟件ANSYS Workbench對齒輪進行齒輪彎曲強度應(yīng)力分析。定義齒輪材料的彈性模量=2.1×105MPa，泊松比=0.3。首先采用自由網(wǎng)格劃分的方式對齒輪模型進行網(wǎng)格劃分，2次尺寸分別為0.2 mm和0.1 mm，網(wǎng)格劃分后的一次單元模型的單元數(shù)為9 060，二次單元模型的單元數(shù)為18 452。接下來施加邊界約束條件，固定齒輪中心孔，使其在，方向均不產(chǎn)生位移及旋轉(zhuǎn)。選擇靜力學分析，施加與等幾何法相同的載荷條件后，計算得到一次、二次單元齒輪齒根的最大彎曲應(yīng)力分別為137.7 MPa和139.1 MPa。2次有限元分析過程的應(yīng)力云圖分別如圖6和圖7所示。

圖6 一次有限元分析應(yīng)力云圖

圖7 二次有限元分析應(yīng)力云圖

4.3 3種方法計算結(jié)果比較

比較二次有限元和等幾何分析后齒輪應(yīng)力云圖的分布情況。首先圖中紅色代表受到應(yīng)力最大的點，也稱應(yīng)力危險點，3種分析的最大應(yīng)力點均在齒輪的齒根部位。從齒輪端面顏色變化的梯度看，總體趨勢是從輪齒外輪廓邊界開始從黃綠色逐步變成淺藍色，各個應(yīng)力大小變化的區(qū)域相似，只是數(shù)值不同，這也進一步排除了實驗的偶然性，說明3次實驗結(jié)果都是正確的。

同時，發(fā)現(xiàn)二次有限元應(yīng)力大小變化區(qū)域相似，且應(yīng)力顏色分布有比較明顯地跳躍，而等幾何應(yīng)力變化整體相對光滑。這是由于構(gòu)建齒輪等幾何模型時采用的NURBS曲面的基函數(shù)為C1連續(xù)，而構(gòu)建有限元網(wǎng)格模型時采用的拉格朗日基函數(shù)為C0連續(xù)，相比之下等幾何分析的基函數(shù)更具高階連續(xù)性，能夠更好地描述幾何邊界，這在一定程度上避免了有限元分析中因幾何模型輪廓面精度不足而導致的網(wǎng)格變形。因此在單元大小相近似時，等幾何法所形成的應(yīng)力場更光滑連續(xù)，具有更深層次的實際研究意義。

接下來，本文從具體應(yīng)力數(shù)值上進行對比，為了便于分析只對齒輪齒根的最大應(yīng)力值進行比較，見表2。

表2 3種方法計算的最大應(yīng)力點數(shù)值比較

從表2可知，有限元網(wǎng)格越細密，模型應(yīng)力危險點的最大應(yīng)力會逐漸增大，也會越趨近于等幾何分析結(jié)果。這是由于等幾何分析可看作將幾何模型劃分為了無限個單元進行分析，即網(wǎng)格精度無限高的有限元分析。所以當有限元的網(wǎng)格劃分單元越多，其齒輪最大彎曲應(yīng)力值也逐漸向等幾何分析值收斂。而且對比發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)齒根彎曲應(yīng)力計算法的結(jié)果略大于3次實驗所得最大應(yīng)力值，這是由于Lewis公式是基于材料力學中懸臂梁假設(shè)進行近似計算的，不能有效地處理齒根截面突變，這導致傳統(tǒng)齒輪彎曲應(yīng)力方法計算結(jié)果不精確，所得結(jié)果過于安全。

這雖然只是對齒輪齒根的最大危險點進行分析得出的結(jié)論，但結(jié)論中3張應(yīng)力云圖的顏色區(qū)域變化基本一致，因此可以推廣到整個模型分析中。

有限元法作為目前求解齒輪齒根彎曲強度中最有效的數(shù)值仿真方法，已在實際工程應(yīng)用中得到了廣泛的普及。但目前有限元分析中仍存在著網(wǎng)格單元劃分的低效、費時等問題，有機構(gòu)曾做過統(tǒng)計，在有限元分析中僅網(wǎng)格模型重構(gòu)這一步占用的時長就超過了總時間的50%，而分析過程僅占用了20%左右。當對高精度大型齒輪模型進行求解時，有限元分析將面臨著計算效率低下、計算成本偏高等問題。

除了在實際工作效果方面存在差異性，在總分析時間上的差異也是有限元分析與等幾何分析的一個重要區(qū)別，等幾何分析由于不需要將模型進行網(wǎng)格重構(gòu)，避免了有限元中網(wǎng)格劃分的復雜過程，所以大大縮短了分析時間，齒輪3次實驗的具體分析時長見表3。由此，進一步驗證了等幾何分析在分析效率方面高于有限元分析的結(jié)論。

表3 3次實驗總分析時長比較(s)

在分析計算齒輪齒根彎曲強度方面，傳統(tǒng)有限元法的研究已經(jīng)相當深入，并在實際工程應(yīng)用中也得到了廣泛應(yīng)用。而基于等幾何法的齒輪彎曲強度分析算法雖在精度與效率方面略有優(yōu)勢，但由于等幾何分析技術(shù)剛剛起步，目前仍未得到大范圍地推廣，其操作性也遠沒有有限元分析技術(shù)簡便。后續(xù)可結(jié)合有限元分析技術(shù)中現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)對等幾何分析技術(shù)進行創(chuàng)新與再開發(fā)，期待未來等幾何分析技術(shù)在齒輪結(jié)構(gòu)力學分析領(lǐng)域取得更大的進步。

5 結(jié)束語

本文將等幾何分析法運用于平面齒輪的彎曲強度分析，并將分析結(jié)果與傳統(tǒng)齒輪彎曲應(yīng)力解析解、有限元軟件ANSYS計算的齒輪齒根彎曲應(yīng)力最大值進行比較，驗證了等幾何分析法的精確性。通過對比有限元法和等幾何法的總時長，驗證了等幾何分析法的高效性。后續(xù)工作將等幾何分析法進一步擴展至三維齒輪的彎曲強度分析和齒輪接觸分析過程中。

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Isogeometric analysis of bending strength of spur gear

XUE Yu-tong1,2, ZHAO Gang1,2, WANG Ai-zeng1,2, HE Chuan1,2

(1. School of Mechanical Engineering & Automation, Beihang University, Beijing 100191, China; 2. State Key Laboratory of Virtual Reality Technology & Systems, Beihang University, Beijing 100191, China)

As an important mechanical part, gear is widely applied in all kinds of mechanical equipment, and its design and manufacture directly affect the actual performance and work quality of mechanical equipment. Since the working life of the gear is inversely proportional to the sixth power of the maximum bending stress value of the gear, accurate calculation of the bending strength of the gear root is a necessary guarantee to extend its service life. In order to address the bending stress of the gear more accurately, this paper proposed an algorithm of gear bending strength analysis based on isogeometric analysis method, which provided the isogeometric analysis of the mechanical properties for the two-dimensional gear structure. Compared with the traditional calculation formula of tooth root bending stress and the finite element method, our results show that the isogeometric analysis approach is of higher accuracy and efficiency in analyzing the bending stress of the gear tooth root. Compared with the stress field obtained by the finite element method, the result by the isogeometric analysis is smoother, which provides an effective method for solving the bending strength problem of gear root.

isogeometric analysis; finite element analysis; gear bending strength;non uniform rational B-spline; linear elastic analysis

23 June，2021；

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022010079

A

2095-302X(2022)01-0079-06

2021-06-23；

2021-07-19

19 July，2021

國家自然科學基金項目(61572056)；工信部2017民用飛機專項科研技術(shù)研究項目

National Natural Science Foundation of China (61572056); 2017 Special Scientific Research on Civil Aircraft Project

薛雨彤(1999–)，女，碩士研究生。主要研究方向為等幾何分析。E-mail：xyt18811733395@163.com

XUE Yu-tong (1999–), master student. Her main research interest covers isogeometric analysis. E-mail：xyt18811733395@163.com

王愛增(1982–)，男，副教授，博士。主要研究方向為幾何造型、CAE等。E-mail：azwang@buaa.edu.cn

WANG Ai-zeng (1982–), associate professor, Ph.D. His main research interests cover geometry processing, CAE, etc. E-mail：azwang@buaa.edu.cn