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      廣義四元數(shù)群上正規(guī)弧傳遞凱萊圖

      2022-03-24 09:59:22甯鴻琳潘江敏
      關(guān)鍵詞:凱萊自同構(gòu)本原

      甯鴻琳,潘江敏

      (云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650221)

      本文研究的圖都是有限連通的無(wú)向圖. 設(shè)Γ 為一個(gè)圖,我們用VΓ,EΓ,AΓ 和 Aut(Γ) 分別表示它的頂點(diǎn)集、邊集、弧集和全自同構(gòu)群,稱(chēng)Γ 的頂點(diǎn)個(gè)數(shù) |VΓ| 為 Γ 的階數(shù). 與頂點(diǎn) α 相鄰接的頂點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為α的鄰域,記為 Γ (α), 稱(chēng) |Γ(α)| 為 點(diǎn) α 的度數(shù),記為 val(α). 如果每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)都相同,則稱(chēng)Γ 為正則圖,此時(shí)圖Γ 的度數(shù) v al(Γ) 等于點(diǎn) α 的度數(shù). 設(shè)X≤Aut(Γ) 為圖Γ 的一個(gè)自同構(gòu)群,如果X在VΓ,EΓ 或AΓ 上傳遞,則分別稱(chēng)Γ 是X-點(diǎn)傳遞圖、X-邊傳遞圖或X-弧傳遞圖. 如果X分別地在VΓ,EΓ 上傳遞,但在AΓ 上不傳遞,則稱(chēng)Γ是X-半弧傳遞圖.

      給定一個(gè)群G和非空集合S?G\{1} 使得S=S-1:={s-1|s∈S},定義群G關(guān)于S的凱萊圖Cay(G,S)如下:頂點(diǎn)集為群G中的所有元素,頂點(diǎn)g與h相鄰接當(dāng)且僅當(dāng)hg-1∈S. 易知群G的右正則表示G^ 是圖Cay(G,S) 的自同構(gòu). 容易驗(yàn)證每一個(gè)群自同構(gòu) α ∈Aut(G) 可以誘導(dǎo)圖 C ay(G,S) 到圖 C ay(G,Sα) 的同構(gòu)[1].

      群與圖是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,主要內(nèi)容是應(yīng)用群的理論來(lái)研究圖論問(wèn)題及應(yīng)用圖的理論來(lái)研究群論問(wèn)題[2-8]. 凱萊圖是代數(shù)圖論中最重要的圖類(lèi)之一,凱萊圖的研究是代數(shù)圖論的中心課題之一. 從研究來(lái)看,如果不賦予高對(duì)稱(chēng)的條件(比如2-弧傳遞性),要分類(lèi)一般群上弧傳遞凱萊圖是極其困難的,學(xué)者們的研究主要是關(guān)于一些具體群類(lèi)上的凱萊圖[9-12]. 對(duì)于廣義四元數(shù)群上的凱萊圖,小度數(shù)的情形已經(jīng)得到了一些好的結(jié)果,比如:4 倍素?cái)?shù)冪階廣義四元數(shù)群上4 度凱萊圖已被完全分類(lèi),4 倍素?cái)?shù)冪階廣義四元數(shù)群上5 度連通無(wú)向凱萊圖的CI 性、正規(guī)性和弧傳遞性已被很好地刻畫(huà)[13-15],對(duì)于度數(shù)大于等于6 的情形結(jié)果很少. 本文將對(duì)廣義四元數(shù)群的正規(guī)弧傳遞凱萊圖進(jìn)行一般的研究.

      本文所使用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的. 對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n,我們用 Z2n表示 2n階循環(huán)群,用 Z*2n表示模 2n的剩余類(lèi)關(guān)于剩余類(lèi)乘法構(gòu)成的群,用 Q4n表示 4n階廣義四元數(shù)群. 對(duì)于素?cái)?shù)p和正整數(shù)r,我們用Zpr表示pr階循環(huán)群. 對(duì)于群G,我們用 o(a) 表示G中元素a的階. 對(duì)于2 個(gè)群N和H,我們用N×H表示N與H的直積,用N.H表示N被H的擴(kuò)張,如果這個(gè)擴(kuò)張是可裂的,則表示為N:H. 對(duì)于群X及其子群G,我們用 c oreX(G) 表示包含在G中X的最大正規(guī)子群.

      1 預(yù)備知識(shí)

      群G的全體自同構(gòu)構(gòu)成的群稱(chēng)為群G的全自同構(gòu)群,記作 A ut(G) . 設(shè)群G在非空集合 Ω 上有一個(gè)作用 ψ,如果群G作用在 Ω 上的核為單位元群,則稱(chēng)作用 ψ 是忠實(shí)的,此時(shí)G可視為 Ω 上的置換群.

      定義 1 設(shè)群G是非空集合 Ω 上的傳遞置換群,稱(chēng)G是 Ω 上的本原置換群,如果G作用在 Ω 上不存在非平凡的塊;稱(chēng)G是 Ω 上的擬本原置換群,如果G的每一個(gè)非平凡正規(guī)子群作用在 Ω 上都傳遞.

      易知本原置換群一定是擬本原置換群,反之則不成立. 根據(jù)O’Nan-Scott 定理,擬本原置換群可分為8 類(lèi). 特別地,如果擬本原置換群G可解,則稱(chēng)G為仿射型擬本原置換群. 仿射型擬本原置換群是本原置換群.

      定義 2 稱(chēng)圖Γ 為X-局部本原圖,如果對(duì)任意 α ∈VΓ,點(diǎn)穩(wěn)定子群

      作用在鄰域 Γ(α) 上都是本原的. 稱(chēng)圖Γ 為X-局部擬本原圖,如果對(duì)任意 α ∈VΓ, 點(diǎn)穩(wěn)定子群Xα作用在鄰域 Γ (α) 上都是擬本原的.

      定義 3 設(shè) Γ=Cay(G,S) 為X-弧傳遞凱萊圖,X≤Aut(Γ), 稱(chēng)Γ 為X-正規(guī)弧傳遞凱萊圖,如果G^ ?X. 特別地,稱(chēng)Γ 為群G上的正規(guī)凱萊圖,如果G^ ?Aut(Γ).

      定義 4 設(shè)Γ 為X-點(diǎn)傳遞圖,且X有一個(gè)在VΓ 上不傳遞的正規(guī)子群N. 定義Γ 的由N導(dǎo)出的正規(guī)商圖(記為 ΓN)的頂點(diǎn)集為N在VΓ 上的所有軌道(記為VΓN),且 ΓN的2 個(gè)頂點(diǎn)B,C∈VΓN鄰接當(dāng)且僅當(dāng)B中的某個(gè)頂點(diǎn)與C中的某個(gè)頂點(diǎn)在Γ 中鄰接. 特別地,稱(chēng)Γ 為 ΓN的正規(guī)覆蓋,如果Γ 和 ΓN的度數(shù)相同;稱(chēng)Γ 為 ΓN的正規(guī)多重覆蓋,如果B中的任意一點(diǎn)恰好與C中l(wèi)個(gè)點(diǎn)相鄰接(l與B,C的選擇無(wú)關(guān)).

      點(diǎn)傳遞且邊傳遞圖是其正規(guī)商圖的正規(guī)多重覆蓋[16]. 下面的命題是關(guān)于正規(guī)邊傳遞凱萊圖的一個(gè)重要性質(zhì).

      (2) Γ 是 ΓN的正規(guī)多重覆蓋, val(Γ)=k·val(ΓN) ,其中k=|S s∩N|,s∈S.

      引理 2[18]設(shè) Γ =Cay(G,S) 是X-正規(guī)局部本原凱萊圖,其中G^

      (1) 〈S〉=G,S中的每個(gè)元都是對(duì)合且在 A ut(G,S) 中共軛.

      (2)X1≤Aut(G,S) 作用在S上忠實(shí)且本原.

      2 主要結(jié)果

      我們先證明以下4 個(gè)引理.

      因?yàn)?-弧傳遞的凱萊圖一定是局部本原的,而局部本原的凱萊圖一定是局部擬本原的,故由定理3 可得以下推論.

      推論 1 不存在廣義四元數(shù)群上的X-正規(guī)2-弧傳遞或X-正規(guī)局部本原凱萊圖.

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