蘇大明

我們在日常生活中，經(jīng)常會看到一些看似平常卻很神奇的現(xiàn)象，汽車、火車的輪子都是圓形的，卻能在地面上平穩(wěn)地行駛，這是因為各個輪子的軸離地面接觸點(diǎn)的距離總是相等的.工人們把一箱重物放在一些斷面直徑相等的圓棍或圓管上移動（如圖1），可以達(dá)到既省力又平穩(wěn)的效果，這是因為圓不管怎樣滾動，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的.我們把與一個定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的曲線稱為等寬曲線，因而圓也是等寬曲線.顯然，等寬曲線的每個方向上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離相等.魯洛克斯曲邊三角形也是等寬曲線.

魯洛克斯三角形（如圖2）又稱“勒洛三角形”“萊洛三角形”“圓弧三角形”，是一種特殊三角形，指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，如圖3，由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為魯洛克斯三角形.魯洛克斯三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸.這一特點(diǎn)是魯洛克斯（F.Reu?leaux）在研究機(jī)械分類時發(fā)現(xiàn)的.

邊長為a 的魯洛克斯三角形的寬度為a，直徑為 a 的圓的寬度也為a，我們稱這種性質(zhì)為等寬性.用兩條平行線去夾圓弧三角形，會有兩種情況出現(xiàn)，第一種情況：如圖4，兩條平行線中一條與邊相切，一條過頂點(diǎn)，連接 AD，則 AD ⊥ l2（切線垂直于過切點(diǎn)的半徑），則兩平行線的距離為 AD =a;第二種情況：如圖5，兩條平行線分別過兩頂點(diǎn)，此時 l1與弧 AB 相切于 B，l2與弧 AC 相切于 C，所以 BC⊥ l1，BC⊥ l2，故兩平行線的距離為 BC =a .綜上，圓弧三角形具有等寬性.

同寬度的魯洛克斯三角形與圓具有一些相同的性質(zhì)：

（1）作為寬度為 a 的等寬曲線，魯洛克斯三角形或圓上任意兩點(diǎn)間的距離不會超過a .

（2）將將它們放在一個邊長為a 的正方形內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，與正方形的每條邊都有且僅有一個公共點(diǎn)（圖6、圖7），且兩條對邊的公共點(diǎn)的連線是互相垂直的.

（3）它們有相同的周長.邊長為a 的魯洛克斯三角形的周長為3× =πa，直徑為 a 的圓的周長為πa .

由于萊洛三角形在一邊長為其寬度的正方形內(nèi)轉(zhuǎn)動時，四個點(diǎn)與正方形的四條邊接觸（不一定相切）且接觸點(diǎn)的位置是不斷改變的（如圖8、圖9），機(jī)械學(xué)家萊洛也發(fā)現(xiàn)了圓弧三角形，并設(shè)計出了方孔鉆頭.

這種圓弧三角形的鉆頭鉆出來的不是標(biāo)準(zhǔn)的正方形，而是如圖10所示的圓角正方形.因為萊洛三角形的中心即正三角形的中心（三角形三條中線的交點(diǎn)），所以，當(dāng)萊洛三角形鉆頭轉(zhuǎn)動時，它的中心也不像圓孔鉆那樣固定不變，如圖11.

實際上，任何等寬曲線都可以在邊長等于曲線寬度的正方形內(nèi)緊密無間而自由地轉(zhuǎn)動;反之，可以在正方形內(nèi)緊密而自由地轉(zhuǎn)動的曲線也是等寬曲線.

受魯洛克斯三角形的啟發(fā)，我們可得到更多的等寬曲線.如以正五邊形 ABCDE 的五個頂點(diǎn)為圓心，以對角線 AC =a 之長為半徑畫五段圓弧，就可以作出一個圓弧五邊形，它便是一個寬度為a 的等寬曲線（如圖12、13所示）.類似地，還可作出圓弧七邊形、圓弧九邊形……得到各種“萊洛多邊形”，它們都是等寬曲線.

魯洛克斯的等寬曲線上有“尖點(diǎn)”，即在兩條圓弧相交處形成了角的頂點(diǎn).可以按下面的方法得到?jīng)]有任何“尖點(diǎn)”的新等寬曲線：把等邊三角形的各邊向兩個方向延長相等的一段;以3個頂點(diǎn)為圓心畫圓弧，使得3個內(nèi)角所對的圓弧的半徑，等于邊長與延長線的長度的和;內(nèi)角的對頂角所對的圓弧的半徑，等于延長線的長.由這樣的六條圓弧組成的等寬曲線就沒有“尖點(diǎn)”，因此光滑得多了（如圖14、15）.

數(shù)學(xué)家巴比埃在1860年發(fā)現(xiàn)了一個定理：所有寬度為a 的等寬曲線都有相同的周長πa，也即是都等于直徑為 a 的圓的周長（讀者不妨加以證明）.

值得注意的是，等寬曲線不只限于圓弧等寬曲線，人們已發(fā)現(xiàn)了完全不包含圓弧的等寬曲線，那是一類特殊的“卵形曲線”.因此我們可以說等寬曲線還有許多離奇奧妙的性質(zhì)和用途等待我們?nèi)パ芯堪l(fā)掘.