注重抽象建模 凸顯概念本質(zhì)
——2021年全國乙卷兩道高考題引發(fā)的思考

符強如

(新疆烏魯木齊市實驗學(xué)校 830026)

當前許多課堂被應(yīng)試需求主導(dǎo)，數(shù)學(xué)教學(xué)嚴重異化為解題的模仿與訓(xùn)練，大部分時間培養(yǎng)的只是學(xué)生進行機械運算和演繹推理的能力，很難全面且有深度地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的主要路徑.數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的涵育，離不開對概念內(nèi)涵與意義的認知和對知識發(fā)展的體驗，也離不開對知識關(guān)系結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)與掌握，以及應(yīng)用知識解決問題過程中對數(shù)學(xué)思想、精神的感悟.筆者對2021年全國高考乙卷理科第9題和第19題調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，已嚴重異化為解題模仿與訓(xùn)練的數(shù)學(xué)課堂不能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性和合理性的感悟嚴重缺乏，很難直接產(chǎn)生學(xué)習新概念的情感需求和思維需求.這種急功近利的做法只能讓學(xué)生獲得碎片化的、零散的知識記憶和僵化的思維，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習停留在機械表層,難以讓學(xué)生構(gòu)筑厚實的學(xué)習基礎(chǔ)，形成必要的探究發(fā)現(xiàn)能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)得不到有效的培養(yǎng).下面以2021年全國高考乙卷理科第9題和第19題為具體案例，在進行多角度解法研究的基礎(chǔ)上，談?wù)剬W(xué)生在解題過程中概念理解的具體形式，以及如何進行概念教學(xué)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì).

1 試題呈現(xiàn)及多視角探析

題1

(2021年全國乙卷題19)記

S

為數(shù)列{

a

}的前

n

項和，

b

為數(shù)列{

S

}的前

n

項積，已知(1)證明：數(shù)列{

b

}是等差數(shù)列；(2)略.

這道題是2021年高考全國乙卷理數(shù)第19題，從問題表述來看，表現(xiàn)樸實,題干清晰；從內(nèi)容上看，主要考查等差數(shù)列的相關(guān)知識和概念，考查考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).在與學(xué)生溝通探討中發(fā)現(xiàn)，這道題的得分不容樂觀，主要體現(xiàn)在對此題第(1)問概念理解不到位.品析第(1)問，初嘗平淡,深酌而顯深厚蘊藉,余味綿長.

視角1 “消元”角度，消去

S

.當

n

=1時，

b

=

S

，由解得當

n

≥2時，代入消去

S

，可得所以所以{

b

}是以為首項為公差的等差數(shù)列.

評析

學(xué)生需要充分利用

b

=

S

S

…

S

這一條件,但是發(fā)現(xiàn)其在常規(guī)等差等比數(shù)列的題型中思維難以突破.調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生對條件

b

=

S

S

…

S

的理解非常豐富.比如直接應(yīng)用：由可得為數(shù)列{

S

}的前

n

項積，即

b

=

S

S

…

S

故于是故從而再如變形為

b

=

b

-1·

S

(

n

≥2)的形式.具體解法有：①通過對等式兩邊同乘

b

，即得到②通過對兩邊同乘

S

·

b

，可得2

b

+

S

=2

S

·

b

，2

b

-1+1=2

b

(

n

≥2).③對變形可得因為

b

=

b

-1

S

(

n

≥2)，所以故這一思路非常簡單，但是對于創(chuàng)造性思維薄弱的學(xué)生來說更多的是直接通過等差數(shù)列定義式

b

-

b

-1=

d

(常數(shù))去證明.視角2 開門見山應(yīng)用等差數(shù)列定義式

b

-

b

-1=

d

(常數(shù)).對變形可得于是

b

-1當

n

≥2時，故于是2

S

-1=

S

-1·

S

+1，得于是所以數(shù)列{

b

}是等差數(shù)列.

評析

視角2是學(xué)生經(jīng)過新知識學(xué)習和一定量的習題訓(xùn)練后最容易想到的思路.但是當發(fā)現(xiàn)寫出

b

-

b

-1后與平時訓(xùn)練出現(xiàn)的結(jié)果不一樣時，不少學(xué)生就止步了，其實往前走一步只需要找到

S

與

S

-1的關(guān)系即可.這一問題的本質(zhì)就是學(xué)生對概念理解還不到位.這啟示我們在平時教學(xué)中要注重 學(xué)生對非常規(guī)題型的處理策略的培養(yǎng)，這樣，當非 常規(guī)題型出現(xiàn)時學(xué)生也能有豐富的處理方案,如：對等式兩邊同乘

S

，即得到當

n

≥2時，故因此=

b

-1.由可得故所以數(shù)列{

b

}是等差數(shù)列.視角3 通過等差中項2

b

-1=

b

+

b

-2(

n

≥3).由可得故于是即

b

+

b

-2=2

b

-1(

n

≥3).

評析

視角3也是在探究視角2過程中演變而來的，就是對主干條件變形過程中通過等差中項2

b

=

b

-1+

b

+1(

n

≥2)來證明.學(xué)生直接從等差中項去證明是比較困難的，但是數(shù)列的概念反應(yīng)的特征就是列數(shù)，學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)歸納法去求解，也可以先求出

S

，再求

b

.

題2

(2021年全國乙卷題9)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高.如圖1，點

E

，

H

，

G

在水平線

AC

上，

DE

和

FG

是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，

EG

稱為“表距”，

GC

和

EH

都稱為“表目距”，

GC

與

EH

的差稱為“表目距的差”，則海島的高

AB

=( ).

圖1

表高

表高

表距

表距

此題是2021年高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)第9題，主要考查正切函數(shù)的相關(guān)知識和概念.與上一題類似，此題的表述樸實清晰，但與學(xué)生溝通后發(fā)現(xiàn)，花了大量時間去梳理關(guān)系，得分卻不高，主要問題是對正切函數(shù)概念的理解層次欠缺，也缺乏數(shù)學(xué)建模的意識.其實細細品味，我們會發(fā)現(xiàn)此題的魅力.

解法1 (正切函數(shù)概念)

將題目問題抽象出圖形，如圖2，連結(jié)

DF

交

AB

于點

M

.可設(shè)∠

BHA

=∠

BDM

=

α

,∠

BCA

=∠

BFM

=

β

,則由題意可得表高.即選A.

圖2

評析

解法1由人教A版教材必修五第一章1.2節(jié)“應(yīng)用舉例”例3演變而來，就是在對正切函數(shù)概念理解深刻的基礎(chǔ)上，由概念進行數(shù)學(xué)建模的具體體現(xiàn).調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若學(xué)生對概念理解有深度，就能體現(xiàn)出解法1，但是對大部分學(xué)生而言是有難度的.與學(xué)生溝通發(fā)現(xiàn)，不少人是花費了大量時間去尋找邊之間的關(guān)系，現(xiàn)展示具體解法.

解法2 直角三角形相似

根據(jù)題目中的三角形相似可得故即整理可得即故選A.

評析

解法2主要是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系來求解，現(xiàn)在看來屬于基礎(chǔ)題.部分學(xué)生反而花了大量時間去尋找關(guān)系，有的甚至還沒有得出答案，其主要原因是學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習中的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)沒有得到發(fā)展，不能用數(shù)學(xué)視角看待現(xiàn)實的問題，在數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用學(xué)習中，沒有形成一定的知識體系.

2 概念教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)概念教學(xué)首先需要研究“為什么學(xué)習此概念”，激活學(xué)習新概念的情感需求和認知需求；其次需要研究“學(xué)習數(shù)學(xué)概念的哪些內(nèi)容”，挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及生成過程等.所以在概念教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的形成，基于其對諸多和概念相關(guān)聯(lián)知識的整體理解與認識，需要教師適當騰出時間對引入概念的必要性和歷史背景等作較詳細說明.獲得數(shù)學(xué)概念的主要思維方式是抽象與概括，而抽象與概括是一種思維的體驗和領(lǐng)悟.因而，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)盡可能多地讓學(xué)生親歷概念的抽象與概括過程，在不斷的體驗與領(lǐng)悟中將經(jīng)驗與概念、直覺與邏輯整體融合并凝聚、升華形成素養(yǎng).最重要的是要遵循知識的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生頭腦中與新知識有實質(zhì)性聯(lián)系的適當觀念，以學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中與新概念有自然的、內(nèi)在聯(lián)系的已有知識作為新概念的生長點，使新舊概念之間產(chǎn)生非人為和實質(zhì)性聯(lián)系.

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習需要數(shù)學(xué)建模思維素養(yǎng)，需要其從數(shù)學(xué)視角看問題、用數(shù)學(xué)方法處理問題的這種意識與能力，也是學(xué)以致用精神的體現(xiàn)，即在研究一個現(xiàn)實問題時，先從問題信息抽象出形式化的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)模型求解結(jié)果統(tǒng)一處理同類現(xiàn)實問題的這種思維過程.數(shù)學(xué)建模以描述客觀事物的數(shù)形特征和內(nèi)在聯(lián)系所建立的模型和眾多的數(shù)學(xué)概念、公式和定理等知識一樣，都可以廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實世界.

在概念的應(yīng)用教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生整體理解數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及其思想方法，讓學(xué)生了解問題的現(xiàn)實意義及其所蘊含的數(shù)形特征，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過聯(lián)想對問題選取適當?shù)那乙褜W(xué)的知識模型.這需要教師多引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察、發(fā)現(xiàn)并提出有意義的問題，其中往往會與已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、知識和思想方法有廣泛聯(lián)系，能讓學(xué)生更深刻理解概念內(nèi)涵、意義及作用.

3 結(jié)束語

從概念教學(xué)深化學(xué)生對概括過程的體驗與內(nèi)涵的認知來看，必須讓學(xué)生“知其然”亦“知其所以然”，不要僅停留在簡單機械的記憶與模仿.應(yīng)努力提高學(xué)生進行探究發(fā)現(xiàn)與關(guān)系建構(gòu)的能力，可以讓學(xué)生頭腦中孤立的知識形成有機體系和完整結(jié)構(gòu)，走出零散型解題教學(xué)與碎片化學(xué)習的困境，讓學(xué)生學(xué)會如何將所學(xué)知識靈活應(yīng)用于現(xiàn)實問題情境，遠離目標指向迷糊和被無意義問題填充的課堂教學(xué).唯有如此，我們的課堂才能真正優(yōu)質(zhì)高效，學(xué)生認知結(jié)構(gòu)才能更加穩(wěn)定，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育才能更深入落實.