3-李2-代數(shù)的交換擴(kuò)張

王春月，張 爽，張慶成

(1.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院應(yīng)用理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130052；2.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130118；3.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

1 預(yù)備知識(shí)

近年來(lái)，高階代數(shù)結(jié)構(gòu)備受關(guān)注.高階代數(shù)就是將已有數(shù)學(xué)概念“范疇化”，最簡(jiǎn)單的一種高階結(jié)構(gòu)是2-向量空間[1]，即范疇化的向量空間.目前，研究最廣泛的一種高階代數(shù)是李2-代數(shù)，它是在2004年由Baez等[1]提出的.李2-代數(shù)被視為李代數(shù)的范疇化.關(guān)于李2-代數(shù)已經(jīng)取得了很多重要的結(jié)果[2-5].

3-李2-代數(shù)作為3-李代數(shù)的范疇化以及李2-代數(shù)的一種推廣是近年來(lái)被提出的一類高階代數(shù).文獻(xiàn)[6]詳細(xì)闡述了3-李2-代數(shù)的基本概念及性質(zhì)，并且證明了3-李2-代數(shù)與2-項(xiàng)3-Lie∞代數(shù)一一對(duì)應(yīng)，因此3-李2-代數(shù)可由2-項(xiàng)3-Lie∞代數(shù)給出.文獻(xiàn)[7]解決了3-李2-代數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題，利用3-Leibniz代數(shù)和Rota-Baxter 3-李代數(shù)構(gòu)造了3-李2-代數(shù).本文主要研究3-李2-代數(shù)的交換擴(kuò)張問(wèn)題.本文所有的線性空間和代數(shù)均為數(shù)域K上的.

定義1[6]3-李2-代數(shù)L=(L1，L0，d，l3，l5)包括：

(ⅱ) 完全反對(duì)稱三線性映射l3：Li×Lj×Lk→Li+l+k(0≤i+j+k≤1).

(ⅲ) 多重線性映射l5：(L0∧L0)?(L0∧L0∧L0)→L1.

(ⅳ) 對(duì)于任意的x，y，xi∈L0(i=1，…，5)，a，b，c∈L1，下列等式成立：

dl3(x，y，a)=l3(x，y，da)；

(1)

l3(a，b，c)=0，l3(a，b，x)=0；

(2)

l3(da，b，x)=l3(a，db，x)；

(3)

dl5(x1，x2，x3，x4，x5)=-l3(x1，x2，l3(x3，x4，x5))+l3(x3，l3(x1，x2，x4)，x5)+
l3(l3(x1，x2，x3)，x4，x5)+l3(x3，x4，l3(x1，x2，x5))；

(4)

l5(da，x2，x3，x4，x5)=-l3(a，x2，l3(x3，x4，x5))+l3(x3，l3(a，x2，x4)，x5)+
l3(l3(a，x2，x3)，x4，x5)+l3(x3，x4，l3(a，x2，x5))；

(5)

l5(x1，x2，da，x4，x5)=-l3(x1，x2，l3(a，x4，x5))+l3(a，l3(x1，x2，x4)，x5)+
l3(l3(x1，x2，a)，x4，x5)+l3(a，x4，l3(x1，x2，x5))；

(6)

l3(l5(x1，x2，x3，x4，x5)，x6，x7)+l3(x5，l5(x1，x2，x3，x4，x6)，x7)+
l3(x1，x2，l5(x3，x4，x5，x6，x7))+l3(x5，x6，l5(x1，x2，x3，x4，x7))+
l5(x1，x2，l3(x3，x4，x5)，x6，x7)+l5(x1，x2，x5，l3(x3，x4，x6)，x7)+
l5(x1，x2，x5，x6，l3(x3，x4，x7))=l3(x3，x4，l5(x1，x2，x5，x6，x7))+
l5(l3(x1，x2，x3)，x4，x5，x6，x7)+l5(x3，l3(x1，x2，x4)，x5，x6，x7)+
l5(x3，x4，l3(x1，x2，x5)，x6，x7)+l5(x3，x4，x5，l3(x1，x2，x6)，x7)+
l5(x1，x2，x3，x4，l3(x5，x6，x7))+l5(x3，x4，x5，x6，l3(x1，x2，x7)).

(7)

若d=0(l5=0)，則稱3-李2-代數(shù)為簡(jiǎn)單的(嚴(yán)格的).

F0°d=d′°F1，

(8)

(9)

(10)

(11)

則稱F=(F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2)：L→L′是3-李2-代數(shù)同態(tài).

若F2=0，則稱F是嚴(yán)格同態(tài).

定理1[8](End(V)，δ，l2)是嚴(yán)格李2-代數(shù).

δρ1(a，x)=ρ0(da，x)，

(12)

dVρ2(x1，x2，x3，x4)=ρ0(x3，l3(x1，x2，x4))+ρ0(l3(x1，x2，x3)，x4)+
ρ0(x3，x4)ρ0(x1，x2)-ρ0(x1，x2)ρ0(x3，x4)，

(13)

ρ2(da，x2，x3，x4)=ρ1(x3，l3(a，x2，x4))+ρ1(l3(a，x2，x3)，x4)+
ρ0(x3，x4)ρ1(a，x2)-ρ1(a，x2)ρ0(x3，x4)，

(14)

ρ2(x1，x2，da，x3)=ρ1(a，l3(x1，x2，x3))+ρ1(l3(x1，x2，a)，x3)+
ρ1(a，x3)ρ0(x1，x2)-ρ0(x1，x2)ρ0(a，x3)，

(15)

ρ1(l5(x1，x2，x3，x4，x5)，x6)+ρ1(x5(l5(x1，x2，x3，x4，x6)))+
ρ0(x1，x2)ρ2(x3，x4，x5，x6)+ρ0(x5，x6)ρ2(x1，x2，x3，x4)+
ρ2(x1，x2，l3(x3，x4，x5)，x6)+ρ2(x1，x2，x5，l3(x3，x4，x6))+
ρ2(x1，x2，x5，x6)ρ0(x3，x4)=ρ0(x3，x4)ρ2(x1，x2，x5，x6)+
ρ2(l3(x1，x2，x3)，x4，x5，x6)+ρ2(x3，l3(x1，x2，x4)，x5，x6)+
ρ2(x3，x4，l3(x1，x2，x5)，x6)+ρ2(x3，x5，l3(x1，x2，x6))+
ρ2(x1，x2，x3，x4)ρ0(x5，x6)+ρ2(x3，x4，x5，x6)ρ0(x1，x2).

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

2 3-李2-代數(shù)的交換擴(kuò)張

Im(i)=Ker(p)，

定理2 在上述條件下，線性映射ρ=(ρ0，ρ1，ρ2)是L在L′上的表示.

證明由定義1、定義2和定義3直接計(jì)算可得.

證明只需證明定義4的(3)式，其他等式類似可得.任取xi∈L0(1≤i≤5)，由定義1可得，