分?jǐn)?shù)階Like-Bao系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步的整數(shù)階滑模面設(shè)計(jì)

周長(zhǎng)芹，毛北行，王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450015)

0 引言

混沌系統(tǒng)具有對(duì)初始條件及參數(shù)變化的敏感性，因而備受人們關(guān)注，其在保密通訊、信號(hào)與處理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)及控制學(xué)科等領(lǐng)域被廣為應(yīng)用.伴隨著分?jǐn)?shù)階微積分這一學(xué)科的發(fā)展，越來(lái)越多的科研人員逐漸關(guān)注到此類同步控制并把該問(wèn)題作為研究的熱點(diǎn)[1-3].文獻(xiàn)[4]進(jìn)行了分?jǐn)?shù)階Duffling系統(tǒng)混沌終端滑模同步問(wèn)題的研究；文獻(xiàn)[5]對(duì)分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的適應(yīng)轉(zhuǎn)移滑模同步問(wèn)題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[6]運(yùn)用了兩種不同的滑模方法，對(duì)分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的同步問(wèn)題進(jìn)行了探討；文獻(xiàn)[7]給出分?jǐn)?shù)階比例積分滑模面的設(shè)計(jì)與構(gòu)造；文獻(xiàn)[8]研究了一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步；文獻(xiàn)[9]對(duì)一類分?jǐn)?shù)階時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問(wèn)題進(jìn)行了研究與分析.同時(shí)，很多專家學(xué)者對(duì)Like-Bao系統(tǒng)的同步控制進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[10]基于比例積分滑模方法，對(duì)分?jǐn)?shù)階超混沌Bao系統(tǒng)同步進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[11]給出了超混沌Like-Bao系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)分析方面的研究結(jié)果；文獻(xiàn)[12]探討了一類超混沌Bao混沌系統(tǒng)的線性反饋同步問(wèn)題.本文構(gòu)造了新的整數(shù)階滑模函數(shù)以及自適應(yīng)規(guī)則，對(duì)分?jǐn)?shù)階Like-Bao混沌系統(tǒng)滑模同步問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到分?jǐn)?shù)階Like-Bao混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步的充分條件.

1 系統(tǒng)描述和主要研究結(jié)果

定義1[13]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為

分?jǐn)?shù)階Like-Bao系統(tǒng)描述為[14]

(1)

當(dāng)a=38，b=6，c=20，k=2，q=0.896時(shí)，吸引子如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)吸引子

設(shè)計(jì)從系統(tǒng)如下：

(2)

其中：φ(t)=[x1，y1，z1，ω1]T，Δfi(φ(t))為有界不確定項(xiàng)，di(t)為有界外擾.定義e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，e4=ω1-ω，從而有

(3)

假設(shè)1 存在未知常量mi，ni(mi，ni>0)，滿足|Δfi(φ(t))|≤mi，|di(t)|≤ni.

定理1 構(gòu)造滑模面si(t)=ei，控制輸入為

自適應(yīng)規(guī)則為

因?yàn)閟i(t)=ei，故

整數(shù)階Like-Bao混沌系統(tǒng)可描述為

(4)

從系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(5)

其中：φ(t)=[x1，y1，z1，ω1]T，Δfi(φ(t))為有界不確定項(xiàng)，di(t)為有界外擾.定義e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，e4=ω1-ω，從而有

(6)

定理2 構(gòu)造滑模面si(t)=ei，控制輸入

自適應(yīng)規(guī)則為

由于si(t)=ei，故

兩邊積分得

由引理3得到si(t)→0，從而ei(t)→0.

2 數(shù)值仿真

定理1與定理2的誤差分別見(jiàn)圖2與圖3.通過(guò)觀察可得，初始時(shí)誤差較大，與原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)，但隨后誤差曲線距離原點(diǎn)越來(lái)越近并且逐漸趨于一致.

圖2 定理1的系統(tǒng)誤差

圖3 定理2的系統(tǒng)誤差

3 結(jié)論

通過(guò)構(gòu)造一種整數(shù)階滑模函數(shù)和自適應(yīng)控制規(guī)則，對(duì)不確定分?jǐn)?shù)階Like-Bao系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題進(jìn)行了研究，得出了系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步的兩個(gè)充分條件.結(jié)論說(shuō)明在滿足一定條件的前提下，不確定分?jǐn)?shù)階Like-Bao混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)可取得自適應(yīng)滑模同步.MATLAB仿真技術(shù)也驗(yàn)證了這一結(jié)論.