Schr?dinger方程解的點態(tài)收斂性

胡 蘭

（湖南工程學(xué)院 計算科學(xué)與電子學(xué)院，湘潭 411104）

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)f∈L2(Rn)，n≥1.f的Fourier變換為：

Carleson［1］最早研究了u(x,t)的幾乎處處收斂性.他證明了：若n=1，f(x)∈Hs(R)且s≥1/4，那么當(dāng)t→0+時u(x,t)幾乎處處收斂于f(x).同時，他構(gòu)造了f(x)，u(x,t)幾乎處處無界發(fā)散.之后，Dahlberg和Kenig［2］指出s≥1/4是充要條件.當(dāng)n=2時，Sj?lin、Bourgain、Moyua-Vargas-Vega等討論了u(x,t)的幾乎處處收斂性［3-5］.基于拋物面的雙線性限制性估計理論的發(fā)展，Tao-Vargas［6］和Tao［7］分別在s＞15/32與s＞2/5的條件下證明了收斂性.而更進(jìn)一步，Lee［8］把正則性條件減弱為s＞3/8.當(dāng)n＞2，Bourgain［9］指出收斂性成立的條件是s＞1/2-1/(4n).在這些文獻(xiàn)中，研究者都是把收斂性的證明轉(zhuǎn)化為算子有界性來證明.施咸亮［10］討論了n=1時的情形，給出了另一種形式的幾乎處處收斂的判別法.為了陳述他的結(jié)果，先介紹一些概念.

定義1.設(shè)f是R上的局部可積函數(shù).x∈R是f的一個Lebesgue點，如果-f(x)|du=0.

定義2.設(shè)Λ={}λk為給定的正的遞增數(shù)列，且Σ1/λk=∞.對于R上任意的緊區(qū)間I和f(x)∈L(I)定義：

μI(f)=若{Ik}為R上不重疊區(qū)間列，f(x)在R上局部可積，且

其中ω(u)是定義在[0,+∞)上的非負(fù)函數(shù).

將證明下述定理.

定理1.設(shè)f(x)∈L2(R)有緊支集，ω(u)=uα-1，0＜α＜1/2.那么當(dāng)λ→+∞時，在f(x)的Lebesgue點Sω,λ(f,x)收斂于f(x).

定理1改進(jìn)了定進(jìn)A和定理B，使收斂性成立由ΛBMVc(R)空間擴展為L2(R).函數(shù)f∈ΛBMVc(R)是較難判別的，但函數(shù)f∈L2(R)容易判別.

2 相關(guān)引理

3 定理的證明

最后由（8），（29），（30）式，定理得證.