成層土朗肯土壓力分段函數(shù)方式計(jì)算方法

呂建源

（中鐵七局集團(tuán)有限公司勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，鄭州 450016）

0 引言

朗肯土壓力理論是著名的古典土壓力理論，由英國(guó)學(xué)者朗肯（Rankine W J M）于1857年提出.其概念明確，方法簡(jiǎn)便，被廣泛用于擋土墻、基坑支檔中土壓力計(jì)算.在均質(zhì)土中，朗肯主動(dòng)土壓力計(jì)算方法簡(jiǎn)單明了；在成層土中，其計(jì)算方法明確，但計(jì)算煩瑣，不便于應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件自動(dòng)化計(jì)算和土壓力隨土層深度函數(shù)化圖形展示.任傳健和賈洪彪［1］研究了非飽和土對(duì)朗肯土壓力的影響.巨永前、汪洋等［2-3］在降雨和蒸發(fā)條件下，對(duì)非飽和土朗肯土壓力計(jì)算進(jìn)行了研究.鮮有對(duì)工程中常見(jiàn)成層土朗肯土壓力計(jì)算方法的研究.本文從計(jì)算方法的角度，基于分段函數(shù)和積分上限函數(shù)探討成層土朗肯土壓力的計(jì)算方法，并以Maple軟件為工具進(jìn)行工程實(shí)例計(jì)算.

1 成層土的朗肯主動(dòng)土壓力計(jì)算

1.1 成層土主動(dòng)土壓力計(jì)算方法

根據(jù)朗肯主動(dòng)土壓力原理［4］，可得在土層深度z處作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯主動(dòng)土壓力的計(jì)算公式為：

式中，pa(z)為土層深度z處朗肯主動(dòng)土壓力；Ka(z)為土層深度z處朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)；σ(z)為土層深度z處土的自重應(yīng)力.pa(z)、Ka(z)和σ(z)均為土層深度z的函數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯總主動(dòng)土壓力Ea(H)可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù)；zi-1為第i層土的層頂深度；zi為第i層土的層底深度.

1.2 成層土參數(shù)的分段函數(shù)表示方法

實(shí)際工程中，成層土各土層的內(nèi)摩擦角φ、黏聚力c和天然重度γ變化很小，其變化可忽略不計(jì)，可視其為常值.故墻高H深度范圍內(nèi)各層土的性質(zhì)參數(shù)均可表示為土層深度z的分段函數(shù)，則摩擦角函數(shù)φ(z)、黏聚力函數(shù)c(z)和天然重度函數(shù)γ(z)分別為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

以上函數(shù)顯然有第一類(lèi)間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)，且在各分區(qū)區(qū)間為常值函數(shù).各層土參數(shù)的分段函數(shù)的分段區(qū)間相同，由它們組成的復(fù)合函數(shù)也為分段函數(shù)，且分段區(qū)間不變［5］.各層土的朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)可表示為土層深度z的函數(shù)，即Ka是tan2(45°-)和φ(z)的復(fù)合函數(shù).

每層土的內(nèi)摩擦角φ為常值，其土壓力系數(shù)Ka亦為常值，則Ka(z)為有第一類(lèi)間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)，且在各分區(qū)區(qū)間為常值函數(shù).

土層深度z處土的自重應(yīng)力為其上全部土層的重力之和，即γ(z)函數(shù)的積分上限函數(shù)［6］，且為分段函數(shù)的積分上限函數(shù)［7］，則有：

式中，n為計(jì)算土層深度z范圍內(nèi)總土層數(shù)；zn為計(jì)算土層深度z范圍內(nèi)最底層土的層底深度，數(shù)值上與z相等.

土層深度z處土的自重應(yīng)力函數(shù)σ(z)前n-1項(xiàng)均為常數(shù)，即第i項(xiàng)為γi(zi-zi-1)，其中i≤n-1；第n項(xiàng)為γn(z-zn-1)，是計(jì)算土層深度z的線性函數(shù).易得σ(z)為分段函數(shù)，且為線性折線函數(shù)，單調(diào)遞增［8］.

1.3 無(wú)黏性成層土的土壓力計(jì)算的分段函數(shù)方法

根據(jù)朗肯主動(dòng)土壓力原理，由1.2節(jié)可得，在土層深度z處作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯主動(dòng)土壓力的計(jì)算公式為：

式中，n為計(jì)算土層深度z范圍內(nèi)總土層數(shù).

易得pa(z)為有第一類(lèi)間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)，且在各分區(qū)區(qū)間為線性函數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯總主動(dòng)土壓力為墻高范圍內(nèi)土壓力的合力，即pa(z)在區(qū)間[0,H]內(nèi)的積分［9］，可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

1.4 黏性成層土的土壓力計(jì)算的分段函數(shù)方法

根據(jù)朗肯主動(dòng)土壓力原理，由1.2節(jié)可得，黏性成層土的主動(dòng)土壓力為

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

在黏性成層土中，由于黏聚力c的存在，填土與墻背間有z0深度的裂縫.裂縫深度可能在第一層土之內(nèi)；也可能貫穿第一層土，進(jìn)入以下土層.裂縫深度z0處土壓力為0，即pa(z)=0，則有：

（1）z0在第一層土內(nèi)時(shí)：

（2）z0在第二層土內(nèi)時(shí)：

（3）z0在第三層土內(nèi)時(shí)：

（4）z0在第i層土內(nèi)時(shí)：

式中，Kai為第i層土的主動(dòng)土壓力系數(shù).

實(shí)際工程中，z0常在第一層或第二層土中.若墻高為H，則作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯總主動(dòng)土壓力為z0以下墻高范圍內(nèi)土壓力的合力，即pa(z)在區(qū)間[z0,H]內(nèi)的積分，可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù)，j為裂縫深度z0所在土層數(shù).

2 成層土的朗肯被動(dòng)土壓力計(jì)算

2.1 成層土被動(dòng)土壓力計(jì)算方法

根據(jù)朗肯被動(dòng)土壓力原理［4］，可得在土層深度z處作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯被動(dòng)土壓力的計(jì)算公式為：

式中，pp(z)為土層深度z處朗肯被動(dòng)土壓力；Kp(z)為土層深度z處朗肯被動(dòng)土壓力系數(shù)；σ(z)為土層深度z處土的自重應(yīng)力.pp(z)、Kp(z)和σ(z)均為土層深度z的函數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯總被動(dòng)土壓力Ep(H)可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù)，zi-1為第i層土的層頂深度，zi為第i層土的層底深度.

2.2 成層土被動(dòng)土壓力系數(shù)的分段函數(shù)表示方法

由1.2節(jié)可得，各層土參數(shù)的分段函數(shù)的分段區(qū)間相同，它們組成的復(fù)合函數(shù)也為分段函數(shù)，且分段區(qū)間不變.各層土的朗肯被動(dòng)土壓力系數(shù)可表示為土層深度z的函數(shù)，即Kp=tan2(45°+)和φ(z)的復(fù)合函數(shù)，可得：

每層土的內(nèi)摩擦角φ為常值，其土壓力系數(shù)Kp亦為常值，則Kp(z)為有第一類(lèi)間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)，且在各分區(qū)區(qū)間為常值函數(shù).

2.3 無(wú)黏性成層土被動(dòng)土壓力計(jì)算的分段函數(shù)方法

根據(jù)朗肯被動(dòng)土壓力原理，由2.2節(jié)可得，在土層深度z處作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯被動(dòng)土壓力的計(jì)算公式為：

式中，n為計(jì)算土層深度z范圍內(nèi)總土層數(shù).

易得pp(z)為有第一類(lèi)間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)，且在各分區(qū)區(qū)間為線性函數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯總被動(dòng)土壓力為墻高范圍內(nèi)土壓力的合力，即pp(z)在區(qū)間[0,H]內(nèi)的積分，可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中：n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

2.4 黏性成層土被動(dòng)土壓力計(jì)算的分段函數(shù)方法

根據(jù)朗肯被動(dòng)土壓力原理，由2.2節(jié)可得，在土層深度z處作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯被動(dòng)土壓力的計(jì)算公式為：

式中，n為計(jì)算土層深度z范圍內(nèi)總土層數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長(zhǎng)度上的朗肯總被動(dòng)土壓力為墻高范圍內(nèi)土壓力的合力，即pp(z)在區(qū)間[0,H]內(nèi)的積分，可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

3 工程實(shí)例

3.1 常規(guī)分層法土壓力計(jì)算

某城市主干道下穿京廣鐵路，主體結(jié)構(gòu)為地道橋，采用頂推法施工.根據(jù)設(shè)計(jì)縱斷面，路基最大設(shè)計(jì)挖深8.5 m.施工時(shí)，考慮地道橋底板和滑板影響，最大挖土深度為11.5 m.由于項(xiàng)目位于城區(qū)，不具備放坡條件，施工防護(hù)時(shí)需計(jì)算不同挖深的主動(dòng)土壓力，以便采用不同的防護(hù)形式.地質(zhì)情況及分層法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1，其中z0=2.58 m.

表1 土壓力計(jì)算表

3.2 分段函數(shù)法土壓力計(jì)算

采用Maple軟件以分段函數(shù)法進(jìn)行朗肯主動(dòng)土壓力計(jì)算.由土的參數(shù)到自重應(yīng)力和土壓力系數(shù)，再到土壓力，最后到總土壓力，需要數(shù)次分段函數(shù)的復(fù)合和積分，在計(jì)算總土壓力時(shí)，純代數(shù)計(jì)算方式將導(dǎo)致軟件運(yùn)行緩慢.在每次函數(shù)復(fù)合和積分時(shí)用simplify()命令使各中間參數(shù)的分段函數(shù)數(shù)值化，能避免軟件計(jì)算的復(fù)雜性.經(jīng)過(guò)計(jì)算，本案例土壓力以土層深度z為自變量的數(shù)值函數(shù)，其表達(dá)式為：

墻高為H時(shí)，總土壓力以墻高H為自變量的數(shù)值函數(shù)為：

用朗肯主動(dòng)土壓力函數(shù)pa(z)和朗肯主動(dòng)總土壓力函數(shù)Ea(H)求得的主動(dòng)土壓力，與分層法計(jì)算的主動(dòng)土壓力結(jié)果一致.

若墻高為H時(shí)，基于作用在單位墻長(zhǎng)上的總土壓力在作用點(diǎn)處擋墻上下方墻身的土壓力相等的事實(shí)，即可利用Maple求解方程得作用點(diǎn)到墻頂?shù)木嚯xh，則作用點(diǎn)在H-h處.若H=15 m時(shí)，解得h=11.48 m，則總土壓力合力作用點(diǎn)在3.52 m處.

4 結(jié)語(yǔ)

（1）基于朗肯土壓力原理，推導(dǎo)出成層土的單位墻長(zhǎng)上土壓力pa(pp)和總土壓力Ea(Ep)的代數(shù)表達(dá)式.

（2）基于pa(z)=0，求得朗肯主動(dòng)土壓力計(jì)算時(shí)墻頂裂縫深度z0的代數(shù)表達(dá)式.

（3）利用作用在單位墻長(zhǎng)上的總土壓力在作用點(diǎn)處擋墻上下方墻身的土壓力相等的事實(shí)，給出了求土壓力作用點(diǎn)的計(jì)算方法.