一道平衡問(wèn)題的多角度分析

謝汝成

摘 要：本文通過(guò)由淺入深的五種解法處理一道常見(jiàn)的平衡問(wèn)題，幫助學(xué)生總結(jié)歸納平衡問(wèn)題的一般解法的同時(shí)向?qū)W生滲透能量和力矩的方式解決特殊力學(xué)平衡問(wèn)題的思維.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);相似三角形;轉(zhuǎn)動(dòng)平衡;勢(shì)能函數(shù);元功法

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0127-03

題目 如圖1所示，一個(gè)半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的內(nèi)表面光滑.一根輕質(zhì)桿的兩端固定有兩個(gè)小球，質(zhì)量分別是m1、m2.當(dāng)它們靜止時(shí)，m1、m2與球心的連線跟水平面分別成60°、30°角，則兩小球質(zhì)量m1與m2的比值是（? ）.

A.3∶2 B.3∶1

C.2∶1 D.2∶3

解法一：正弦定理解法

當(dāng)物體受到三個(gè)共點(diǎn)力平衡時(shí)，三個(gè)力可成一個(gè)閉合三角形，通過(guò)題干所給條件去尋找到各力夾角之間的關(guān)系，最后利用正弦定理列出各個(gè)力大小關(guān)系方程求解.

解析 對(duì)物體受力分析，并分別做出兩物體受力平衡三角形，如圖2所示.由正弦定理可列方程對(duì)m1∶m1gsin45°=Fsin30°，對(duì)m2∶m2gsin45°=Fsin60°，由以上兩式可得m1m2=3

注：該方法作為處理平衡問(wèn)題的基本辦法之一，思維方法學(xué)生易于理解，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，是解決三力平衡問(wèn)題的常用解法.

解法二：相似三角形解法

相似三角形解法就是構(gòu)建一個(gè)物體受力閉合三角形和另外一個(gè)相似的幾何三角形，在兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊比例一定的情況下，通過(guò)分析幾何三角形的邊長(zhǎng)即可求解或判斷出對(duì)應(yīng)力的大小和大小的變化.

解析 對(duì)物體受力分析，并分別做出兩物體受力平衡三角形，如圖3所示，取兩小球所在位置為A點(diǎn)和B點(diǎn)，過(guò)圓心O向AB做豎直線，交AB于C點(diǎn).此時(shí)不難發(fā)現(xiàn)：

m1受力三角形與幾何三角形OAC相似，有m1gOC=FAC

m2受力三角形與幾何三角形OBC相似，有m2gOC=FBC

又因?yàn)闂U對(duì)兩個(gè)物體彈力等大，由以上兩式可得m1m2=BCAC

為計(jì)算兩端線段長(zhǎng)度的比例關(guān)系，如圖4所示，過(guò)B點(diǎn)向OC做垂線并交于D點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)向OC做垂線并交于OC延長(zhǎng)線上的E點(diǎn)

在△OBD中BD=Rsin60°

在△OBC中BC=BDcos15°，BC=Rsin60°cos15°

在△OAE中AC=AEcos15°，

在△OAC中AE=Rsin30°，AC=Rsin30°cos15°

以上各式聯(lián)立可得

m1m2=BCAC=sin60°sin30°=3

注：大部分學(xué)生對(duì)相似三角形解法的認(rèn)識(shí)通常停留在分析動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中各力大小變化情況階段，教師可以通過(guò)此題向?qū)W生強(qiáng)調(diào)相似三角形解法的更深入的應(yīng)用，在某些復(fù)雜的力學(xué)平衡問(wèn)題中可以將復(fù)雜的物理情景轉(zhuǎn)化為一般數(shù)學(xué)運(yùn)算，降低思維難度.

解法三：轉(zhuǎn)動(dòng)平衡解法

當(dāng)物體在非共點(diǎn)力作用下保持靜止或繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀時(shí)，物體處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡狀態(tài)，即力矩平衡.一般規(guī)定逆時(shí)針力矩為正力矩，順時(shí)針力矩為負(fù)力矩.當(dāng)物體處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡時(shí)各力矩的代數(shù)和為零，即M1+M2+M3+…+Mn=0

解析 由m1與m2兩小球組成的系統(tǒng)在非共點(diǎn)力作用下靜止，處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡.如圖5所示，以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)中心，過(guò)O點(diǎn)做AB的垂線OF，OF即是力F到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離，分別過(guò)AB兩點(diǎn)做水平直徑的垂線AG和BH，OG和OH分別是m1g和m2g到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離.

列轉(zhuǎn)動(dòng)平衡方程

F·OF+m1gOG-F·OF-m2gOH=0

其中OG=Rcos60°，OH=Rcos30°

由以上兩式可得，m1m2=3

注：轉(zhuǎn)動(dòng)平衡雖然在高考中不做考察，但學(xué)生在初中階段已經(jīng)經(jīng)歷了較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，對(duì)此類知識(shí)較為熟悉.可以利用此種解法向?qū)W生展示初高中物理知識(shí)的銜接，同時(shí)作為拓展知識(shí)能使學(xué)生加深對(duì)共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的理解.

解法四：勢(shì)能函數(shù)解法

對(duì)于保守力學(xué)系統(tǒng)，如果處于平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)總勢(shì)能處于極值狀態(tài)（穩(wěn)定平衡時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能為極小值，似穩(wěn)平衡時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能為極大值），即系統(tǒng)勢(shì)能的一階導(dǎo)數(shù)等于零.

解析 選經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的水平直徑為重力勢(shì)能零點(diǎn)，如圖6所示.

Ep=-m1gy1-m2gy2

y1=Rsinθ，y2=Rcosθ

對(duì)Ep關(guān)于θ求導(dǎo)

dEpdθ=-m1gcosθdθ+m2gsinθdθ，

當(dāng)θ=60°時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，dEpdθ=0，即-m1gcos60°+m2gsin60=0，m1m2=3.

圖6注：正確利用此種解法處理問(wèn)題的前提條件有兩個(gè)，一是要求尋找到適合的獨(dú)立變量（本題中dEpdθ=dEpdy·dydθ，dEpdθ=0，即可推出dEpdy=0），

二是正確的寫出系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)以及計(jì)算出勢(shì)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).

解法五：元功法

對(duì)于一個(gè)處于靜態(tài)平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，可使它發(fā)生一段微小位移（元位移），則系統(tǒng)所受的所有力在這個(gè)位移上所做微小總功（元功）之和零.

解析 如圖7所示，假設(shè)OA向上轉(zhuǎn)動(dòng)一小角度θ（θ→0），則OB也向下轉(zhuǎn)動(dòng)相同的角度θ，有AA′=BB′.又因θ→0，弦長(zhǎng)近似等于弧長(zhǎng)，AA′=AA′=BB′=BB′，即AA′=BB′.過(guò)O點(diǎn)做豎直線交AB與C點(diǎn)（C不一定在A′B′上），∠AOC=30°，∠BOC=60°.由于θ很小，∠OBB′=∠OAA′=90°-θ≈90°，所以O(shè)B∥AA′，BB′∥OA.如圖8所示，過(guò)A′和A做豎直和水平線，交于A″點(diǎn).在直角△AA′A″中，∠AA′A″=∠BOC=60°，A′A″=AA′cos60°.

再過(guò)B′和B做水平和豎直線，交于B″點(diǎn).在直角△BB′B″

中，∠B′BB″=∠AOC=30°，BB″=BB′cos30°.

根據(jù)功能關(guān)系有：

m2gBB″-m1gA′A″=0

m1m2=BB″A′A″=BB′cos30°AA′cos60°=cos30°cos60°=3

注：元功法是以功能原理為依據(jù)的一類解決物理問(wèn)題的方法，該種解法關(guān)鍵在于元位移的表達(dá)，是分析力學(xué)中的“虛功原理”的簡(jiǎn)單應(yīng)用.用元功法在處理某些平衡問(wèn)題時(shí)頗為簡(jiǎn)單.在使用元功法時(shí)，一般遵循一下四個(gè)步驟：

1.元過(guò)程的選取：取一與原平衡狀態(tài)接近的另一狀態(tài)，構(gòu)造一個(gè)元過(guò)程

2.元位移的計(jì)算：利用微元法或極限法計(jì)算出系統(tǒng)內(nèi)各物體的元位移

3.列方程：該元過(guò)程中所有力的元功之和為零

4.代入數(shù)據(jù)求解

該解法在計(jì)算元位移時(shí)也可以采用微分的方式

兩小球到圓心的豎直距離分別為y1和y2（如圖9所示），假設(shè)OA向上轉(zhuǎn)動(dòng)一小角度θ，在θ→0的條件小球的豎直位移等于豎直坐標(biāo)的微分.

y1=Rsin60°，δy1=Rcos60°dθ

y2=-Rcos30°，δy2=Rcos30°dθ，再利用W=m2gδy1+m2gδy2=0即可求解

綜上所述，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從更高的維度上多角度的分析問(wèn)題，使不同能力的學(xué)生都能在一道題的講解過(guò)程中提升自身的分析和解決問(wèn)題的能力，這樣才能幫助學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)更快更好的建立起物理學(xué)的知識(shí)體系，從容的面對(duì)各種各樣的物理問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理

[M].北京：人民教育出版社，2010.

[責(zé)任編輯：李 璟]