在位勢(shì)對(duì)二維雙原子正方晶格色散關(guān)系的影響研究

呂巋,楊建榮

(上饒師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院,江西 上饒 334001)

晶格振動(dòng)色散關(guān)系是聯(lián)系微觀結(jié)構(gòu)和宏觀性質(zhì)的橋梁,確定了色散關(guān)系,原則上就確定了粒子的性質(zhì)和系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及熱力學(xué)行為,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果互相驗(yàn)證,有助于理解晶體的宏觀性質(zhì)和微觀機(jī)理,因此研究色散關(guān)系具有重要的理論和實(shí)際意義。對(duì)二維復(fù)式晶格振動(dòng)色散關(guān)系的研究,人們已經(jīng)做了很多工作[1-3],這些工作考慮了原子間的互作用勢(shì),但未涉及原子可能存在與鄰近原子無(wú)關(guān)的在位勢(shì)(on-site)的情形。研究表明,一定條件下,在位勢(shì)可從根本上改變一維原子鏈聲學(xué)支格波的性質(zhì)[4-5],對(duì)二維單原子晶格的色散關(guān)系也有顯著影響[6],對(duì)二維復(fù)式晶格色散關(guān)系的作用和影響如何,尚值得進(jìn)一步探討。本文以具有在位勢(shì)的二維雙原子正方晶格為例,建立和求解其晶格振動(dòng)方程,討論在位勢(shì)對(duì)二維復(fù)式晶格色散關(guān)系及振動(dòng)極化的影響特點(diǎn)。

1 振動(dòng)方程組的建立和求解

設(shè)二維雙原子晶格含有N個(gè)原胞,原胞中兩個(gè)原子的質(zhì)量分別為M1和M2,晶格周期為2a。將第l個(gè)原胞中的第n個(gè)原子在α(＝x,y)方向離開(kāi)平衡位置的位移表示為uα(n,l),與第l＇個(gè)原胞中第m個(gè)原子之間的互作用力常數(shù)表示為,各原子的在位勢(shì)力常數(shù)表示為η。在簡(jiǎn)諧近似下,具有在位勢(shì)的二維雙原子晶格振動(dòng)的拉格朗日函數(shù)為:

將(1)式代入拉格朗日方程,可得到其晶格振動(dòng)方程為:

在位勢(shì)的存在不影響晶體的平移對(duì)稱性,因此可設(shè)(2)式的解為:

將(3)式代入(2)式可得:

其中Dαβ(m,n,)為含在位勢(shì)動(dòng)力學(xué)矩陣:

由(5)式可得久期方程為:

其中eα(m)、eβ(m)表示沿R m(l＇)-R n(l)方向的單位矢量在各坐標(biāo)軸上的分量,γm表示第l個(gè)原胞中的第n個(gè)原子和第l＇個(gè)原胞中第m個(gè)原子之間的彈性耦合系數(shù)。顯然,平移不變性要求各原子的互力之和為零:

將各原胞中質(zhì)量為M1的原子均記為1,質(zhì)量為M2的原子均記為2,并設(shè)M1、M2的最近鄰彈性耦合系數(shù)為γ0,M1之間的次近鄰彈性耦合系數(shù)為γ1,M2之間的次近鄰彈性耦合系數(shù)為γ2。引入相對(duì)彈性耦合常數(shù),相對(duì)在位勢(shì)力常數(shù),相對(duì)質(zhì)量系數(shù)和特征頻率(只考慮最近鄰互作用時(shí)第一布里淵區(qū)中心的光學(xué)支最大頻率[2])。由(5)(7)(8)式可得到具有在位勢(shì)的二維正方晶格的動(dòng)力學(xué)矩陣元素為:

將以上各動(dòng)力學(xué)矩陣元素代入(4)式和(6)式,即可求得晶格振動(dòng)的極化向量和振動(dòng)頻率。

2 色散關(guān)系及討論

在研究晶格的振動(dòng)色散關(guān)系時(shí),選擇波矢在第一布里淵區(qū)(如圖1所示),即可得到全部振動(dòng)特征。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),本文僅討論兩原子質(zhì)量M1＝M2＝M即相對(duì)質(zhì)量系數(shù)μ＝1時(shí),二維正方晶格第一布里淵區(qū)沿ΓΧ、Γ-M 和X-M 三種對(duì)稱方向的色散關(guān)系和極化情況。),可求得振動(dòng)頻率為:

圖1 二維雙原子正方晶格的第一布里淵區(qū)

沿Δ≡(Γ-X) 方向(ky＝0,kx＝k∈),可求得振動(dòng)頻率為:

相應(yīng)極化向量是一常矢,與互作用勢(shì)和在位勢(shì)無(wú)關(guān):

只考慮最近鄰互作用時(shí)(g＝0),相應(yīng)極化向量為一常矢:

計(jì)入次近鄰互作用(g≠0)時(shí),相應(yīng)極化向量亦為一常矢,但方向不同:

沿Z≡(X-M) 方向,可求得振動(dòng)頻率為:

只考慮最近鄰互作用時(shí)(g＝0),相應(yīng)極化向量為一常矢:

計(jì)入次近鄰互作用(g≠0)時(shí),相應(yīng)極化向量不再為常矢,與原子間互作用γ0及γ有關(guān),但仍與在位勢(shì)無(wú)關(guān):

以下分別取a＝1,g＝0或0．1,ψ＝0或0．3,得到只考慮最近鄰互作用或同時(shí)考慮次近鄰互作用時(shí),沿Γ-Χ、Γ- M 和X- M 方向的色散關(guān)系分別如圖2(a)、圖2(b)所示。圖中實(shí)線表示無(wú)在位勢(shì)時(shí)的情況,虛線表示在位勢(shì)存在時(shí)的情況。

從圖2(a)、圖2(b)可以看出,兩種原子質(zhì)量相同時(shí),無(wú)論是否計(jì)入次近鄰互作用,在位勢(shì)η的存在均使Γ、X、M 各點(diǎn)及沿三種對(duì)稱方向的聲學(xué)支、光學(xué)支頻率向上平移,平移幅度與特征頻率有關(guān),即與最近鄰互作用耦合系數(shù)成正比,與原子質(zhì)量成反比,但不改變這些對(duì)稱點(diǎn)及對(duì)稱方向上格波的簡(jiǎn)并度;布里淵區(qū)中心Γ點(diǎn)的頻率不為零,出現(xiàn)了所謂頻隙,這與在位勢(shì)對(duì)一維原子鏈、二維單原子晶格色散關(guān)系的影響相同[4-6],是在位勢(shì)影響色散關(guān)系的顯著特征。需要指出的是,隨著在位勢(shì)的增大,兩聲學(xué)支的頻率將逐漸上升,但即使接近或高于在位勢(shì)為零時(shí)的低頻光學(xué)支頻率,因原子的極化向量不受在位勢(shì)影響,聲學(xué)支中兩原子保持同向運(yùn)動(dòng),故其聲學(xué)模特征不變[7]。

圖2 具有在位勢(shì)的雙原子正方晶格的色散關(guān)系曲線

a、g、ψ取其他值時(shí),情況與上述討論類似,在此不再贅述。

3 結(jié)論

當(dāng)原子存在與鄰近原子無(wú)關(guān)的在位勢(shì)時(shí),若兩種原子質(zhì)量相同,二維雙原子正方晶格第一布里淵區(qū)中Γ、X、M 各點(diǎn)及沿Γ-Χ、Γ- M 和X- M 方向的各格波頻率均向上平移,平移幅度與原子質(zhì)量成反比,與在位勢(shì)和最近鄰互作用成正比,與次近鄰互作用無(wú)關(guān);各格波的簡(jiǎn)并度及極化方向不受在位勢(shì)影響;各低頻支頻率雖隨在位勢(shì)增大而上升,但保持聲學(xué)模特征不變。當(dāng)在位勢(shì)為零時(shí),本文的研究結(jié)果與文獻(xiàn)[2]一致,表明我們使用的模型是正確可靠的。本文是對(duì)相關(guān)理論的一些基礎(chǔ)知識(shí)的拓展[8],有望為固體材料微觀機(jī)理的研究和相關(guān)的實(shí)驗(yàn)提供一定的理論參考和依據(jù)。