張宗玲

復(fù)習(xí)，要以學(xué)生的深度學(xué)習(xí)為出發(fā)點，注重知識之間橫向和縱向的聯(lián)系，才能使得數(shù)學(xué)知識不是碎片式存在于學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中。深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)的是單元教學(xué)，強調(diào)的是知識整合。它是由知識面的寬度、知識本質(zhì)的深度、數(shù)學(xué)思想方法的高度三個維度構(gòu)成。從三個維度去關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不能只是一個方向、線性的深度變化過程，需要關(guān)注三個維度的發(fā)展。下面就以圓的復(fù)習(xí)專題為例，談?wù)剬ｎ}單元復(fù)習(xí)。

一、內(nèi)容

本復(fù)習(xí)內(nèi)容為圓的證明和計算與旋轉(zhuǎn)中的隱圓問題。

圓是“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心內(nèi)容之一，它是一種特殊的曲線圖形，是在直線圖形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上發(fā)展的基本圖形之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)?！皥A”是各省市中考的必考內(nèi)容，圓的證明與計算對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求比較高，不僅要求學(xué)生對圓的知識掌握熟練，而且還要有一定的研究方法。圖形在旋轉(zhuǎn)中容易與圓的基本要素產(chǎn)生聯(lián)系，有些問題需要分析出隱藏在問題中的圓，利用圓的知識解決旋轉(zhuǎn)中的求解問題。這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)對于學(xué)生推理能力、幾何直觀和抽象能力的發(fā)展是至關(guān)重要的，也是進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的很好內(nèi)容。

二、復(fù)習(xí)板塊設(shè)計

（一）第一個板塊：關(guān)注知識面的寬度，強化聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

第二輪復(fù)習(xí)，是基于學(xué)生對圓的基礎(chǔ)知識已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)上進(jìn)行的課程單元復(fù)習(xí)教學(xué)。這種復(fù)習(xí)要以學(xué)生的思維提升為目標(biāo)，從深度學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，以學(xué)生知識面的寬度和數(shù)學(xué)思維的寬度為主線，采取一題多解的教學(xué)策略，旨在從不同的角度去思考同一道題，用不同的方法尋找知識的生長點，使知識之間構(gòu)建縱橫聯(lián)系網(wǎng)，讓學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理、抽象能力得到發(fā)展。

1.原題呈現(xiàn)。

問題1：如圖1-1，在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點P，∠ABC=63°，若∠APC=100°，求∠BAD和∠CDB的大小。

2.解法探究。

求∠BAD分析：由∠ABC=63°、∠APC=100°，可得∠C=∠APC-∠ABC=100°-63°=37°，再根據(jù)圓周角定理的推論可得∠BAD=∠C=37°。

求∠CDB分析：

方法1.如圖1-1，由AB是直徑可得∠ADB=90°，根據(jù)圓周角定理的推論可得∠ADC=∠ABC=63°，又因為∠CDB=∠ADB-∠ADC，所以∠CDB=27°。

方法2.如圖1-2，連接OC，由題意可知OC=OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBC=∠OCB=63°，從而可得∠COB=180°-∠OBC-∠OCB=54°，由圓周角定理可得∠CDB=? ∠COB=27°。

方法3.如圖1-3，連接AC，因為AB是直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB=90°-∠ABC=27°，由圓周角定理的推論可得∠CDB=∠CAB=27°。

3.說明。

所選題目為2020年天津市中考第21題第一問，題目的特點：題干的敘述簡潔、明了，圖形簡單，但卻涵蓋了“圓”豐富的圖形性質(zhì)，以及八年級的三角形和等腰三角形的知識。

4.方法提煉。

圓的計算和證明通過不同的解法，使得弧、弦、角之間相互轉(zhuǎn)化。如問題1，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生由此及彼地進(jìn)行聯(lián)想、總結(jié)常添加的輔助線，構(gòu)造直角三角形、等角、半角等，挖掘出內(nèi)在的基本圖形，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。

（二）第二個板塊：關(guān)注知識本質(zhì)的深度，強化本質(zhì)規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在各省市的中考中，以旋轉(zhuǎn)為背景的題目層出不窮，在旋轉(zhuǎn)問題中有這樣的一類題目，通過旋轉(zhuǎn)求線段最值的問題，學(xué)生感覺非常困難，之所以困難，是因為找不出解決問題的方法。由于方法的隱蔽性很強，對學(xué)生的直觀想象要求比較高，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于利用幾何圖形的直觀性去挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)的規(guī)律——“隱圓”。通過這類問題的研究，可以提高學(xué)生對圖形的性質(zhì)理解和內(nèi)化，加強學(xué)生對圖形中各種元素之間的關(guān)系的認(rèn)識。

1.原題呈現(xiàn)。

問題2：如圖2-1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（-3，0），點B（0，[3]），以AB為一邊作等邊三角形ABC，點C在第二象限，將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得△A1O1B，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A1，O1。若點P為線段CO1的中點，求AP長的取值范圍。

2.解法探究。

如圖2-2，取CB的中點N，連接PN，AN。點O繞定點B進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，BO為定長，則對應(yīng)點O1在圓心為點B、半徑為OB長的圓上運動，軌跡圓與BC相交于一點，即為點N，點P隨著點O1位置的變化而變化，問題是點P的運動軌跡是什么？由于點P和點N都是中點，因此PN為三角形CO1B的中位線，O1B是定長，則PN也是定長，因此，動點P的軌跡是以點N為圓心，PN的長為半徑的圓。

由題意，點A、N為固定點，則以點N為圓心，PN長為半徑的圓是動點P形成的軌跡，所以當(dāng)A，P，N三點共線時，AP取得最大值、最小值，即AN-PN≤AP≤AN+PN，即_____________。

3.說明。

此題是2020年天津市和平區(qū)三模第24題第3問，動點P的軌跡比較難想象，讓學(xué)生明確求AP長的范圍就是確定AP的最大值和最小值問題。

4.方法提煉。

利用圓的定義，找定點、尋定長，使得隱形圓現(xiàn)出。已知點A、N為定點，線段NP繞點N旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點P在線段AN上時，如圖，線段AP最短，當(dāng)點P在線段AN的延長線上時，線段AP最長。

三、復(fù)習(xí)專題設(shè)計思考

1.單元復(fù)習(xí)專題緊扣“四條主線”。

教學(xué)中突出四條主線，并注重四條主線的和諧發(fā)展。一是突出知識面的寬度—強化內(nèi)在聯(lián)系（知識之間橫向聯(lián)系）—發(fā)展思維（一題多解）—形成方法（提升思想方法）;二是突出知識本質(zhì)的深度—強化本質(zhì)規(guī)律（運動）—發(fā)展思維—形成方法;三是突出“顯性知識（明“圓”）—隱性知識（隱圓）”的思維活動;四是突出教師“引導(dǎo)探究—解析（歸納、概括）—評價”的過程。

2.單元復(fù)習(xí)設(shè)計的反思。

在深度學(xué)習(xí)的視角下思考圓的復(fù)習(xí)專題，設(shè)計從靜態(tài)圓到動態(tài)圓的學(xué)習(xí)過程。一題多解，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維的空間，學(xué)生的思維活躍起來才會有新的驚喜，學(xué)會從復(fù)雜的圖形中借助輔助線構(gòu)造基本圖形，運用圓的基本性質(zhì)進(jìn)行計算或證明，學(xué)生思維的靈活性與深刻性得以提升，知識面的寬度得到關(guān)注。讓圖形旋轉(zhuǎn)起來，引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)切入點，抓住關(guān)鍵點，分析出其中的隱圓，指導(dǎo)學(xué)生合理地借助圓的直觀，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的問題進(jìn)行研究，使求解問題與圓的要素之間產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，抓住“變”與“不變”的核心，關(guān)注知識之間的邏輯關(guān)系，圍繞“延伸點”，讓學(xué)生在復(fù)雜圖形的運動和變化中，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考的深度和廣度，知識本質(zhì)的深度得以體現(xiàn)。

3.復(fù)習(xí)專題更應(yīng)注重思想方法的提升。

提升數(shù)學(xué)思想方法的高度是深度學(xué)習(xí)的第三個維度，初中學(xué)生還處于形象思維階段，對于“靜止?fàn)顟B(tài)”的圖形基本性質(zhì)的理解及運用還需“形象化”，對于“變換形態(tài)”圖形的理解，要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程“直觀化”“可視化”，這就需要借助幾何直觀來完成，從無“形”到有“形”，抽象能力是主導(dǎo)。以“形”的直觀輔助對“數(shù)”的思考，以“數(shù)”的邏輯推理判斷“形”的改變，直觀離不開邏輯，邏輯離不開直觀。因此，學(xué)會用圖形進(jìn)行思考、用圖形進(jìn)行想象，學(xué)會用圖形的運動與變化的方式去認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所具備的能力，也是復(fù)習(xí)專題要實現(xiàn)的目標(biāo)。

（徐德明）