張靈修，張廣明，歐陽慧珉

(南京工業(yè)大學(xué) 電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院，南京 211816)

0 引 言

與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相比，磁軸承具有無機(jī)械摩擦、使用壽命長以及動力損失小等優(yōu)勢，在飛輪儲能、超高速金屬切削加工和高速透平機(jī)械等領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用前景[1]。

轉(zhuǎn)子的質(zhì)量不平衡會在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生大小與轉(zhuǎn)速平方成正比、方向隨時間變化的同頻擾動，是系統(tǒng)中主要的擾動來源[2]。由于直接對轉(zhuǎn)子的不平衡參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確測量存在較大難度，在運(yùn)行中對同頻擾動觀測和抑制更為可行。對此，國內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛的研究，主要包括：基于變步長迭代搜尋的方法[3]、基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的方法[4]、基于干擾觀測器的擾動補(bǔ)償方法[5]以及基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的擾動估計和補(bǔ)償方法[6]。在現(xiàn)有研究成果中，雖然能夠在低轉(zhuǎn)速下對同頻擾動抑制取得不錯的效果，但大多采用了分散控制策略，并采用線性化的方式對電磁鐵模型進(jìn)行處理。由于線性化僅在工作點(diǎn)附近很小范圍內(nèi)準(zhǔn)確，因而在定轉(zhuǎn)子接觸、磁通飽和等極限情況下，采用線性化電磁鐵模型設(shè)計的控制器存在難以達(dá)到預(yù)期控制性能的問題。另一方面，由于將自由度之間的耦合作用內(nèi)?；⒓{入控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的考慮范圍，在高轉(zhuǎn)速工況下H∞魯棒控制[7]等集中控制策略比分散控制策略具有更好的適用性，但存在計算資源需求量大和難以實(shí)現(xiàn)寬轉(zhuǎn)速范圍抗擾等問題。

針對上述問題，本文研究了以電磁力作為控制量的可行性，將擴(kuò)張狀態(tài)觀測器與集中控制策略相結(jié)合，提出了一種以電磁力為控制量的四自由度狀態(tài)反饋擾動抑制算法，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗。本文的結(jié)構(gòu)如下：

(1) 建立考慮轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)變化和軸承動、靜不平衡作用力的磁軸承動力學(xué)模型。

(2) 以電磁力為控制量，從系統(tǒng)總能量角度出發(fā)設(shè)計了考慮耦合作用模型和外部擾動補(bǔ)償?shù)募惺剿淖杂啥葼顟B(tài)反饋控制器，并證明了其穩(wěn)定性。

(3) 設(shè)計線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(LESO)對同頻擾動進(jìn)行觀測，并通過所設(shè)計的控制器進(jìn)行抑制。

(4) 利用Matlab進(jìn)行實(shí)驗仿真，對所提出的控制算法進(jìn)行驗證。

1 磁軸承-轉(zhuǎn)子動模型

忽略軸向自由度和徑向自由度之間的耦合，并假設(shè)轉(zhuǎn)子工作在剛性模態(tài)下[8]，建立如圖1所示的坐標(biāo)系統(tǒng)。

圖1 轉(zhuǎn)子空間運(yùn)動示意圖

其中o-xy為質(zhì)心坐標(biāo)系，o1-x1y1為左側(cè)的軸承坐標(biāo)系，o2-x2y2為右側(cè)的軸承坐標(biāo)系；l和n分別為左側(cè)和右側(cè)軸承距離質(zhì)心的距離；θx和θy分別為轉(zhuǎn)子在x軸和y軸方向轉(zhuǎn)動的角度。

根據(jù)牛頓第二定律，當(dāng)轉(zhuǎn)子質(zhì)心偏離平衡位置xg和yg時，有

(1)

式中,m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，g為重力加速度，ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速；轉(zhuǎn)子在x軸和y軸方向上的轉(zhuǎn)動慣量分別為Jx和Jy；左側(cè)和右側(cè)磁軸承作用在轉(zhuǎn)子上的控制力分別為fLx、fLy、fRx和fRy；不平衡力和力矩分別為fex、fey、Tεx和Tεy。

式(1)的矩陣形式

(2)

其中

當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，不平衡力和力矩在質(zhì)心坐標(biāo)下可表示為[2]

(3)

式中,δ為轉(zhuǎn)子實(shí)際的質(zhì)量中心和幾何中心之間的偏差；ε為實(shí)際的慣性軸與幾何軸之間的夾角；φ為不平衡力和力矩的初始相位。

記xL和yL分別為x1和y1方向上的位移距離，xR和yR分別為x2和y2方向上的位移距離。根據(jù)軸承坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)之間的近似變換關(guān)系，可得

(4)

定義誤差向量為

(5)

(6)

將式(5)和式(6)代入式(2)中，可得轉(zhuǎn)子在軸承坐標(biāo)系下的以偏差量表示的運(yùn)動方程

(7)

進(jìn)一步對式(7)進(jìn)行移項和變換，可得

(8)

其中

(9)

為不平衡擾動產(chǎn)生的加速度向量。比較式(3)和式(9)，可得

(10)

2 控制器設(shè)計

2.1 四自由度狀態(tài)反饋控制器

差動式電磁鐵的數(shù)學(xué)模型可以表示為如下的非線性的形式

(11)

式中,x為軸承坐標(biāo)下轉(zhuǎn)子偏離平衡點(diǎn)的距離；i為差動控制電流；s0為平衡點(diǎn)處轉(zhuǎn)子與電磁鐵之間氣隙的長度；i0為平衡點(diǎn)電流；k為與磁軸承及轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有關(guān)的綜合性參數(shù)。

在式(11)所給出的電磁鐵模型及約束條件下，不難驗證i(t)可由f(t)和x(t)唯一地反向計算得到。因此以f(t)作為待設(shè)計控制量與以i(t)作為控制量并無本質(zhì)區(qū)別[9]，但能在控制器設(shè)計中使用更為精確的電磁鐵模型。

對式(7)進(jìn)行等價變形，可得

(12)

構(gòu)建如下的非負(fù)能量函數(shù)

(13)

其中Kp為正定矩陣。

對式(13)求導(dǎo)，可得

(14)

將式(12)代入式(14)，有

(15)

如果Funb是已知的，構(gòu)造如下反饋控制器

(16)

式中,Kd為正定矩陣。

將式(16)代入式(15)，化簡后可得

(17)

由于式(16)所給出的控制律是在Funb已知的假設(shè)下得到的，但對于實(shí)際轉(zhuǎn)子往往難以得到δ和ε的準(zhǔn)確數(shù)值，因而需要通過擾動觀測器對Funb進(jìn)行估計。

2.2 擾動觀測和估計

為了估計Funb的各個分量，現(xiàn)在以其第一個分量為例說明本文所提出的擾動觀測器的設(shè)計方法。

由式(8)得左側(cè)x軸方向下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程為

(18)

(19)

在式(19)的基礎(chǔ)上將擾動力產(chǎn)生的加速度w1擴(kuò)張為新的狀態(tài)量x3，并通過構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)對系統(tǒng)狀態(tài)量進(jìn)行觀測[10]。ESO的基本結(jié)構(gòu)如圖2所示

圖2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖

其中u為觀測器的輸入信號，y為系統(tǒng)的輸出信號，z1、z2和z3分別為狀態(tài)量x1、x2和x3的觀測值。設(shè)置觀測器為如下線性形式

(20)

式中，b為輸入增益，β01為位移反饋增益，β02為速度反饋增益，β03為擾動反饋增益。

當(dāng)系統(tǒng)中的耦合關(guān)系模型比較準(zhǔn)確且擾動有限時，為了降低觀測器需要估計的總擾動范圍，進(jìn)而平滑輸出曲線并降低對噪聲的敏感[11]，可將u取為如下形式

(21)

通過類似方法在其他坐標(biāo)系方向分別設(shè)置上述狀態(tài)觀測器，可得

(22)

將式(22)代入式(10)，有

(23)

即得到了反饋控制器所需的Funb的觀測值。

3 仿真驗證

通過搭建磁軸承系統(tǒng)Matlab/Simulink模型，驗證本文所述控制器對于同頻擾動的抑制效果。磁軸承系統(tǒng)參數(shù)及給定的動、靜不平衡參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

在進(jìn)行對比的控制器中，兩個控制器的Kp和Kd參數(shù)保持一致，各坐標(biāo)系不同方向下的LESO參數(shù)通過帶寬概念分別進(jìn)行整定。根據(jù)控制器穩(wěn)定條件，可將Kp和Kd取為如下形式

Kp=diag(kp1,kp2,kp3,kp4)

Kd=diag(kd1,kd2,kd3,kd4)

狀態(tài)反饋控制器及LESO的參數(shù)如下表所示。

表2 控制器參數(shù)

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化曲線如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)速ω變化曲線

在0 s至1 s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不斷上升，達(dá)到30000 r/min后保持勻速。

圖4為左側(cè)x軸處LESO對于不平衡擾動加速度w1的觀測值與實(shí)際值的對比，圖中虛線為擾動加速度的觀測值，實(shí)線為擾動加速度的實(shí)際值。由圖可見，觀測器能夠快速且準(zhǔn)確地跟蹤擾動信號。

圖4 左側(cè)x軸處w1觀測值與實(shí)際值的比較

圖5為左、右軸承處轉(zhuǎn)子的位移波動情況對比。圖中實(shí)線為未采取擾動補(bǔ)償措施的位移波動，虛線為擾動補(bǔ)償后的位移波動。由圖可見采取擾動補(bǔ)償措施后，轉(zhuǎn)子位移波動幅值在不同轉(zhuǎn)速下均有明顯下降。

圖5 左、右軸承處轉(zhuǎn)子位移波動對比

為量化分析擾動補(bǔ)償對于轉(zhuǎn)子加速階段和勻速階段的擾動抑制效果，從圖中取三個不同轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子的位移波動幅值情況進(jìn)行定量分析，如表3、表4和表5所示。

表3 干擾抑制特性比較(10000 r/min)

表4 干擾抑制特性比較(20000 r/min)

表5 干擾抑制特性比較(30000 r/min)

由表3和表5可以看出，在加速初始階段以及勻速階段位移波動幅值可降低80%以上；而在轉(zhuǎn)速上加速度較快階段，如表4所示，抑制效果依然能夠維持在70%以上。

4 結(jié) 論

本文通過對磁軸承轉(zhuǎn)子在運(yùn)行中的空間運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行建模和分析，從系統(tǒng)能量角度設(shè)計了集中式四自由度狀態(tài)反饋控制器，并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析；控制器以電磁力作為系統(tǒng)控制量，使其對于更為精確的非線性電磁鐵模型具有更好的適用性；通過Matlab仿真，驗證了集中式四自由度狀態(tài)反饋控制算法的可行性和LESO對于同頻擾動的觀測及補(bǔ)償效果，仿真結(jié)果表明本文所提出的組合控制器能夠在較寬的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)對轉(zhuǎn)子同頻擾動進(jìn)行觀測和主動抑制，轉(zhuǎn)子運(yùn)行精度提升顯著。