串并聯(lián)法在計(jì)算非均勻介質(zhì)電容器中的應(yīng)用及注意事項(xiàng)

孫松陽，孫秀平

(長春理工大學(xué)理學(xué)院，吉林 長春 130022)

0 引言

計(jì)算電容器時(shí)，除了定義式之外，串并聯(lián)法是常用方法。當(dāng)電容器導(dǎo)體板之間出現(xiàn)非均勻介質(zhì)時(shí)，學(xué)生們往往會(huì)憑直覺來判斷串聯(lián)還是并聯(lián)，即使做對了也不清楚原理，在于缺乏判斷的依據(jù)。許多文獻(xiàn)中對此問題也沒有詳述[1-3]。本文從趙凱華的《電磁學(xué)》例題[1]出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)出串聯(lián)公式和并聯(lián)公式，然后推導(dǎo)出非均勻介質(zhì)下串聯(lián)和并聯(lián)的計(jì)算公式，并應(yīng)用到一個(gè)例子中，有助于計(jì)算更復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電容器。

1 一道習(xí)題引出的問題：串聯(lián)還是并聯(lián)？

《電磁學(xué)》第二章第三節(jié)中習(xí)題2.3-13 如圖1（a）所示：一平行板電容器兩極板的面積都是S，相距為d，在其間平行地插入厚度為t、相對介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)，其面積為S/2，求它的電容。學(xué)生在計(jì)算電容時(shí)，出現(xiàn)了兩種情況：一是圖1（a）的方式，把左邊部分看作C1和C2的串聯(lián)，與右邊的C3并聯(lián)，結(jié)果是：

圖1 串并聯(lián)電容器示意圖

另一種是圖1（b）的方式，先把下邊部分看作C1和C2的并聯(lián)，再和上邊的C3串聯(lián)，結(jié)果是：

顯然，這兩種思路得到的結(jié)果并不相同，問題出在哪里呢？

2 電容器串并聯(lián)的條件和公式推導(dǎo)

在此給出電荷的分布情況和串并聯(lián)公式的詳細(xì)過程。如圖2（a），電容器C1、C2……Cn用導(dǎo)線連接起來，Ci的右極板與Ci+1 的左極板連接，C1的左極板及Cn的右極板連接到電路中。以C1和C2為例，利用導(dǎo)體的性質(zhì)和高斯定理分析一下電荷分布情況。C1的左極板接到電路中，電量為Q，Q分布在C1的內(nèi)側(cè)，由于靜電感應(yīng)，C1的右極板和C2的左極板及其連線組成導(dǎo)體，C1的右極板和C2的左極板感應(yīng)電荷分別為q1和q2，電荷分布在導(dǎo)體表面，q1和q2分布在對應(yīng)極板的外側(cè)，極板上的電荷分布在圖2（a）中的粗線表示的面上，且q1+q2=0。如圖2a 中的閉合虛線所示，高斯面的上下面與電場線平行，左右面在導(dǎo)體中，通過它的電通量為0，根據(jù)高斯定理，q1+Q=0。所以q1=-Q，q2=Q。以此類推，每個(gè)電容器的左右極板電荷都是Q和-Q，且電荷分布在電容器的內(nèi)側(cè)。根據(jù)電壓是電場的積分，整個(gè)電容器的電壓是U=U1+U2+…，其中Ci的電壓Ui=Q/Ci，根據(jù)U=Q/C=∑Q/Ci，得到總電容1/C=∑1/Ci，即串聯(lián)公式?？梢?，電容器串聯(lián)的前提是電容器串接處為等勢面。除了C1及Cn的極板之外，可以把圖2（a）中的由導(dǎo)線連接的兩個(gè)極板都合在一起，變成非常薄的導(dǎo)體板，如該圖2（b）所示，甚至可以把這些薄導(dǎo)體板去掉，并不影響電場分布與電容的大小。因此，在某個(gè)電容器電勢相同的地方可以插入任意薄導(dǎo)體板，其他導(dǎo)體板構(gòu)成電容器，便于辨別出串聯(lián)的存在。

圖2 串并聯(lián)簡化圖

再來看一下并聯(lián)情況。如圖2（b）所示，電容器C1、C2……Cn，它們的上下極板分別連于同一根導(dǎo)線，形成一個(gè)總電容。所有電容器的電壓都相同，設(shè)上極板帶電荷量分別為Q1、Q2…，下極板帶有等量負(fù)電荷，總電量為Q=Q1+Q2+…，每個(gè)電容器滿足Qi=CiU，則總電容為C=Q/U=∑Qi/U=∑Ci，即并聯(lián)公式。同樣，我們也可以把上、下邊的極板組合在一起，分別構(gòu)成兩個(gè)大的極板，并聯(lián)使電容器的極板面積變大。

3 分析習(xí)題中的串并聯(lián)問題

回到開篇的習(xí)題,圖1a 中左邊S/2 的上下部分都是均勻電場，分界面是等勢面，可以在此處插入薄導(dǎo)體，構(gòu)成兩個(gè)電容器C1和C2，滿足串聯(lián)的條件，由于左邊串聯(lián)后的電容器與右邊S/2 電容器的極板并接，并接出電勢相同滿足并聯(lián)條件，所以圖1a 的先串聯(lián)后并聯(lián)的方式是正確的，結(jié)果與定義法一致。我們分析圖1b 的方式，由于圖1b 中C1和C2的電場不同，兩者高度一樣，C1和C2下邊電勢相等，上邊電勢不等，不滿足并聯(lián)條件，無法并接起來，如果在C1和C2的上邊插入薄導(dǎo)體板則會(huì)改變原來的電場和電容，所以圖1b 的方法不正確，結(jié)果也與定義法不同。如果圖1a 中不存在介質(zhì)，兩種方法都成立，結(jié)果一致。

4 利用串并聯(lián)計(jì)算非均勻介質(zhì)電容器的電容

我們以平行板電容器為例，推導(dǎo)出非均勻電介質(zhì)情況下的電容公式。如圖3（a）所示，平行板電容器極板長a、寬b，間距為d，面積S=ab。建立平面坐標(biāo)系，設(shè)相對介電常數(shù)ε是x，y的函數(shù)。任取柱形體積元，截面積為dxdy，體積元非常小，其內(nèi)的電場均勻，可以作為平行板電容器處理，因平行板電容器的公式是在均勻電場下得到的。體積元的元電容為

圖3 非均勻介質(zhì)電容器的串并聯(lián)

我們采用兩種方法處理。其一是沿著圖3（a）中的豎直虛線積分，滿足串聯(lián)條件，得到dCx，沿著x方向的電容dCx滿足并聯(lián)條件，利用并聯(lián)公式，得到電容

其二是沿著圖3（a）中的水平虛線積分，該虛線處并不一定電勢相等，我們?nèi)匀挥貌⒙?lián)公式推導(dǎo)，得到dCy，沿著y 方向的電容dCy也不一定滿足串聯(lián)條件，仍用串聯(lián)公式推導(dǎo)得到

方法一在任何情況下都適用，方法二只有在等勢面與x軸平行時(shí)才能成立。

我們將平行板電容器中間的左上和右下部分填充兩種電介質(zhì)，如圖3（b）、3（c）所示，以此為例驗(yàn)證我們以上推導(dǎo)的公式。相對介電常數(shù)ε的分布函數(shù)為

我們先采用方一法計(jì)算電容器，如圖3（b）所示，根據(jù)公式（3）、（4）、（5）得到

我們再采用方法二計(jì)算電容器，如圖3c 所示，根據(jù)公式（3）、（6）、（7）得到

這說明該方法二只有在等勢面與x軸平行時(shí)才適用，可以參考文獻(xiàn)[3]的應(yīng)用。

5 小結(jié)

本文指出串聯(lián)需要保證串接的相鄰電容器界面處為等勢面，等勢面處插入薄導(dǎo)體板作為輔助便于分析問題，并聯(lián)需要保證并接處為等勢面。我們的研究為串并聯(lián)法處理電容器時(shí)提供了規(guī)則，也有助于非均勻介質(zhì)電容器的計(jì)算。