管佩瑤,梁英杰

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院,南京 211100)

自然界中,除彈性固體和粘性流體之外,還有一種介于二者之間的復(fù)雜物質(zhì),即粘彈性物質(zhì)。塑料、橡膠、油漆、樹脂、玻璃、陶瓷、混凝土以及金屬等工業(yè)材料,巖土、土壤、瀝青、石油和礦物等地質(zhì)材料,肌肉、骨骼、血液等生物材料,常同時具有彈性和粘性兩種不同機(jī)理的形變,綜合地體現(xiàn)粘性流體和彈性固體兩者的特性,稱之為粘彈性材料。力學(xué)模型可以簡單、直觀地刻畫材料的本構(gòu)關(guān)系。通常假設(shè)粘彈性材料具有線性粘彈性特征,可以利用線彈性和理想粘性的疊加來描述材料的粘彈性行為。彈性元件和粘性元件的串聯(lián)或者并聯(lián)可以產(chǎn)生不同的效果,以此描述不同的粘彈性力學(xué)行為。由力學(xué)元件組合而成的力學(xué)模型可以同時表現(xiàn)出彈性性質(zhì)和粘性性質(zhì),串并聯(lián)特點類比于電路元件。最基本的粘彈性模型由一個彈性元件和一個粘性元件串聯(lián)或者并聯(lián)而成,這就是經(jīng)典的Maxwell模型[1]和Kelvin模型[2]。傳統(tǒng)的Maxwell和Kelvin模型中粘性元件的應(yīng)力與應(yīng)變率呈線性關(guān)系,為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型。整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型在經(jīng)典力學(xué)、聲學(xué)、熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散、電磁學(xué),甚至是量子力學(xué)中得到了較好的應(yīng)用[3],但是物理學(xué)家和力學(xué)家也發(fā)現(xiàn)了越來越多的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型不能很好地解釋的“反?！爆F(xiàn)象,例如復(fù)雜粘彈性材料的蠕變和松弛過程。當(dāng)荷載持續(xù)時間較長時,材料的蠕變能導(dǎo)致內(nèi)部結(jié)構(gòu)的損傷,從而導(dǎo)致整體失穩(wěn)或破壞[4]。因此,建立準(zhǔn)確的粘彈性本構(gòu)關(guān)系不僅能夠有效地控制由于研究對象形變而產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)損傷和破壞,而且可以指導(dǎo)這些粘彈性材料在實際工程中的應(yīng)用。

近年來,非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型是描述粘彈性本構(gòu)關(guān)系的主要數(shù)學(xué)力學(xué)工具。蔡偉等[5]將分形導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到粘彈性建模中,推導(dǎo)了分形Maxwell和分形Kelvin模型的蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ?數(shù)值結(jié)果表明這些模型可以很好地描述擴(kuò)展指數(shù)律依賴的粘彈性行為。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變和松弛本構(gòu)模型[6-7]是描述冪律依賴粘彈性行為的主要方法,與分形導(dǎo)數(shù)相比,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是一個積分算子,計算成本較高。分形導(dǎo)數(shù)模型和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型描述的這些擴(kuò)展指數(shù)律和冪律依賴的粘彈性力學(xué)行為,稱為反常力學(xué)行為。實驗表明[8],復(fù)雜粘彈性材料的蠕變或者松弛不滿足傳統(tǒng)的指數(shù)律增長或衰減機(jī)制,也不滿足擴(kuò)展指數(shù)律和冪律,其力學(xué)行為為對數(shù)律依賴,稱為特慢力學(xué)行為。而分形導(dǎo)數(shù)模型和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型均不能準(zhǔn)確描述特慢力學(xué)行為。

目前,常用于研究粘彈性材料特慢蠕變的模型是傳統(tǒng)的Lomnitz模型[9],但是傳統(tǒng)的Lomnitz模型只是一個經(jīng)驗?zāi)Ｐ?不能通過解析推導(dǎo)得到相應(yīng)的蠕變函數(shù)。為更好地描述粘彈性材料特慢蠕變的現(xiàn)象,通常在傳統(tǒng)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型的基礎(chǔ)上添加更多的彈簧元件和牛頓粘壺,以此獲得較好的擬合效果。然而,這樣的處理方式導(dǎo)致在本構(gòu)方程中引入了更多的材料參數(shù),也使得本構(gòu)關(guān)系具有復(fù)雜的形式。另外,蘇祥龍等[10]建立了一種非局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型,運(yùn)用于描述混凝土的特慢力學(xué)行為,但是該建模方法包含積分計算,計算成本較高。楊旭等[11]以逆Mittag-Leffler函數(shù)為結(jié)構(gòu)函數(shù)建立了局部結(jié)構(gòu)粘壺,用于描述混凝土的特慢蠕變,由于逆Mittag-Leffler函數(shù)沒有解析表達(dá)式,該模型不方便推廣使用。為解決上述問題,文中將采用局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)[11]進(jìn)行建模。

通過引入新的結(jié)構(gòu)函數(shù),基于傳統(tǒng)模型對牛頓粘壺的應(yīng)變率進(jìn)行修正,提出了一種新的局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)建模方法,發(fā)展準(zhǔn)確描述粘彈性材料特慢力學(xué)行為的本構(gòu)模型。與現(xiàn)有的常用于描述復(fù)雜系統(tǒng)的非局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)相比,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)沒有積分計算,為計算模擬節(jié)約了大量的計算成本。特別地,傳統(tǒng)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和分形導(dǎo)數(shù)均是文中所提局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)的特例。傳統(tǒng)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)是線性函數(shù),分形導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)是冪函數(shù),而文中局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)建模方法使用的結(jié)構(gòu)函數(shù)為對數(shù)函數(shù)。

文中第一部分簡要介紹了現(xiàn)有的傳統(tǒng)整數(shù)階模型和分形導(dǎo)數(shù)模型,并推導(dǎo)了局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型,對比了不同粘壺的本構(gòu)方程;第二部分以Maxwell本構(gòu)模型為基礎(chǔ),介紹了傳統(tǒng)整數(shù)階模型和分形導(dǎo)數(shù)模型的蠕變和松弛方程,推導(dǎo)了局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù),并對比了不同模型的蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ?第三部分通過3組混凝土蠕變實驗數(shù)據(jù),驗證了局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型,并與不同模型進(jìn)行了對比;第四部分對文中工作進(jìn)行了總結(jié)。

1 粘彈性材料建模方法

1.1 傳統(tǒng)整數(shù)階模型

在傳統(tǒng)整數(shù)階模型中,彈性元件應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系,粘性元件應(yīng)力與應(yīng)變率呈線性關(guān)系[1],即

式中:E為彈性模量,η為粘性系數(shù)。這里的彈性元件由彈簧表示,粘性元件由牛頓粘壺表示,如圖1所示。

圖1 牛頓粘壺Fig.1 Newtonian dashpot

傳統(tǒng)整數(shù)階Maxwell模型由彈簧和牛頓粘壺串聯(lián)而成,傳統(tǒng)整數(shù)階Kelvin模型由彈簧和牛頓粘壺并聯(lián)而成,如圖2所示。

圖2 整數(shù)階Maxwell模型和整數(shù)階Kelvin模型示意圖Fig.2 Schematic diagrams of integer order Maxwell model and integer order Kelvin model

在傳統(tǒng)整數(shù)階Maxwell模型中,總應(yīng)力與粘性元件、彈性元件各自應(yīng)力相等,總應(yīng)變?yōu)?部分應(yīng)變之和,由此可以得到傳統(tǒng)整數(shù)階Maxwell模型所描述的本構(gòu)方程[1]為

類似的,在Kelvin模型中,總應(yīng)變與粘性元件、彈性元件各自應(yīng)變相等,總應(yīng)力為2部分應(yīng)力之和。由此可以得到傳統(tǒng)整數(shù)階Kelvin模型所描述的本構(gòu)方程[1]為

1.2 分形導(dǎo)數(shù)模型

分形導(dǎo)數(shù)基于時空變換的定義[12]為:

式中,α、β分別表示時間和空間上的分形導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。從定義式中可以看出,當(dāng)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)取為1時,分形導(dǎo)數(shù)可以退化為經(jīng)典的導(dǎo)數(shù)。蔡偉等[5]將分形導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到粘彈性建模中,用分形導(dǎo)數(shù)取代牛頓粘壺里的常規(guī)導(dǎo)數(shù),得到一種分形粘壺,如圖3所示。

圖3 分形粘壺Fig.3 Fractal dashpot

其本構(gòu)關(guān)系為

式中,β是分形導(dǎo)數(shù)的階數(shù),代表一種分形維數(shù)。

分形粘壺與彈簧串聯(lián)可得分形導(dǎo)數(shù)Maxwell模型,分形粘壺與彈簧并聯(lián)可得分形導(dǎo)數(shù)Kelvin模型,如圖4所示。

圖4 分形導(dǎo)數(shù)Maxwell模型 和分形導(dǎo)數(shù)Kelvin模型示意圖Fig.4 Schematic diagrams of fractal derivative Maxwell model and fractal derivative Kelvin model

與傳統(tǒng)整數(shù)階模型類似,可以得到分形導(dǎo)數(shù)Maxwell模型的本構(gòu)方程和Kelvin模型的本構(gòu)方程[13],為

式中,β表示分形導(dǎo)數(shù)的階數(shù),0＜β＜1。當(dāng)β=1時退化成傳統(tǒng)整數(shù)階模型。

1.3 局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型

通過引入新的結(jié)構(gòu)函數(shù),提出了一種局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)建模方法。

給定函數(shù)u(t),以時間為變量,其局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)的定義[14]為

式中B(t)為結(jié)構(gòu)函數(shù)。特別地,當(dāng)B(t)=tβ時,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)退化為分形導(dǎo)數(shù);當(dāng)B(t)=t時,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)退化為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)。

文中采用式(11)作為結(jié)構(gòu)函數(shù),構(gòu)造局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型為

式中,τ0為對t無量綱化的處理。在局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)建模方法中,用結(jié)構(gòu)粘壺(見圖5)替代傳統(tǒng)粘壺[11],即可得到對應(yīng)的局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)粘彈性模型。

圖5 結(jié)構(gòu)粘壺Fig.5 Structural dashpot

結(jié)構(gòu)粘壺的本構(gòu)關(guān)系為

式中:E0為粘性模量;α為結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。將結(jié)構(gòu)粘壺與彈簧串聯(lián)或者并聯(lián)可以得到局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型和Kelvin模型,如圖6所示。

圖6 局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型和局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Kelvin模型示意圖Fig.6 Schematic diagrams of local structural Maxwell model and local structural Kelvin model

當(dāng)結(jié)構(gòu)粘壺與彈簧串聯(lián)時,總應(yīng)力與粘性元件、彈性元件各自應(yīng)力相等,總應(yīng)變?yōu)閮刹糠謶?yīng)變之和,即

式中:下標(biāo)e代表彈性元件;下標(biāo)v代表粘性元件。由此可得局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型的本構(gòu)方程為

當(dāng)結(jié)構(gòu)粘壺與彈簧并聯(lián)時,總應(yīng)變與粘性元件、彈性元件各自應(yīng)變相等,總應(yīng)力為兩部分應(yīng)力之和,即:

由此可以得到局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Kelvin模型所描述的本構(gòu)方程為

1.4 方法對比

表1給出了整數(shù)階模型、分形導(dǎo)數(shù)模型和局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型的對比結(jié)果。從模型的粘性元件構(gòu)成來看,分形導(dǎo)數(shù)粘彈性模型是用分形粘壺替代整數(shù)階粘彈性模型中的牛頓粘壺,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)粘彈性模型則是用結(jié)構(gòu)粘壺替代牛頓粘壺。從模型的本構(gòu)方程來看,當(dāng)分形導(dǎo)數(shù)的β=1時,退化成整數(shù)階模型。

表1 3個模型對比圖Table 1 Comparison of three models

表中:ε為應(yīng)變,σ為應(yīng)力,是實驗測得參數(shù);E為彈性模量,η為粘性系數(shù),E0為粘性模量,三者都是材料參數(shù);α為結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)的階數(shù),β為分形導(dǎo)數(shù)的階數(shù),均可通過模型擬合實驗數(shù)據(jù)獲得;τ0為對t無量綱化的處理。

2 不同粘彈性模型下的蠕變和松弛行為

本節(jié)將根據(jù)局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)方程推導(dǎo)對應(yīng)的蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ俊?/p>

2.1 局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型

根據(jù)式(15)局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型的本構(gòu)方程,給定初始應(yīng)力σ0,有

同時,當(dāng)t=0 時,ε(t)=。將式(19)兩邊同時積分,得到蠕變過程:

蠕變?nèi)崃繛?/p>

若在式(21)基礎(chǔ)上,給定初始應(yīng)變ε0,可得

將兩邊分離變量,得

再根據(jù)初始條件當(dāng)t=0 時,σ(t)=Eε0,可得松弛過程

松弛模量為

表2給出了3種不同Maxwell模型的蠕變和松弛方程。

表2 3種不同Maxwell模型的蠕變和松弛對比Table 2 Comparison of creep and relaxation in three different Maxwell models

2.2 局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Kelvin模型

根據(jù)式(18)局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Kelvin模型的本構(gòu)方程,給定初始應(yīng)力σ0,有

當(dāng)t=0 時,ε(t)=0,由此求得C1、C2,再將兩邊同時積分,得到蠕變過程:

蠕變?nèi)崃繛?/p>

若在式(18)基礎(chǔ)上,給定初始應(yīng)變ε0,可得松弛過程

表3給出了3種不同Kelvin模型的蠕變方程。

表3 3種不同Kelvin模型的蠕變對比Table 3 Comparison of creep in three different Kelvin models

2.3 對比和分析

根據(jù)上述松弛方程可知,Maxwell模型的松弛響應(yīng)隨時間增加而減小,當(dāng)t較小時,松弛響應(yīng)接近于彈性體;當(dāng)t趨向于無窮時,松弛響應(yīng)接近于牛頓流體。此外,傳統(tǒng)整數(shù)階Maxwell模型的蠕變響應(yīng)表現(xiàn)為一條斜直線,這說明整數(shù)階Maxwell模型在發(fā)生瞬時彈性的同時,產(chǎn)生穩(wěn)定的流動,然而幾乎沒有材料的蠕變曲線是這種線性形式,因此很少有學(xué)者用該模型來模擬蠕變現(xiàn)象。整數(shù)階Maxwell模型因而被稱為松弛模型,主要用來描述松弛過程。

圖7給出了不同Maxwell模型對應(yīng)松弛模量的變化曲線。在下面的部分中,若沒有特殊說明,參數(shù)分別設(shè)置為:彈性模量E=10,無量綱化τ0=2,粘性模量E0=100。局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型階數(shù)分別取典型值α=0.5和α=1。從圖7可以看出,當(dāng)t=0時,所有模型的松弛模量與彈性模量相等。短時期內(nèi)4個模型差異較小,但在長期松弛過程中,整數(shù)階模型衰減速率最快且最早達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài);分形導(dǎo)數(shù)衰減速率次之,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)衰減速率最慢。另外,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型階數(shù)α=0.5的松弛過程衰減速率顯著慢于階數(shù)α=1的松弛過程。

圖7 不同Maxwell模型對應(yīng)松弛模量的對比Fig.7 Comparison of relaxation modulus in different Maxwell models

在Kelvin模型中,蠕變響應(yīng)隨時間增加而增加,并且當(dāng)t趨向于無窮時,蠕變響應(yīng)接近于彈性體。然而,Kelvin模型無法模擬應(yīng)力松弛現(xiàn)象,因此Kelvin模型主要用來描述蠕變過程。

圖8給出了不同Kelvin本構(gòu)模型對應(yīng)蠕變?nèi)崃康膶Ρ取ＥcMaxwell松弛模量對比圖類似,傳統(tǒng)整數(shù)階模型蠕變過程的增長速率最快,分形導(dǎo)數(shù)模型次之,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型的增長速率最慢,并且局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型階數(shù)α=0.5的蠕變過程增長速率顯著慢于階數(shù)α=1的蠕變過程。

圖8 不同Kelvin模型對應(yīng)蠕變?nèi)崃康膶Ρ菷ig.8 Comparison of creep modulus in different Kelvin models

由模型的理論結(jié)果表明,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的Maxwell模型和Kelvin模型都能刻畫粘彈性材料的較慢的蠕變和松弛現(xiàn)象。圖9和圖10分別給出了基于局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型不同階數(shù)對應(yīng)的蠕變和松弛曲線,α分別取0.1、0.3、0.6、1。結(jié)果表明,當(dāng)統(tǒng)一其他參數(shù)時,α取值越小,蠕變和松弛的速率越慢。α取值越接近于1,不同α之間的速率差異越大。α取值越小,蠕變或者松弛過程趨于穩(wěn)定所需的時間越短。

圖9 局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型不同α 的松弛模量對比圖Fig.9 Comparison of relaxation modulus in local structural derivative Maxwell model with different values ofα

圖10 局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Kelvin模型不同α 的蠕變?nèi)崃繉Ρ葓DFig.10 Comparison of creep modulus in local structural derivative Kelvin model with different values ofα

3 局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型的應(yīng)用

本節(jié)將采用3組混凝土的蠕變實驗數(shù)據(jù)驗證局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型描述特慢蠕變的可行性。

第一組實驗數(shù)據(jù)為高強(qiáng)自密實混凝土的蠕變實驗數(shù)據(jù)。高強(qiáng)自密實混凝土與普通的高強(qiáng)混凝土相比,具有諸多的優(yōu)點和施工優(yōu)勢。高強(qiáng)自密實混凝土不僅具有高強(qiáng)混凝土的優(yōu)勢,而且還具有自密實混凝土的特點,是一種新型的建筑材料。自密實混凝土在施工工藝方面具有節(jié)能、環(huán)保、降噪等特點,并且可以大大節(jié)省施工時間。文中選取文獻(xiàn)[15]中高強(qiáng)自密實混凝土在16 h齡期、加載30%的強(qiáng)度應(yīng)力比條件下的實驗數(shù)據(jù),用局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型進(jìn)行擬合分析,其結(jié)果見圖11所示。

圖11 傳統(tǒng)整數(shù)階模型、分形導(dǎo)數(shù)模型、局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型和Lomnitz模型擬合第一組混凝土蠕變實驗數(shù)據(jù)的對比圖Fig.11 Fitting results for the first creep experimental data set of the concrete by using the classical integer order model,the fractal derivative model,the local structural derivative model and the Lomnitz model

第二組實驗數(shù)據(jù)為混凝土長達(dá)12 a的蠕變實驗數(shù)據(jù),取自參考文獻(xiàn)[16]?；炷翀A柱試樣在房間20±1 ℃溫度和50±5%相對濕度條件下,對混凝土圓柱試樣進(jìn)行加載,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型擬合結(jié)果如圖12所示。

圖12 傳統(tǒng)整數(shù)階模型、分形導(dǎo)數(shù)模型、局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型和Lomnitz模型擬合第二組混凝土蠕變實驗數(shù)據(jù)的對比圖Fig.12 Fitting results for the second creep experimental data set of the concrete by using the classical integer order model,the fractal derivative model,the local structural derivative model and the Lomnitz model

第三組實驗數(shù)據(jù)選取文獻(xiàn)[17]中,高性能混凝土(UHPC)在90℃(194°F)下進(jìn)行熱處理,并在加載時以其拉伸強(qiáng)度的40%進(jìn)行加載,以獲得90 d的蠕變實驗數(shù)據(jù)。擬合結(jié)果如圖13所示。圖中J是蠕變?nèi)崃?單位為GPa-1。

圖13 傳統(tǒng)整數(shù)階模型、分形導(dǎo)數(shù)模型、局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型和Lomnitz模型擬合第三組混凝土蠕變實驗數(shù)據(jù)的對比圖Fig.13 Fitting results for the third creep experimental data set of the concrete by using the classical integer order model,the fractal derivative model,the local structural derivative model and the Lomnitz model

需要指出的是,最早應(yīng)用于研究粘彈性材料特慢蠕變的模型是傳統(tǒng)的Lomnitz模型

式(32)這種對數(shù)蠕變律已被用來描述地幔的地震后變形[18]和巖石的流變學(xué)[19]。許多學(xué)者[20-23]研究了經(jīng)典的Lomnitz模型并試圖對其進(jìn)行修改,但是這些模型不適用于描述廣義的特慢流變現(xiàn)象。同時,Lomnitz模型只是一個經(jīng)驗?zāi)Ｐ?物理意義不明晰,無法通過解析解得到蠕變或者松弛過程的函數(shù)。

本節(jié)將同時對比基于Maxwell本構(gòu)的傳統(tǒng)整數(shù)階模型、分形導(dǎo)數(shù)模型、局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型和Lomnitz模型,描述上述3組混凝土實驗中特慢蠕變力學(xué)行為的可行性。圖11～圖13分別給出了4種模型擬合3組混凝土實驗對應(yīng)蠕變?nèi)崃繑?shù)據(jù)的結(jié)果。

從圖11～圖13中的擬合結(jié)果可以看出,傳統(tǒng)整數(shù)階模型呈線性變化趨勢,與粘彈性材料性質(zhì)不符。在實驗初期,除了傳統(tǒng)整數(shù)階模型之外的3個模型都與實驗數(shù)據(jù)吻合良好。在實驗中期和末期,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)和Lomnitz模型表現(xiàn)得更好。Lomnitz模型可用于描述混凝土特慢蠕變的實驗數(shù)據(jù),但是該模型是一個經(jīng)驗?zāi)Ｐ?物理意義不清楚,不利于推廣。與Lomnitz模型相比,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型在第一組和第二組實驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果上,均有明顯的優(yōu)勢,特別是第一組實驗數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。對于第三組實驗數(shù)據(jù),兩者的擬合結(jié)果相當(dāng)。模型的參數(shù)通過最小二乘法確定,表4和表5分別給出了局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型和Lomnitz模型參數(shù)的值。

表4 局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型的參數(shù)值Table 4 The values of the parameters in the local structural derivative model

表5 Lomnitz模型的參數(shù)值Table 5 The values of the parameters in the Lomnitz model

僅從局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)所描述的蠕變過程來說,實驗時間越長,材料的應(yīng)變越大,且應(yīng)變呈對數(shù)律增加。當(dāng)t=0時,其值為同等應(yīng)力水平下不考慮粘性性質(zhì)的材料應(yīng)變大小,即為參數(shù)的大小。

對3組實驗數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果分別計算擬合優(yōu)度,表6給出了不同模型擬合優(yōu)度的對比,整數(shù)階模型和分形導(dǎo)數(shù)模型的擬合優(yōu)度較小,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型的擬合優(yōu)度與Lomnitz模型的擬合優(yōu)度接近。在第二組和第三組實驗中,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型的擬合優(yōu)度最高。結(jié)果表明,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型是可行的。

表6 不同模型的擬合優(yōu)度對比Table 6 Comparison of goodness-of-fit in different models

4 結(jié)論

傳統(tǒng)的整數(shù)階模型適用于描述指數(shù)增長的蠕變過程,分形導(dǎo)數(shù)模型適用于描述擴(kuò)展指數(shù)增長的蠕變過程,這兩者均不能用于描述特慢蠕變的力學(xué)行為。Lomnitz模型雖然可以用于描述特慢蠕變的力學(xué)行為,但是它只是一個經(jīng)驗?zāi)Ｐ?物理意義并不十分明晰。通過上述研究,文中通過引入lnα(1+t/τ0)作為結(jié)構(gòu)函數(shù),建立的局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型,能夠更好地描述具有對數(shù)依賴現(xiàn)象的粘彈性材料特慢力學(xué)行為。通過3組混凝土蠕變實驗數(shù)據(jù),驗證了其描述特慢力學(xué)行為的可行性。與傳統(tǒng)整數(shù)階模型、分形導(dǎo)數(shù)模型和Lomnitz模型相比,局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)模型在刻畫特慢蠕變力學(xué)行為方面具有明顯的優(yōu)勢。

根據(jù)局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型本構(gòu)方程,可得該模型無法描述初始應(yīng)變?yōu)?的蠕變過程和初始應(yīng)力為0的松弛過程。根據(jù)局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Kelvin模型本構(gòu)方程,可得該模型只能描述初始應(yīng)變?yōu)?的蠕變過程,并且無法描述粘彈性材料的松弛過程。結(jié)構(gòu)粘壺也可描述初始應(yīng)變?yōu)?的蠕變過程。

文中主要關(guān)注的問題是粘彈性材料的特慢蠕變力學(xué)行為建模,對特慢松弛模型的驗證將在今后的工作進(jìn)一步研究。其次,從數(shù)學(xué)形式的角度來說,Lomnitz模型是局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型的特殊形式。局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型為Lomnitz模型提供了明確的物理解釋。因此,文中僅應(yīng)用了局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Maxwell模型,并將其與其他模型進(jìn)行對比,對局部結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)Kelvin模型的應(yīng)用將在今后的工作中完善。最后,以宏觀模型和數(shù)學(xué)解析的方法描述粘彈性材料的力學(xué)行為,沒有結(jié)合材料的微觀結(jié)構(gòu),將在后面的研究做進(jìn)一步分析和討論。