林杰 付雨鵬 宋臣 余力洲 王海亮 繆玉松

摘要：泡沫鋁作為一種新型的結(jié)構(gòu)功能材料，具有較好的阻熱、降噪和能量吸收性能?；贛atlab的Random函數(shù)，應(yīng)用貪心算法和孔徑無限迭代原理建立閉孔泡沫鋁三維隨機球模型，解決了當(dāng)前泡沫鋁三維建模中存在的孔隙率低、計算復(fù)雜、運算成本高、仿真模擬實現(xiàn)程度低等問題，得到了孔隙率達90%的泡沫鋁模型，實現(xiàn)了模型與有限元軟件的銜接，為泡沫鋁模型優(yōu)化及物理性能分析提供了一種有效的數(shù)值方法。將模型進行拓展應(yīng)用，可得到泡沫鋁夾層板模型和泡沫鋁復(fù)合材料等，用于如汽車防撞梁、建筑材料、噪聲屏障板等結(jié)構(gòu)的計算機仿真模擬及相關(guān)研究工作。

關(guān)鍵詞：隨機球函數(shù);泡沫鋁;無限迭代;Matlab

中圖分類號：TB 34??? 文獻標志碼：A

Research on optimization of aluminum foam model based on random spherical function

LIN Jie1，F(xiàn)U Yupeng1，SONG Chen1，YU Lizhou1，WANG Hailiang2，MIAO Yusong1

（1. School of Science，Qingdao University of Technology，Qingdao 266525，China;2. Safety and Environmental Engineering College，Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266590，China）

Abstract： As a new type of structural and functional material，foamed aluminum has good heat resistance，noise reduction，and energy absorption. Based on the rand function of Matlab，a three?dimensional random ball model of closed cell aluminum foam was established by greedy algorithm and infinite iteration principle. The problems，including low porosity，complex calculation，high computational cost and low simulation level and so on，in the 3D modeling of foam aluminum were solved. A foam aluminum model with porosity of 90% was obtained，and the connection between the model and finite element software was realized，which provided an effective numerical method for the foam aluminum model optimization and physical performance analysis. The foam aluminum sandwich plate model and foam aluminum composite material can be obtained through the application of the model，which can be used for computer simulation and related research work，such as automotive anti?collision beam，building materials，noise barrier plate.

Keywords： random spherical function;foam aluminum;infinite iteration;Matlab

泡沫鋁是具有功能結(jié)構(gòu)一體化的多功能集成性泡沫金屬材料[1]。因其具有質(zhì)量輕、強度高、比剛度高等良好的物理性能，使其可與金屬面板復(fù)合制成三明治板材，被廣泛應(yīng)用于建筑、軍工、交通等領(lǐng)域;其良好的聲學(xué)性能[2]使其可用于城市輕軌、高架公路、地下隧道等領(lǐng)域制造吸聲器和聲屏障[3];其強大的抗沖擊、吸能與緩沖減震性能[4]使其可以用作航空航天防護材料、車輛碰撞能量吸收材料等領(lǐng)域，此外泡沫鋁材料在阻尼、隔熱、導(dǎo)熱[5]、散熱[6]、熱交換、電磁屏蔽防護[7]等方面也具有十分顯著的性能。

為反映泡沫鋁材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)并對其性能進行研究，正確構(gòu)建與泡沫鋁材料參數(shù)、計算機仿真模擬等工作相適配的三維數(shù)值模型就顯得尤為重要。為此，學(xué)者們已開展了大量研究工作，并先后形成了認可度較高的Gibson-Ashby模型[8]、八面體模型[9]、十四面體模型[10]、Voronoi仿真模型[11]、三維隨機球模型等[12]。其中Gibson-Ashby模型以立方體框架結(jié)構(gòu)對泡沫鋁材料的孔結(jié)構(gòu)進行構(gòu)建，通過彈性模量與泡沫鋁相對密度之間的關(guān)系來模擬材料的力學(xué)性能，廣泛應(yīng)用于泡沫鋁材料彈塑性、蠕變、對流換熱等方面的研究。八面體模型的孔結(jié)構(gòu)是由八面體單元的密集堆積形成，在3個相互垂直的尺寸上對稱分布。十四面體模型的孔結(jié)構(gòu)是由6個四邊形和8個六邊形組成。Voronoi仿真模型是基于三維Voronoi結(jié)構(gòu)生成，其在拓撲結(jié)構(gòu)上與泡沫鋁材料由生長產(chǎn)生的幾何結(jié)構(gòu)相同，但由于模型本身計算成本較高等限制，當(dāng)前該模型僅在研究泡沫鋁材料彈性特征方面有所應(yīng)用。三維隨機球模型具有模型尺寸、孔徑、孔隙率、壁厚等參數(shù)可調(diào)節(jié)，對材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)還原度高，材料性能表征好，模型運算成本低，與計算機仿真軟件銜接效果好等優(yōu)勢，對泡沫鋁模型的構(gòu)建起到了極大的推動作用。王宇璞[13]基于VB編程設(shè)計實現(xiàn)了三維隨機球模型的建立，但并沒有給出具體的實現(xiàn)過程。郝青顯等[14-15]給出了三維隨機球模型建立的程序算法，但因其模型存在孔隙率上限值，在計算機仿真應(yīng)用過程中也存在諸多問題。黃東梅[16]提出了三維隨機橢球模型，相較于規(guī)則的圓球模型，能夠在實現(xiàn)模型較高孔隙率上有一定理論突破，但該模型規(guī)則度較弱，在有限元仿真模擬網(wǎng)格劃分中，常出現(xiàn)應(yīng)力奇異、邊界條件設(shè)置復(fù)雜度高等問題，且模型自身運算成本高，生成難度大。雖然以上學(xué)者在泡沫鋁建模方面已經(jīng)取得了很大的進展，但在孔隙率、孔徑優(yōu)化方面還有待提升。本文基于Matlab下的Random函數(shù)，根據(jù)貪心算法及孔徑無限迭代原理建立一種更優(yōu)的泡沫鋁三維隨機球模型，解決了上述模型中存在的模型孔隙率上升困難、模型運算成本高等問題，通過對構(gòu)建模型的二次導(dǎo)出，可實現(xiàn)與Ansys、Abaqus、Comsol等常用計算機軟件的銜接。

1??? 模型構(gòu)建步驟及隨機模型

在三維隨機球模型生成過程中，為了避免球體之間的交叉，需要對模型進行球心坐標和半徑雙重迭代，具體迭代生成球體過程如圖1所示。

具體隨機球生成的過程需要依次滿足下列判斷條件：

①設(shè)定初始泡沫鋁為等尺寸長方體致密塊，模型體積V，對應(yīng)長、寬、高分別為l、w、h，在滿足下式限定條件下，使球體在致密塊內(nèi)部生成。

xi+ri≤l，xi-ri≥0

yi+ri≤w，yi-ri≥0

zi+ri≤h，zi-ri≥0??? （1）

式中：xi、yi和zi代表第i次迭代生成的隨機球的球心坐標;ri代表第i次迭代生成的隨機球的半徑。

②當(dāng)?shù)趇次生成的球體滿足限定條件，球與當(dāng)前致密塊內(nèi)部任意球相離或外切。當(dāng)前致密塊內(nèi)部任意球，球心坐標為（xk，yk，zk），k<i，半徑為rk。

當(dāng)上述兩條件均滿足后，生成球體;否則，保持球半徑不變，重新隨機生成球心坐標進行再次判定，循環(huán)上述過程。通常在不限定時間約束下，如果半徑rk不滿足判斷條件則會不斷循環(huán)上述過程，在設(shè)定的長方體致密塊中隨機嘗試所有未被占用的坐標點，直至滿足判斷條件后生成球體。但這樣會導(dǎo)致計算成本高和模型生成時間長，甚至陷入無限循環(huán)。因此，本文采用貪心算法，在考慮隨機球函數(shù)和泡沫鋁特征基礎(chǔ)上給定一個限定時間，若在該時間域內(nèi)無法生成滿足判定條件的球體，即陷入局部最優(yōu)，則更新球體半徑rk，在新半徑下開始一輪新的判定;若在限定時間內(nèi)可生成球則生成新半徑下的球體;若限定時間域內(nèi)無法生成球體，則持續(xù)更新球體半徑rk，達到球體半徑無限迭代的目的。

若設(shè)定生成球體時間超過限定時間T，則球體半徑ri′更新為原來的q倍。

若ti>T，則ri′=qri??? （3）

式中：T和q值為變量，具體取值需根據(jù)計算機性能和泡沫鋁材料參數(shù)選取，本文T取60 s，q取2/3。

滿足預(yù)定模型孔隙率P時的球體總個數(shù)n和該孔隙率下的球體迭代半徑最小值rmin可由下式求得：

式中，球體總個數(shù)n與最小半徑rmin是計算機仿真時網(wǎng)格劃分最小網(wǎng)格尺寸和計算機運算量的計算成本預(yù)測的重要參數(shù)。

2??? 泡沫鋁模型實現(xiàn)過程及優(yōu)化

2.1??? 初步模型一無邊界模型

模型構(gòu)建前，先設(shè)定模型尺寸、球體直徑、孔隙率、壁厚等相關(guān)參數(shù)，生成長方體致密塊，在長方體致密塊內(nèi)部隨機產(chǎn)生球心坐標，給球體直徑設(shè)置一個波動范圍值，使球體直徑在該范圍內(nèi)隨機取得，根據(jù)隨機球心位置與球體直徑生成球體，并保證生成球體與當(dāng)前長方體致密塊內(nèi)部所有球體滿足相離或外切的位置關(guān)系。按照這種方式，在長方體致密塊內(nèi)生成球體直至達到模型孔隙率的設(shè)定值。生成模型如圖2所示。

通過上述方式構(gòu)建不同模型參數(shù)下的泡沫鋁模型，將建模結(jié)果整合分析。結(jié)果表明，在這種算法程序下，由于未對致密塊邊界加以限制，導(dǎo)致眾多球體凸出，致使孔隙率的計算結(jié)果遠小于測量值?？紤]到凸出的球體形狀不規(guī)則，如若對每個凸出球體加以計算將增大算法難度，需對模型進一步優(yōu)化，通過改進球體的算法生成邏輯來降低算法復(fù)雜度，從而達到提升孔隙率的目的。

2.2??? 改進模型一有邊界模型

在圖2所示的初始模型中，長方體致密塊邊界存在部分球體（如圖2中箭頭所指）與邊界面相交，與邊界面相交的球體在致密塊外部的體積，導(dǎo)致生成的泡沫鋁模型孔隙率小于模型預(yù)設(shè)的孔隙率。為使模型孔隙率設(shè)定值與生成值一致，通過調(diào)整算法程序，添加球體生成過程中的邊界條件限定，使生成的所有球體都在致密塊內(nèi)部，得到的模型如圖3所示。同時，在后續(xù)進行計算機仿真研究時，為減少不規(guī)則球體對這個模型的影響，利用布爾運算取模型芯部，消除模型壁厚的影響。該模型雖然消除了溢出球體體積對孔隙率的影響，但對整體孔隙率的提高效果卻不是很好。

2.3??? 最終模型—孔徑迭代模型

針對初始模型孔隙率上限和改進模型中布爾運算取值的問題，從以下幾個方面對模型進行優(yōu)化。

2.3.1??? 取消孔隙率波動范圍

為了解決孔隙率上限的問題，首先嘗試通過擴大球體半徑尺寸的波動范圍來提高孔隙率，但生成的模型孔隙率仍難以突破50%。發(fā)現(xiàn)在泡沫鋁三維模型構(gòu)建中，球體半徑波動范圍對孔隙率的影響較小，且設(shè)定孔隙率波動范圍會增加模型的生成時間與運算成本。因此，在后期模型構(gòu)建中，取消模型孔隙率波動范圍的設(shè)置。

2.3.2??? 優(yōu)化孔徑算法

通過貪心算法改變球體孔徑生成的方式對模型進行優(yōu)化，設(shè)定一個無限迭代條件，使孔徑在該條件下變化，同時考慮模型生成的時間成本和計算機運算成本。

貪心算法總是做出在當(dāng)前看來最好的選擇，其算法本身并不從整體最優(yōu)考慮，所做出的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)選擇。該算法的優(yōu)點為簡單、高效，但也易陷入局部最優(yōu)解的漩渦中，因此，本文為了解決這個問題采用如下兩種方式。

①球體孔隙率增長率的影響

為了避免孔徑無限迭代進入死循環(huán)，可通過設(shè)定泡沫鋁模型孔隙增長率值來限定孔徑迭代。當(dāng)已生成球體的孔隙增長值達到限定值，則將欲生成的球體孔徑更新為上一循環(huán)孔徑的倍數(shù)值，不設(shè)孔徑迭代下限值。但隨著孔徑值的不斷更新，孔隙增長率也會逐漸趨緩，致使達到所設(shè)定增長率限定值用時延長，且孔隙率增長率的限定值難以合理界定。因此，通過限定孔隙增長率的方法難以得到較好的模型。

③限定球體生成時間

通過限定球體生成時間來限定孔徑迭代。設(shè)定一個時間范圍值（本文取值60s），將球體生成時間與之比對，若超過限定范圍值，則球體的孔徑更新為原孔徑的設(shè)定倍數(shù)值，不設(shè)孔徑迭代的最小值。生成模型結(jié)果表明，通過限定時間可使模型孔隙率達到90%以上，且模型生成的時間成本與運算量合理，故采取這種建模方式較好。該模型生成球體過程如圖4所示。在生成球4時，雖然點f、h的坐標滿足位置關(guān)系式（2），但是在60 s內(nèi)沒有隨機取到符合判斷條件的點作為球心，此時，則會同步更新孔徑和球心坐標，在矩形塊內(nèi)部生成其他球體，直至滿足孔隙率要求，如圖5所示。

在足夠的空間內(nèi)，前半部分球體生成較為簡單，為了說明該迭代模型的構(gòu)建過程，繪制無限迭代模型構(gòu)建過程圖，如圖5所示。這種方式既可以有效降低時間成本，也可以達到提升孔隙率上限值的需求，且由于孔徑迭代不設(shè)下限，理論上可以實現(xiàn)孔隙率無限大，即生成任意所需孔隙率值的泡沫鋁模型。在開展具體研究時，為便于進行計算機仿真模擬降低計算成本，可以根據(jù)研究條件設(shè)置所需的孔徑迭代下限值。

2.4??? 模型示例

通過上述步驟生成的泡沫鋁模型孔隙率值在0.45～0.90之間，部分模型如圖6所示。通過進一步將模型文件類型轉(zhuǎn)換，可以將得到的三維模型輸入到Ansys、NX-UG和Comsol等有限元模型中，以用于泡沫鋁物理力學(xué)性能分析，如圖7所示。

2.5??? 三維泡沫鋁模型的拓展

生成的泡沫鋁幾何模型在有限元分析軟件中通過布爾運算，可以得到指定參數(shù)條件下的泡沫鋁夾層板模型、泡沫鋁復(fù)合材料的制備[17]等，以用于如汽車防撞梁、建筑材料、噪聲屏障板等結(jié)構(gòu)的計算機仿真模擬等相關(guān)研究工作。作者課題組應(yīng)用閉孔泡沫鋁材料良好的高溫隔熱、緩沖吸能等優(yōu)良特性，將其應(yīng)用于設(shè)計制備耐高溫減震防穿刺工作鞋。為了得到工作鞋在不同工作環(huán)境下所適配泡沫鋁材料參數(shù)，利用本文構(gòu)建的模型進行熱傳導(dǎo)與力學(xué)的計算機模擬仿真，對泡沫鋁材料的厚度、孔隙率、孔徑等參數(shù)進行模擬分析。以此進行試驗結(jié)果的預(yù)測與參數(shù)范圍的縮小，大大減小了試驗成本與工作量。應(yīng)用本文模型設(shè)計的泡沫鋁耐高溫減震防穿刺工作鞋如圖8所示。

3??? 結(jié)論

（1）本文通過三維隨機球模型和無限迭代原理，建立了一種可實現(xiàn)高孔隙率泡沫鋁三維隨機球模型的新方法。通過對無限迭代、孔隙率參數(shù)調(diào)整和泡沫鋁模型自身特征的分析與優(yōu)化，實現(xiàn)了泡沫鋁孔隙率為50%～95%的三維數(shù)值模型。

（2）通過已生產(chǎn)泡沫型模型的格式轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)了模型與其他仿真軟件的銜接。進一步將模型拓展應(yīng)用于泡沫鋁夾芯板、防撞梁和其他建筑物結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真，可直觀反映含泡沫鋁材料的力學(xué)、吸熱等性能，研究結(jié)果對推動泡沫鋁材料的發(fā)展具有重要的意義。

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