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      T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng)故障估計

      2022-04-07 12:50:42朱永寧李曉航
      電光與控制 2022年4期
      關鍵詞:馬爾可夫降維執(zhí)行器

      朱永寧, 李曉航

      (上海工程技術大學,上海 201000)

      0 引言

      馬爾可夫跳變系統(tǒng)(MJS)是一種具有多個模態(tài)或子系統(tǒng)的混雜動態(tài)系統(tǒng),在過去幾十年中,MJS已經在工業(yè)生產[1]、航空航天[2]、網(wǎng)絡通訊、社會經濟等領域中有著廣泛的應用。與要求駐留時間服從指數(shù)分布的MJS不同,半馬爾可夫跳躍系統(tǒng)(S-MJS)的駐留時間分布更具一般性,比如Weibull分布。由于放松了駐留時間的分布條件,半馬爾可夫跳變系統(tǒng)在工程應用中具有更廣闊的應用場景。

      執(zhí)行器故障和傳感器故障在實際工程的控制系統(tǒng)中經常出現(xiàn),現(xiàn)階段,控制領域針對MJS的故障檢測和容錯控制[3-5]、狀態(tài)和故障估計[6-9]的研究獲得了很大進展。其中,基于狀態(tài)觀測器的故障診斷方法是指在獲得系統(tǒng)的數(shù)學模型情況下,通過輸出的估計值與測量值生成殘差信號判斷系統(tǒng)是否存在故障。文獻[6]設計一種滑模觀測器,研究了Lipschitz MJS傳感器故障估計和容錯控制問題。針對一類考慮執(zhí)行器故障的MJS,文獻[7]利用滑??刂萍夹g研究了有限時間有界性問題。然而,實際應用中執(zhí)行器和傳感器故障往往同時發(fā)生,因此,針對執(zhí)行器和傳感器故障同時估計的研究具有更實際的應用價值。同時,由于對MJS或S-MJS的研究大多數(shù)都假設其狀態(tài)轉移概率(TRS)是完全已知的[10],這在實際應用中具有很大的局限性,因此,將現(xiàn)有的故障估計理論推廣到更為一般的不確定轉移概率S-MJS中,具有更實際的應用價值。

      另一方面,故障估計理論在實際非線性系統(tǒng)中的應用具有一定的局限性。Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型基于一組IF-THEN的規(guī)則,其方便簡單的優(yōu)點,可以使現(xiàn)有的故障估計方法在非線性系統(tǒng)中得到較好的應用。目前,針對T-S模糊系統(tǒng)的故障估計研究取得了很多成果。例如,文獻[11]利用T-S模糊模型,設計了一種比例積分觀測器(PIO),能夠對一類不確定非線性系統(tǒng)進行執(zhí)行器故障估計和容錯控制;文獻[12]針對一類狀態(tài)轉移概率已知的T-S模糊MJS故障估計問題,設計了一種自適應觀測器;文獻[13]針對一類一般不確定狀態(tài)轉移概率的MJS,設計了一種能夠同時估計執(zhí)行器和傳感器故障的降維觀測器,然而,該觀測器并不能完全消除外部干擾造成的影響。

      綜上所述,本文針對一類T-S模糊S-MJS設計了一種降維觀測器。該觀測器具有以下優(yōu)點:在較為寬松的前提下,能夠完全解耦外部干擾,有效避免了外部干擾造成的影響;能夠同時估計執(zhí)行器和傳感器故障,且不用獲取故障及其導數(shù)上界[6],并保證誤差系統(tǒng)在有限時間內穩(wěn)定;部分已知轉移概率的S-MJS,更具有一般性。

      1 系統(tǒng)描述

      考慮帶有執(zhí)行器和傳感器故障的S-MJS,用如下T-S模糊模型表示。

      規(guī)則α:若θ1(t)是να1,且θq(t)是νaq,則

      (1)

      (2)

      基于標準模糊規(guī)則,S-MJS模糊系統(tǒng)為

      (3)

      轉移概率矩陣Π可以表示為

      (4)

      式中,“?”表示不可測元素。

      (5)

      定義1對于式(3)系統(tǒng),如果u(t)≡0,d(t)=0,存在常數(shù)c1,c2,T>0,以及正定矩陣Hi,有

      Ε{xT(0)Hix(0)}≤c1?Ε{xT(t)Hix(t)}≤c2?t∈[0,T]

      (6)

      成立。式中,00,則稱式(3)系統(tǒng)相對于c1,c2,Hi,T為有限時間隨機穩(wěn)定的。

      假設1 假設Gi和Ki是列滿秩,Ci是行滿秩。

      假設2

      (7)

      引理1假設ε代表任意實數(shù),C代表任意矩陣,當D>0時,不等式

      ε(C+CT)≤ε2D+CD-1CT

      (8)

      成立。

      引理2假設ν(t)為非負函數(shù),若

      (9)

      那么對于常數(shù)a,b≥0,可得

      ν(t)≤aebt0≤t≤T。

      (10)

      (11)

      (12)

      (13)

      2 降維觀測器設計

      式(3)系統(tǒng)等價于

      (14)

      (15)

      (16)

      (17)

      (18)

      (19)

      (20)

      式中:

      (21)

      (22)

      (23)

      設計降維觀測器為

      (24)

      式中:

      (25)

      3 主要結論

      (26)

      (27)

      (28)

      (29)

      (30)

      (31)

      (32)

      根據(jù)引理1,可得

      (33)

      最終得到

      (34)

      對于?i,j∈S,當i≠j,λi j(h)≥0,i=j,λi j(h)<0,討論下面兩種情況:

      所以存在α>0,使得

      (35)

      對式(35)使用Dynkin’s公式,得到

      (36)

      根據(jù)引理2,可以得到

      (37)

      (38)

      由此可以得到式(25)誤差系統(tǒng)是有限時間隨機穩(wěn)定的,定理1的證明結束。

      根據(jù)定理1,可以得到如下狀態(tài)和故障估計

      (39)

      4 仿真

      為了證明本文所提方法的有效性,考慮如下具有3個模態(tài)的數(shù)值T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng),相關參數(shù)如下:

      圖1為系統(tǒng)的實際狀態(tài)和估計狀態(tài)的對比曲線,圖2(a)和圖2(b)分別為執(zhí)行器故障和傳感器故障估計曲線,圖2(c)為系統(tǒng)狀態(tài)x的估計誤差曲線,圖2(d)為執(zhí)行器和傳感器故障的估計誤差曲線。綜合圖1~2,本文所設計的降維觀測器能夠同時估計系統(tǒng)狀態(tài)、執(zhí)行器故障、傳感器故障,消除外部擾動的影響,保證誤差系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。

      圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計值Fig.1 System states and their estimations

      圖2 仿真結果Fig.2 Simulation results

      5 總結

      本文針對一類具有一般不確定轉移速率的T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng)的執(zhí)行器故障和傳感器故障同時估計問題,設計了一個降維觀測器。該觀測器在較為寬松的前提下,可以完全解耦外部擾動,同時估計執(zhí)行器故障和傳感器故障。借助線性矩陣不等式給出觀測器存在的充分條件,進一步證明其有限時間穩(wěn)定性。最后,通過一個數(shù)值仿真驗證了所提方法的有效性。

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