朱永寧, 李曉航
(上海工程技術大學,上海 201000)
馬爾可夫跳變系統(tǒng)(MJS)是一種具有多個模態(tài)或子系統(tǒng)的混雜動態(tài)系統(tǒng),在過去幾十年中,MJS已經在工業(yè)生產[1]、航空航天[2]、網(wǎng)絡通訊、社會經濟等領域中有著廣泛的應用。與要求駐留時間服從指數(shù)分布的MJS不同,半馬爾可夫跳躍系統(tǒng)(S-MJS)的駐留時間分布更具一般性,比如Weibull分布。由于放松了駐留時間的分布條件,半馬爾可夫跳變系統(tǒng)在工程應用中具有更廣闊的應用場景。
執(zhí)行器故障和傳感器故障在實際工程的控制系統(tǒng)中經常出現(xiàn),現(xiàn)階段,控制領域針對MJS的故障檢測和容錯控制[3-5]、狀態(tài)和故障估計[6-9]的研究獲得了很大進展。其中,基于狀態(tài)觀測器的故障診斷方法是指在獲得系統(tǒng)的數(shù)學模型情況下,通過輸出的估計值與測量值生成殘差信號判斷系統(tǒng)是否存在故障。文獻[6]設計一種滑模觀測器,研究了Lipschitz MJS傳感器故障估計和容錯控制問題。針對一類考慮執(zhí)行器故障的MJS,文獻[7]利用滑??刂萍夹g研究了有限時間有界性問題。然而,實際應用中執(zhí)行器和傳感器故障往往同時發(fā)生,因此,針對執(zhí)行器和傳感器故障同時估計的研究具有更實際的應用價值。同時,由于對MJS或S-MJS的研究大多數(shù)都假設其狀態(tài)轉移概率(TRS)是完全已知的[10],這在實際應用中具有很大的局限性,因此,將現(xiàn)有的故障估計理論推廣到更為一般的不確定轉移概率S-MJS中,具有更實際的應用價值。
另一方面,故障估計理論在實際非線性系統(tǒng)中的應用具有一定的局限性。Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型基于一組IF-THEN的規(guī)則,其方便簡單的優(yōu)點,可以使現(xiàn)有的故障估計方法在非線性系統(tǒng)中得到較好的應用。目前,針對T-S模糊系統(tǒng)的故障估計研究取得了很多成果。例如,文獻[11]利用T-S模糊模型,設計了一種比例積分觀測器(PIO),能夠對一類不確定非線性系統(tǒng)進行執(zhí)行器故障估計和容錯控制;文獻[12]針對一類狀態(tài)轉移概率已知的T-S模糊MJS故障估計問題,設計了一種自適應觀測器;文獻[13]針對一類一般不確定狀態(tài)轉移概率的MJS,設計了一種能夠同時估計執(zhí)行器和傳感器故障的降維觀測器,然而,該觀測器并不能完全消除外部干擾造成的影響。
綜上所述,本文針對一類T-S模糊S-MJS設計了一種降維觀測器。該觀測器具有以下優(yōu)點:在較為寬松的前提下,能夠完全解耦外部干擾,有效避免了外部干擾造成的影響;能夠同時估計執(zhí)行器和傳感器故障,且不用獲取故障及其導數(shù)上界[6],并保證誤差系統(tǒng)在有限時間內穩(wěn)定;部分已知轉移概率的S-MJS,更具有一般性。
考慮帶有執(zhí)行器和傳感器故障的S-MJS,用如下T-S模糊模型表示。
規(guī)則α:若θ1(t)是να1,且θq(t)是νaq,則
(1)
(2)
基于標準模糊規(guī)則,S-MJS模糊系統(tǒng)為
(3)
轉移概率矩陣Π可以表示為
(4)
式中,“?”表示不可測元素。
(5)
定義1對于式(3)系統(tǒng),如果u(t)≡0,d(t)=0,存在常數(shù)c1,c2,T>0,以及正定矩陣Hi,有
Ε{xT(0)Hix(0)}≤c1?Ε{xT(t)Hix(t)}≤c2?t∈[0,T]
(6)
成立。式中,0
假設1 假設Gi和Ki是列滿秩,Ci是行滿秩。
假設2
(7)
引理1假設ε代表任意實數(shù),C代表任意矩陣,當D>0時,不等式
ε(C+CT)≤ε2D+CD-1CT
(8)
成立。
引理2假設ν(t)為非負函數(shù),若
(9)
那么對于常數(shù)a,b≥0,可得
ν(t)≤aebt0≤t≤T。
(10)
(11)
(12)
(13)
式(3)系統(tǒng)等價于
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
式中:
(21)
(22)
(23)
設計降維觀測器為
(24)
式中:
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
根據(jù)引理1,可得
(33)
最終得到
(34)
對于?i,j∈S,當i≠j,λi j(h)≥0,i=j,λi j(h)<0,討論下面兩種情況:
所以存在α>0,使得
(35)
對式(35)使用Dynkin’s公式,得到
(36)
根據(jù)引理2,可以得到
(37)
(38)
由此可以得到式(25)誤差系統(tǒng)是有限時間隨機穩(wěn)定的,定理1的證明結束。
根據(jù)定理1,可以得到如下狀態(tài)和故障估計
(39)
為了證明本文所提方法的有效性,考慮如下具有3個模態(tài)的數(shù)值T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng),相關參數(shù)如下:
圖1為系統(tǒng)的實際狀態(tài)和估計狀態(tài)的對比曲線,圖2(a)和圖2(b)分別為執(zhí)行器故障和傳感器故障估計曲線,圖2(c)為系統(tǒng)狀態(tài)x的估計誤差曲線,圖2(d)為執(zhí)行器和傳感器故障的估計誤差曲線。綜合圖1~2,本文所設計的降維觀測器能夠同時估計系統(tǒng)狀態(tài)、執(zhí)行器故障、傳感器故障,消除外部擾動的影響,保證誤差系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。
圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計值Fig.1 System states and their estimations
圖2 仿真結果Fig.2 Simulation results
本文針對一類具有一般不確定轉移速率的T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng)的執(zhí)行器故障和傳感器故障同時估計問題,設計了一個降維觀測器。該觀測器在較為寬松的前提下,可以完全解耦外部擾動,同時估計執(zhí)行器故障和傳感器故障。借助線性矩陣不等式給出觀測器存在的充分條件,進一步證明其有限時間穩(wěn)定性。最后,通過一個數(shù)值仿真驗證了所提方法的有效性。